8.6.3 平面与平面垂直（第一、二课时：判定定理和性质定理）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直 （第一课时：判定定理） 温州科技高级中学 张明 1、异面直线所成角的概念； 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求—答  作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法: ①直接平移法(可利用图中已有的平行线); ②中位线平移法; ③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线). 复习回顾： 2、异面直线所成的角的范围 范围需要死记硬背吗？ 答：想想端点有无可能就知道范围了。比如两条直线所成的角是0，那就不是异面直线。 O P A α 关键：过斜线上一点作平面的垂线 直线和平面所成角 斜线 斜足 线面所成角 （锐角∠PAO） 射影 复习回顾： 求直线和平面所成角的一般步骤是：作—证—求—答 注：把线面角转化为线线角，化空间问题为平面问题。 1、在平面几何中“角”的定义 从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 2、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 A B o 复习回顾： 4 探究新知 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直.所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础. 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义.那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程. 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. 探究新知——二面角及其平面角 【直观感知】 水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度. 6 荷兰数学家弗赖登塔尔，他说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。” 所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。 《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为： 数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。 数学上的每个概念都有大量的生活模型，数学上的概念都是从生活生产实践中提炼出来的。一般步骤是先观察发现生活生产实践中有大量的现象有共同的模型，然后再在数学上进行严格的定义即学习数学就是学习数学化。 同学们如何表达体操的这个姿势？如何表达水库大坝与水面的位置关系？它需要我们建立新概念，引入新知识才能表达出来。 一、二面角 ③棱记作l,这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q. 平面内的一条直线把平面分成两部分， 这两部分通常称为半平面． 1.半平面 半平面 半平面 2.二面角 (1)概念： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面 角的面. (2)图形： α β A B (3)记法： ①棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β. ②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q. P Q l ①如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些?        ②把书打开，相邻两页书也构成二面角，随着打开的程度不同，得到不同的二面角,如何刻画？ 受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 探究新知 转化为两相交直线所成的角，用平面角来刻画。 一、二面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗?为什么? 3.二面角的平面角 α β l A B O 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 = ③角的两边都垂直于棱，即棱所在直线垂直于平面角所在平面。 ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个半平面内 二面角的平面角必须满足： 一、二面角 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 4.二面角的取值范围 半平面 0° 半平面 半平面 180° 平面角的范围需要死记硬背吗？ 只要想想端点在现实中是否可能就知道范围了。 不管是线面角大小还是二面角大小最后都是用相交的线线角刻画。异面直线所成的角也是化为相交的线线角来刻画。所以平面中角的概念是所有这些概念的起点。 例1：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角的平面角： （1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. B A C D A’ B’ C’ D’ O 练习 12 例2：　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 二面角的求法 解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 反思感悟 1. 定义法：在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 2.求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样,步骤如下: 求 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中： ①二面角D′－AB－D的大小为______. 45° 解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′， 所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角. 在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°， 所以二面角D′－AB－D的大小为45°. ②二面角A′－AB－D的大小为______. 90° 解析　因为AB⊥平面AD′， 所以AB⊥AD，AB⊥AA′， 因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角， 又∠A′AD＝90°， 所以二面角A′－AB－D的大小为90°. 二、平面与平面垂直的概念 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定. 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角即平面角是直角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. 平面与平面垂直的概念： β α β α 如右图，建筑工人在砌墙时,常用铅锤 来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系 有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙 面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于 地面.这种方法说明了什么道理? 类似的结论也可以在长方体中发现.如右图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD. 如果墙面经过地面的垂线,那么墙面与地面垂直. D B C A D' C' B' A' 探究新知——平面与平面垂直的判定定理 图形表示: 本质：线⊥面 面⊥面 关键：在一个平面内找另一个平面的垂线 三、平面与平面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示: 平面与平面垂直的判定定理： β α l 证明： 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角， 设α∩β=CD，AB在α内，则B∈CD. ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. ∪ ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β. 探究新知——平面与平面垂直的判定定理 例3：已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. 典型例题 A B C D 证明： ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. ∴BD⊥AA'. 又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'平面ACC'A' ∴BD⊥平面ACC'A'， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 又BD平面ABCD 又BD平面A'BD 分析：要证平面A'BD上平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可，这需要利用AC,BD是正方形ABCD的对角线。 典型例题 例4:: 已知：如右图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明： ∴平面PAC⊥平面PBC. ∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，即BC⊥AC. 又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又BC平面PBC， 寻找垂线最关键 步骤规范很重要 平面与平面垂直的判定 例5　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 面面垂直 线面垂直 面面垂直判定定理 线线垂直 线面垂直判定定理 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 证明线线垂直的方法： 1、相交垂直：勾股定理、棱形对角线、等腰三角形三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角等 2、异面垂直：线面垂直定义等 跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°， 求证：平面ABC⊥平面ASC. 证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH， ∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在Rt△ABC中，H是AC的中点， ∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH， 又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC， ∴SH⊥平面ABC， 又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC. 又SH＝SH，SA＝SB， 8.6.3平面与平面垂直 （第二课时：性质定理） 温州市瓯海区三溪中学 张明 β α l 探究新知 下面我们研究平面与平面垂直的性质,也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论. 其次，根据已有的研究经验,我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系. 挂钟所在墙面β⊥地面α, α∩β=a，则β内的长指针所在直线b与a有什么位置关系?相应地，b与α有什么位置关系? α β a 首先，根据定义有： 如果两个平面互相垂直,那么其二面角是直角. O A B α⊥β，OA⊥l，OB⊥lOA⊥OB (1)b∥a， (2)b与a相交， 此时，b∥α. 此时b与α相交. ①b与a斜交， ②b⊥a， 此时b与α斜交. 此时b⊥α. β α a β α a b 四、平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 平面与平面垂直的性质定理: 作用：面面垂直线面垂直 β α a b b A 符号表示： 图形表示： β α a b β α a 四、平面与平面垂直的性质 你能证明这个定理吗？ b A 设b与a的交点为A,过点A在α内作直线c⊥a， 证明： 由α⊥β得 b⊥c. 又b⊥a，a和c是α内的两条相交直线 ∴b⊥α. 这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线,只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可. c 则直线b,c所成的角就是二面角α—a—β的平面角， 四、平面与平面垂直的性质 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系? β α c P b a β α c P b a aα 两个平面垂直，过一个平面内一点作另一个平面的垂线,那么这条直线在这个平面内. 如右图， 过点P在α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此aα. 我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直。因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。 同一法 四、平面与平面垂直的性质 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? 如下图，α⊥β. β α a ①若α⊥β，a⊥β,a α, 则a∥α. ②若α⊥β，γ∥α,则γ⊥β. β α γ α β l γ ③ 若 ,则. b α β a l 在α内作直线b⊥ 面面垂直 性质 线面垂直性质 结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）. 线面平行判定 ①已知：如右图，α⊥β，a⊥β，a α.求证：a∥α. 证明：设 在α内作直线a ⊥m,则a⊥β 过直线a作平面与β交于直线b,则a||b 结论：如果一个平面平行于两个互相垂直的平面中的一个，那么这个平面垂直于另一个平面。 ②已知：如右图，α⊥β，γ∥α,求证：γ⊥β. β α γ m a b ᵟ 证明设m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m α β l γ b m n a ③已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= ,求证： ⊥γ. 结论：垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面 证法1：设 在γ内过A点作直线 a ⊥n， 在γ内过A点作直线 b⊥m， 在γ内任取一点A（不在m,n上）， 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 a b α β l γ n m A ③已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= ,求证： ⊥γ. 证法2：设 同理 36 同学们这些结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 中国人的思维缺陷 1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。 2、以“经典、经验、想当然”作为论据 参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛 总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。 西方人思维优点 擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式 从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直;由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化. 空间中直线、平面垂直的转化 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 性质 判定 定义 平面与平面垂直的性质定理 例1　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 面面垂直 面面垂直性质定理 线线垂直 线面垂直 线面垂直定义 D 反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC. 证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC， ∴AM⊥平面EBC. 1.知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角. (2)平面与平面垂直的判定定理. (3)平面与平面垂直的性质定理. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：面面垂直性质定理 (1)面面垂直，在其中一个面内任意一条直线都与另一个平面垂直. (2)面面垂直，过其中一个面内任意一点与交线垂直的直线与另一个平面垂直. 课堂小结 1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面 A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 √ 随堂演练 解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个. 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β √ 解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 3.从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是 A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 解析　∵PE⊥α，PF⊥β， ∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β， 设此平面交l的为O，连接OE、OF， 易知l⊥OE且l， 则∠FOE为二面角的平面角， 如图①所示， 此时，∠FOE＋∠EPF＝180°， ∴二面角α－l－β的平面角为120°. 当点P的位置如图②所示时， 此时∠FOE＝∠EPF， ∴二面角α－l－β的平面角为60°. 4.下列命题正确的是 A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B.若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α √ 解析　A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误； B项，直线m与平面α内的一条直线平行，也可能m⊂α，故B错误； C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误； D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确. 5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补 √ 解析　画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这两个二面角相等. 而数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析就是我们所说的数学学科核心素养。 什么是核心素养？ 学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 什么是数学学科核心素养？ 是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。 在上面6个核心素养中，其中一个核心素养即直观想象与我们上述5个试题有关。 高考如何考察直观想象这个核心素养？ 一般题中给你文字语言或符号语言，只要你能画出图像，那这道题一般就可以解出。因为你能画出图像说明了你具备直观想象能力。 《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为： 数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。 那如何会用数学的眼光观察世界？一般通过数学抽象和直观想象途径来实现。 那如何会用数学的思维分析世界？一般通过逻辑推理和数学运算途径来实现。 那如何会用数学的语言表达世界？一般通过数学建模和数据分析途径来实现。 用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人自身处理信息；用数学的语言表达世界，即人向外界输出信息。 ∴BH＝AC＝AH， $