精品解析：2026年河北省秦皇岛市海港区初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷

2026年海港区初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，请将答题卡、试卷、和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“数的相反数是”是解题的关键． 根据相反数的定义，求-7的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 2. 如图，直线、相交于点，若等于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是邻补角的性质：若两个角互为邻补角，则相加等于． 根据邻补角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵等于， ∴． 故选：C． 3. 如图，是一个粮仓，上、下部是一个圆锥，中间是一个圆柱．则这个粮仓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵上、下部是一个圆锥，中间是一个圆柱． ∴主视图是 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，零指数幂，负整数指数幂运算法则逐一计算作出判断： 【详解】A．，选项错误； B．，选项错误； C． ，选项错误； D． ，选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，零指数幂和负整指数幂，掌握这些运算的法则是解题的关键． 5. 2025年我国新能源汽车产量预计达到1200万辆．将1200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较大数的形式为，其中，为正整数． 【详解】解：万． 6. 如图将矩形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠性质是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 8. 如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形， 即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5． 故选C． 【点睛】本题考查正多边形和圆． 9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点O．求证：．以下是排乱的证明过程：①又；②∴，即；③∵四边形是菱形；④∴．证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵对角线，交于点O， ∴， ∴， 即， ∴证明步骤正确的顺序是， 故选：B． 【点睛】考查菱形的性质以及等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．本题的技巧是四边形是菱形肯定是第一个，这是命题的条件，肯定排最后，这是命题的结论． 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：7________．（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过比较平方的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ∴． 14. 如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据统计图中的数据利用中位数和众数的定义即可得到a的值． 【详解】由统计图可知，前三次的中位数是8， ∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数， ∴当时，中位数是8.5，众数是9，不合题意； 当时，中位数是8，众数是8，符合题意； 当时，中位数是7，众数是6，不符合题意； 故答案为：8． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，确定P点轨迹是以为直径的圆，设中点为O（圆心），则圆半径，点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径，求解即可； 【详解】 解：在正方形中，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又， 则，故， 根据“直角对直径”，点P的轨迹是以为直径的圆， 设中点为O（圆心），连接，则圆半径， 点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径， 在中，，，， 由勾股定理得： ， 因此的最小值为． 16. 在平面直角坐标系中，已知点．任取其中三点可以确定一条抛物线的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出从4个点中任取3个点，结合抛物线的特点得到所有等可能结果，再判断不能确定抛物线的三点共线的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设四个点分别为 ， ， ，， 根据题意，从4个点中任取3个点，共有4种等可能的结果，即， ∵三点共线，无法确定抛物线， ∴需验证三点是否共线如下： 设过点 和的直线解析式为， 代入坐标得， 解得，，即直线解析式为， 将 代入解析式，左边，右边，等式成立， ∴点在直线上，即三点共线，不能确定抛物线； ∵当时， ，， ∴不能确定抛物线； ∴可以确定抛物线， ∴所求概率为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： （1）求的值 （2）若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】（1）13 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到不等式，求解后在数轴上表示即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：根据题意得： 数轴表示如图所示： 18. 已知：． （1）当时，请你化简：； （2）嘉琪说：“当时，无论取何值时，总是非正数；”嘉琪的说法是否正确？并论证你的判断． 【答案】（1） （2）嘉琪的说法正确理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据整式的化简法则，去括号，合并同类项计算即可； （2）代入后，利用完全平方公式，化简，利用完全平方式的非负性解答即可． 本题考查了整式的化简，完全平方公式的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 嘉琪的说法正确； 证明： ， 无论取何值时，， 即， 无论取何值时，总是非正数． 19. 如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，？ （2）当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）秒 （2）秒或秒 【解析】 【分析】（1）由平行可得，根据相似三角形的性质列式计算即可； （2）过点作于，分两种情况：当点为直角顶点时，当点为直角顶点时，然后得到相似三角形，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， ，则 ， ， ， ， 即， 解得， 当秒时，； 【小问2详解】 解：过点作于， ，， ， 当点为直角顶点时，则， ， ， ， ， 即， 解得， 当点为直角顶点时，则， ， ， ， ， 即， 解得， 综上，当秒或秒时，是直角三角形． 20. 某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． （1）根据所给信息，求与的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】（1）（，且x为正整数） （2）原计划使用货车6辆 （3）至少需要8辆货车，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即 ， ∴ ， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； 【小问2详解】 解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． 【小问3详解】 解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 21. 如图1，已知的半径为5，点在上，以为边作平行四边形． （1）若四边形为正方形，则 ①点___________（填“在”或“不在”）上． ②___________． （2）若与相切，如图2 ①若，求的长． ②若，连接，求的值． 【答案】（1）①在；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据圆的特点，正方形的性质得到，结合点与圆的位置关系即可求解； ②根据圆的性质连接，则，根据正方形的性质得到，由勾股定理即可求解； （2）①根据平行四边形的性质，圆周角定理得到 ，结合切线的性质，垂径定理的推论得到， ，由弧长公式即可求解；②过点O作于，由垂径定理，勾股定理得到，根据正切值的计算得到，结合弧、弦的关系得到，再根据切线的性质，角度的等量代换得到 ，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①在， ∵点在上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D在上； ②如图所示，连接， ∴ ， ∴， 故答案为：①在；②； 【小问2详解】 解：①连接 与相交于点， 四边形为平行四边形， ，， ， 与相切， ， ， ， ， ， ； ②过点O作于， ， ， 在中， ， ， 由①可知：， ∴， ， ， ， ， ． 22. 某材料科学实验室致力于新型碳基纳米储能材料的研发，该材料在新一代钠离子电池、柔性电子器件领域具备极高应用潜力，是当前能源材料科研的前沿方向．实验室采用自动化合成装置，连续5天对该材料的恒温催化合成实验进行监测，精准记录每日的材料合成量．设实验第天的新型碳基纳米材料合成量为毫克，在恒定实验参数下，每日合成量与实验天数满足一次函数关系，实验监测数据满足下面两个条件： ①实验第2天，该纳米材料的合成量为42毫克； ②这5天的材料合成量的平均数，比第4天的合成量少6毫克． 请根据以上实验监测信息，完成下面问题解答： （1）求与的函数关系式． （2）求出这5天每天的纳米材料合成量，并计算该组实验数据的平均数、中位数． （3）研究人员需从合成量不低于平均数的实验天数中，随机抽取2天进行样品成分与性能检测，请你用列表法求抽到的2天恰好为连续实验天数的概率． 【答案】（1） （2）平均数为48，中位数为48 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设（，）．由条件①：时，，代入得：，根据题意得5天的合成量分别为：；；；；，据此求出5天合成量的平均数，由条件②：平均数比第4天合成量少6毫克，即： ，解得．再代入①，求出，即可解答． （2）求出时，的值，即可求出平均数和中位数． （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：因为与满足一次函数关系，设（，）． 由条件①：时，，代入得：①， 5天的合成量分别为：，， ， ， ． 5天合成量的总和为，因此平均数为， 由条件②：平均数比第4天合成量少6毫克，即： ，解得． 将代入①，得，解得． 因此函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故这5天每天的纳米材料合成量分别为36毫克、42毫克、48毫克、54毫克、60毫克， 平均数为， 将数据从小到大排列，5个数的中位数为第3个数，即中位数为48． 【小问3详解】 解：不低于平均数的天数：第3、4、5天，共3天，从中任取2天， 1 2 第3天 第4天 第5天 第3天 第4天 第5天 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种：， （抽到的2天恰好为连续实验天数）． 23. 综合与实践 【回顾】 （1）如图1，在中，点，分别为，的中点，直接写出和的数量关系和位置关系． 【迁移】如图2，在任意四边形中，点，，分别为，，的中点． （2）请利用尺规作出边的中点，并连接，，，（保留作图痕迹，不写作法）． （3）求证：四边形是平行四边形． 【操作】如图3，嘉嘉对迁移的图做了如下操作： ①将绕点旋转得到； ②将绕点旋转得到； ③连接． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （4）求证：； （5）当，，，，．求的度数．（参考数据：，） 【拓展】嘉嘉通过这样的操作，就可以将任意四边形剪拼成一个平行四边形．请继续探究下面的问题． （6）如图4，将四边形剪拼成一个矩形，使矩形的面积等于四边形的面积（要求无重叠，无缝隙；裁剪线用虚线，拼成矩形用实线）． 【答案】（1）且 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5） （6）见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线定理判定即可； （2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线与的交点即为边的中点； （3）连接，根据中位线定理可得且，且，即可得证； （4）由旋转可知， ， ，根据全等三角形的性质结合中点的性质等量代换可得，，再根据 ， 证明 ，即可得证； （5）作于点，于点，于点，可得四边形 为矩形，由旋转的性质可得，在 中，解直角三角形可得，的长，即可得到，在 中，解直角三角形可得，的长，即可得到，再根据梯形的面积公式求解，由列方程可得的长，在 中，解直角三角形可得 的度数，最后根据 求解即可； （6）参考【操作】中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，再过点作垂线进行分割操作即可得到矩形． 【小问1详解】 解：且； 点，分别为，的中点， 是的中位线， 且； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 证明：如图，连接， 点、分别为、的中点， 且， 同理且， 且， 四边形为平行四边形； 【小问4详解】 证明：由旋转可知， ， ， ，，， ， 点为中点，点为中点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ； 【小问5详解】 解：如图，作于点，于点，于点， 四边形 为矩形， ，， ， 由（4）可知 ， 由旋转可知， ， ， ， 在 中，， ， ， ， ， 在 中，， 设， ， ，即， （负值舍去）， ，， ， ， ，即， ， ， ， 在 中，， ， ； 【小问6详解】 解：如图，、、、分别为四边形的四条边的中点， ，沿虚线、、、剪开四边形，把 、、、分别拼接到、、、处即可，四边形 为矩形，且面积等于四边形的面积（答案不唯一，作图合理即可）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，点为抛物线的顶点．直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式． （2）直接写出点的坐标，判断点是否在直线上，若不在，直接写出点经过平移落在上的最小平移距离． （3）将抛物线向下平移个单位长度，记作抛物线；直线向下平移个单位长度，记作直线． ①若抛物线上存在一点，直线上存在一点，当时，，且的值唯一，则___________． ②设直线与抛物线交于两点，点为的中点，试说明无论取何值，点始终在一条确定的直线上． ③设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2），点不在直线上，最小平移距离为 （3）①；②见解析；③7 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）根据顶点式可知的坐标，导入一次函数即可求解； （3）①根据平移可知函数解析式，构造方程，当时，方程两个解相同；②根据平移可知函数解析式，构造方程，得到中点的横坐标即可证明；③得到点的坐标，表示的长度，根据函数分析最值即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为 由题意得 解得 抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点， 在中，当时，， 点不在直线上, 过作轴，交于点, 过作轴，交于点, 过作 ，交于点, ∵点， 当时，，则点, 当时，，则点, 则 ,, ∴, ∴ , ∴, ∴点到直线的距离即为最小平移距离，最小平移距离为； 【小问3详解】 ①由题可知：抛物线平移后的解析式为，直线平移后的解析式为 由题意得， 整理得 ∵， ∴ 解得：或（舍去） ②抛物线平移后的解析式为 直线平移后的解析式为 由题意得， 整理得 设方程的两根为和，则 无论取何值，点始终在直线上运动． ③抛物线与轴交于点，直线与轴交于点， ，当即时， 当时的最大值为7 当即时， 当时的最大值为2 综上当时的最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年海港区初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，请将答题卡、试卷、和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 如图，直线、相交于点，若等于，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一个粮仓，上、下部是一个圆锥，中间是一个圆柱．则这个粮仓的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年我国新能源汽车产量预计达到1200万辆．将1200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图将矩形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 8. 如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点O．求证：．以下是排乱的证明过程：①又；②∴，即；③∵四边形是菱形；④∴．证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形 ，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：7________．（填“>”、“=”或“<”）． 14. 如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则___________． 15. 如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点．任取其中三点可以确定一条抛物线的概率是___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义新运算：对于任意实数，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： （1）求的值 （2）若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 18. 已知：． （1）当时，请你化简：； （2）嘉琪说：“当时，无论取何值时，总是非正数；”嘉琪的说法是否正确？并论证你的判断． 19. 如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，？ （2）当是直角三角形时，直接写出的值． 20. 某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． （1）根据所给信息，求与的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 21. 如图1，已知的半径为5，点在上，以为边作平行四边形． （1）若四边形为正方形，则 ①点___________（填“在”或“不在”）上． ②___________． （2）若与相切，如图2 ①若，求的长． ②若，连接，求的值． 22. 某材料科学实验室致力于新型碳基纳米储能材料的研发，该材料在新一代钠离子电池、柔性电子器件领域具备极高应用潜力，是当前能源材料科研的前沿方向．实验室采用自动化合成装置，连续5天对该材料的恒温催化合成实验进行监测，精准记录每日的材料合成量．设实验第天的新型碳基纳米材料合成量为毫克，在恒定实验参数下，每日合成量与实验天数满足一次函数关系，实验监测数据满足下面两个条件： ①实验第2天，该纳米材料的合成量为42毫克； ②这5天的材料合成量的平均数，比第4天的合成量少6毫克． 请根据以上实验监测信息，完成下面问题解答： （1）求与的函数关系式． （2）求出这5天每天的纳米材料合成量，并计算该组实验数据的平均数、中位数． （3）研究人员需从合成量不低于平均数的实验天数中，随机抽取2天进行样品成分与性能检测，请你用列表法求抽到的2天恰好为连续实验天数的概率． 23. 综合与实践 【回顾】 （1）如图1，在中，点，分别为，的中点，直接写出和的数量关系和位置关系． 【迁移】如图2，在任意四边形中，点，，分别为，，的中点． （2）请利用尺规作出边的中点，并连接，，，（保留作图痕迹，不写作法）． （3）求证：四边形是平行四边形． 【操作】如图3，嘉嘉对迁移的图做了如下操作： ①将绕点旋转得到； ②将绕点旋转得到； ③连接． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （4）求证：； （5）当，，，，．求的度数．（参考数据：， ） 【拓展】嘉嘉通过这样的操作，就可以将任意四边形剪拼成一个平行四边形．请继续探究下面的问题． （6）如图4，将四边形剪拼成一个矩形，使矩形的面积等于四边形的面积（要求无重叠，无缝隙；裁剪线用虚线，拼成矩形用实线）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，点为抛物线的顶点．直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式． （2）直接写出点的坐标，判断点是否在直线上，若不在，直接写出点经过平移落在上的最小平移距离． （3）将抛物线向下平移个单位长度，记作抛物线；直线向下平移个单位长度，记作直线． ①若抛物线上存在一点，直线上存在一点，当时，，且的值唯一，则___________． ②设直线与抛物线交于两点，点为的中点，试说明无论取何值，点始终在一条确定的直线上． ③设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $