专题04 导数的概念、运算及其几何意义（9题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及几何意义，9题型系统覆盖从定义理解到切线综合应用，知识逻辑从基础概念到复杂情境层层递进，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的定义及变化率问题|5题（含实际情境题）|考查定义理解及物理意义|从极限概念到变化率，建立导数思想基础| |导数的运算|5题（含多选型）|覆盖基本公式与法则应用|衔接定义，为几何意义应用提供运算工具| |切线问题（7类）|35题（含公切线、切线条数等）|涵盖在点/过点切线、参数求解等|以导数几何意义为核心，构建切线问题完整解法链| |综合攻坚|10题|多知识点交叉，复杂情境应用|整合前序内容，提升数学语言表达与问题解决能力|

专题04 导数的概念、运算及其几何意义（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数的定义及变化率问题 1 题型二、导数的运算 2 题型三、在点P处的切线 4 题型四、过点P的切线 6 题型五、切线平行、垂直问题 8 题型六、公切线问题 10 题型七、己知切线或切点求参数问题 13 题型八、切线的条数问题 14 题型九、利用导数的几何意义求最值问题 16 B 综合攻坚・能力跃升 19 题型一、导数的定义及变化率问题 1．函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】． 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以. 3．已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 4．导电体中的电量关于时间的变化率称为电流强度．若，则时的电流强度为______． 【答案】 【详解】电流强度是电量关于时间的变化率，也就是的导数：， 已知，， 所以． 5．如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】因为单位时间内放水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 题型二、导数的运算 6．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，只有D正确. 7．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 8．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，∴，∴， ∴． 9．若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以. 10．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题设，则，所以.6．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，只有D正确. 7．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 8．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，∴，∴， ∴． 9．若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以. 10．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题设，则，所以. 题型三、在点P处的切线 11．已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 【答案】 【详解】由图可知点处的切线斜率为，即， 则切线方程为，所以， 故. 12．函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 13．曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 14．已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 15．若在处的切线为，直线的倾斜角为，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以， 故答案为：. 题型四、过点P的切线 16．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以的方程为， 由得，又时，， 故点的横坐标为，则的斜率为， 故直线与的斜率之比为． 故选：C. 17．过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 18．过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 19．过点作曲线的切线的斜率为______． 【答案】2 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 20．已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 【答案】和 【详解】由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.nn 题型五、切线平行、垂直问题 21．已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 【答案】1 【详解】，由题意可知，直线的斜率为2，所以，得. 故答案为：1 22．若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义及应用，属于难题． 解题思路是利用切线互相垂直得到，需要借助于正弦函数的值域推得两个分别取1和，从而求得，推得，最后借助于图象理解找到关于的关系式即得. 23．已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线在点与处的切线互相垂直， 所以当时，，当时，， 不妨设，因为在点与处的切线互相垂直， 则，即，故AB错误； 在点的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 因为切线相交于，代入切线方程可得， 即，由化简可得. 故选：D 24．曲线在点处的切线与直线平行，则________． 【答案】1 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 25．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 题型六、公切线问题 26．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 27．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于， 则直线方程为； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． 28．已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 29．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为______． 【答案】1 【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为， 则处的切线方程为，即； 直线与曲线相切于，， 可得切线方程为， 即， 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即 可得，解得， 故答案为：. 30．已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 【答案】1 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 31．若直线是曲线与曲线的公切线，则______． 【答案】5 【详解】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 题型七、己知切线或切点求参数问题 32．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 33．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 34．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 35．若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 36．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 题型八、切线的条数问题 37．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设切点为， 由已知得，则切线斜率，切线方程为 直线过点，则，化简得 切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或 故选：C 38．已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点， 因为， 则，， 所以切线方程为， 因为切线过点， 所以， 即， 令， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 因为存在3条直线与曲线相切， 所以方程有三个不同根，则， 故选：D 39．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 40．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则a=___________. 【答案】1或 【详解】过作切线，设切点为， ，， 所以，整理为， 由题意此方程有两个相等的实数根， 所以，或． 故答案为：1或． 41．若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意得， 设过坐标原点的直线与曲线相切于点， 则， 且切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，因此， 整理得， 设， 则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”， ，当x变化时，与的变化情况如下表： x 0 1 ＋ 0 － 0 ＋ 当时，，当时，， 所以，解得. 题型九、利用导数的几何意义求最值问题 42．已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 43．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解得，代入曲线方程求得， 故切点为，斜率为1的切线方程为， 两平行直线和的距离为， 所以的最小值为. 44．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 【答案】 【详解】令，得，代入曲线， 的最小值即为点到直线的距离， ． 45．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【详解】因到直线的距离最小，故过与直线平行的直线与曲线相切， 由题意可知：,令，得 易得函数在单调递增，且为零点. 此时点M的坐标为. 此时M到直线的距离， 所以点M到直线的距离的最小值为. 46．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当取最小值时，即取得最小值，此时点处的切线 斜率与直线斜率相等.因为直线的斜率为， 所以令曲线的导函数，，解得. 1．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因切线与的切点为， 由可得， 切线方程为：，即① 依题意，切线与的切点为 ，因， 则切线的方程为：，即② 因①，②都是的方程，则有 ， 联立两式消去 并整理得，即，解得. 2．函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】A 【详解】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A 3．若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，设切点坐标为 ， 则切线方程为 .因为切线经过原点， 将 代入得 ，即 . 而，那么，化简得， 由于曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线， 所以判别式，解得或. 4．已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为曲线，所以， 所以原点处切线斜率为， 设，，两点处切线斜率为，， 显然，因为三条切线两两夹角为， 由两直线夹角公式可得：， 将，代入上式可得： ， 化简整理得：，同理也满足该式， 去掉绝对值得到两个不同的正根： ， 因为，分子，因此两个分母都必须为正， 即： ，因此的取值范围是. 5．（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：，令，解得或，符合题意，故A正确； 选项B：，令，解得，符合题意，故B正确； 选项C：，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得，即，即成立，故C正确； 选项D：，令，解得， 因为指数函数恒大于0，所以不成立，则不符合题意，故D错误. 6．平均储蓄倾向（APS）是指任一收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足，其中为储蓄，为收入.若，则当时，APS关于的瞬时变化率为______. 【答案】 【详解】由题意知， 当时，APS关于的瞬时变化率为 . 7．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 8．若是曲线的一条切线，则__________. 【答案】1 【详解】设切点坐标为，因为， 所以. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增，且. 所以方程只有1解. 由. 9．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 【答案】6 【详解】将化为斜截式，可知该切线斜率为， 由题可知该切线过点，则，即，则有， 对求导得，即， 联立解得，即. 因为，所以点处的切线方程为， 即. 令，得到，故切线与直线交于点， 令，得到，故切线与直线交于点， 则点处的切线与直线所围成的三角形面积为：. 10．是函数与的公切线，则______. 【答案】 【详解】设的切点为， ∴，∴， ∴切点为， ∴， 设的切点为， 由，得， 得切点为，则， 得， ∴. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数的概念、运算及其几何意义（9题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数的定义及变化率问题 1 题型二、导数的运算 2 题型三、在点P处的切线 3 题型四、过点P的切线 3 题型五、切线平行、垂直问题 4 题型六、公切线问题 4 题型七、己知切线或切点求参数问题 5 题型八、切线的条数问题 5 题型九、利用导数的几何意义求最值问题 5 B 综合攻坚・能力跃升 6 题型一、导数的定义及变化率问题 1．函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（    ） A． B． C． D． 4．导电体中的电量关于时间的变化率称为电流强度．若，则时的电流强度为______． 5．如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型二、导数的运算 6．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型三、在点P处的切线 11．已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 12．函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 13．曲线在处的切线方程为________． 14．已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 15．若在处的切线为，直线的倾斜角为，则__________. 题型四、过点P的切线 16．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 17．过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 18．过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 19．过点作曲线的切线的斜率为______． 20．已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 题型五、切线平行、垂直问题 21．已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 22．若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 23．已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 24．曲线在点处的切线与直线平行，则________． 25．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 题型六、公切线问题 26．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 27．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________． 28．已知直线是曲线与的公切线，则______． 29．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为______． 30．已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 31．若直线是曲线与曲线的公切线，则______． 题型七、己知切线或切点求参数问题 32．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 33．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 34．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 35．若直线是曲线在处的切线，则______________． 36．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 题型八、切线的条数问题 37．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ） A． B． C．或 D．或 38．已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 40．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则a=___________. 41．若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为______. 题型九、利用导数的几何意义求最值问题 42．已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 43．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 45．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 46．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 1．若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 2．函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 3．若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 4．已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 6．平均储蓄倾向（APS）是指任一收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足，其中为储蓄，为收入.若，则当时，APS关于的瞬时变化率为______. 7．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 8．若是曲线的一条切线，则__________. 9．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 10．是函数与的公切线，则______. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $