8.6.1直线与直线垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“直线与直线垂直”，涵盖异面直线所成角的定义、求法及垂直证明，通过“微探究”以正方体实例引导平移转化，衔接平面内直线夹角知识，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点在于以转化思想贯穿教学，典例剖析步骤清晰，规律总结提炼求角及证明垂直的方法，结合正方体、空间四边形等实例，培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。学生能提升空间观念，教师可依托分层练习高效教学。

第八章　立体几何初步 8.6.1　直线与直线垂直 目 标 素 养 1.能说明直线与直线垂直的含义,提升数学抽象素养. 2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角,会求简单空间图形中两条异面直线所成的角,提升数学运算与逻辑推理素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.异面直线所成的角 定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线　a'与b'　所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).  微提醒 在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 2.两条异面直线互相垂直 (1)定义:如果两条异面直线所成的角是　直角　,那么这两  条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作　a⊥b　.  (2)异面直线所成的角θ的取值范围:　0°<θ≤90°　.  (3)空间两条直线所成角α的取值范围:　0°≤α≤90°　;当两条直线a,b相互平行时,规定它们所成的角为　0°　.  微探究 平面内两条直线相交形成4个角, 其中不大于90°的角称为这两条直线所成 的角(或夹角),用以刻画一条直线相对于另 一条直线倾斜的程度.如图,在正方体 ABCD-EFGH中,如何刻画异面直线AB相对 于HF倾斜的程度?应用了什么数学思想? 提示:平移转化成相交直线所成的角,由于AB∥EF,可用EF与HF的夹角来刻画.应用的是转换思想,即化空间图形问题为平面图形问题. 课堂·重难突破 一 异面直线所成的角 典例剖析 A.150° B.60° C.120° D.30° 答案:D 规律总结 求两条异面直线所成的角的步骤 (1)用平移法,将两条异面直线平移,使平移后的两条直线相交于一点. (2)找出两条直线所成的角,即为两条异面直线所成的角. (3)求出角的值,常利用解三角形得出.注意异面直线所成角的范围是(0, ]. 学以致用 (1)求异面直线BC和A'C'所成的角的大小. (2)求异面直线AA'和BC'所成的角的大小. 解:(1)因为BC∥B'C',所以∠B'C'A'是异面直线A'C'与BC所成的角. 所以∠B'C'A'=45°. 所以异面直线BC和A'C'所成的角为45°. (2)因为AA'∥BB',所以∠B'BC'是异面直线AA'和BC'所成的角. 所以BC'=4,∠B'BC'=60°. 所以异面直线AA'与BC'所成的角为60°. 二 直线与直线垂直的证明 典例剖析  2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF. 证法一:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G. 则OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1或其补角为异面直线DB1与EF所成的角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ∴DB1⊥EF. 证法二:如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE, 则HE􀰿 DB1. 于是∠HEF或其补角为异面直线DB1与EF所成的角. 连接HF,设AA1=1,则EF= ,HE= ,取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF. ∴HF2=HI2+IF2= . ∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ∴DB1⊥EF. 规律总结 证明两条异面直线垂直的步骤 (1)恰当选点,用平移法构造出一对相交的角. (2)证明这个角或其补角就是异面直线所成的角. (3)把相交的角放在平面图形中,一般是放在三角形中,通过解三角形求出所构造的角的度数. (4)若求出的平面角为直角,垂直得证. 学以致用 2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE= ,EF=3. 求证:AC⊥BD. 证明:∵点G,E分别是CD,BC的中点, ∴GE∥BD,同理GF∥AC. ∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角. 在△EFG中,∵FG=2,GE= ,EF=3, 满足FG2+GE2=EF2,∴∠FGE=90°. 即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 三 异面直线所成角的应用 典例剖析 3.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为　　　　. 规律总结 关于异面直线所成角的应用 当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论. 学以致用 3.如图,在正方体ABCD-EFGH中,M,N分别是BF,CG的中点,且AG和BN所成的角为39.2°,求AM和BN所成角的大小. 解:连接MG,因为BCGF是正方形, 所以BF CG. 因为M,N分别是BF,CG的中点, 所以BM NG, 所以四边形BNGM是平行四边形,所以BN∥MG, 所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角, ∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角. 因为AM=MG,所以∠AGM=∠MAG=39.2°, 所以∠AMG=101.6°,所以AM和BN所成的角为78.4°. 随堂训练 1.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,则异面直线AM与BC1所成的角的余弦值是(　　) 答案:A 解析:连接AD1,D1M(图略). ∵AB=C1D1,AB∥C1D1, ∴四边形ABC1D1为平行四边形, 则AD1∥BC1,则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成的角. 设正方体的棱长为2, 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且异面的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案:B 解析:和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B. 解析:因为截面PQMN为正方形, 所以PQ∥MN,QM∥PN, 所以PQ∥平面ACD,QM∥平面BDA, 所以PQ∥AC,QM∥BD, 由PQ⊥QM,可得AC⊥BD,故A正确. 由PQ∥AC,可得AC∥截面PQMN,故B正确. 因为QM∥BD,所以∠PMQ为异面直线PM与BD所成的角,在正方形PQMN中,∠PMQ=45°,故D正确. 由已知条件不能推出AC=BD,故C错误. 3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥A'-DEF,则HG与IJ所成的角的大小为　　　　　.  答案:60° 解析:如图,在三棱锥A'-DEF中,因为G,H,I,J分别为A'F,A'D, A'E,DE的中点,所以IJ∥A'D,HG∥DF,所以∠A'DF为HG与IJ所成的角,显然∠A'DF=60°,所以HG与IJ所成的角的大小为60°. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥DA,PD⊥DC,在底面ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,又CD=6,AB=AD=PD=3,E为PC的中点. (1)求证:BE∥平面ADP. (2)求异面直线PA与CB所成的角. (1)证明:如图,取PD的中点F,连接EF,AF, 则EF∥CD,EF= CD=3, 因为AB∥CD,AB=3, 所以AB EF,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF. 又AF⊂平面ADP,BE⊄平面ADP,所以BE∥平面ADP. (2)解:如图,取CD的中点G,连接AG,PG, 则AB∥GC,AB=GC=3,所以四边形ABCG为平行四边形, 所以BC∥AG, 所以∠PAG(或其补角)为异面直线PA与CB所成的角. 所以∠PAG=60°, 所以异面直线PA与CB所成的角为60°. $