精品解析：2025年河北省秦皇岛市海港区中考一模数学试卷

2025年海港区初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 4的算术平方根是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. 2. 如图， ，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ） A. 积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B. 幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C. 同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 6. 地球与太阳之间的距离约为千米，这个数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点 、 、 、 对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是 、 、 、 ，且，则点 表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（ ） A. 设鸡有x只，所列方程为 B. 设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C. 假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D. 假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 10. 已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两根互为相反数 C. 两根异号 D. 实数根的个数与实数b的取值无关 11. 如图，四边形 是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结 ，， ，．下列条件： ① ；②； ③ ，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，正六边形的边长为，点M是 的内心，点N是的外心，则 的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：________． 14. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是________ 15. 如图， 的半径为，点A，B，C是 上的三个点，若四边形是菱形，则阴影部分的面积为________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： （1）求的值 （2）嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 18. 在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”．规则如下：每位同学可以完成解分式方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步运算，直至完成分式方程的求解过程． 问题情境： 接力游戏 解方程： 甲同学：去分母，得： 乙同学：移项，得： 丙同学：合并同类项，得： 丁同学：系数化为1，得： 请根据上表的“接力游戏”回答问题： （1）在“接力游戏”中，从________同学开始出现错误，你的判断依据________． （2）写出正确的解答过程． 19. 甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等.比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据统计数据绘制了如图所示的尚不完整的统计图表. 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______ ； （2）请你将②的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 20. 如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 21. 如图1， 在中， ，，，点E在 上，以 为直径的 经过 上的点D，且 （1）求证： 是 的切线； （2）求 的半径长度； （3）将 沿射线 方向平移 ，如图2， 与 切于点F，与 交于P、Q两点，与 交于M、N两点，求 的长度． 22. 图1是某种路政工程车在进行修路灯作业，图2是其平面示意图，始终与地面 垂直，，只有活动臂 可绕B点旋转．作业工人站在操作平台的C点处，DE是路灯架．当操作台C在D的正下方（即：），且米时，作业工人能够在D处正常工作．已知米，米，米． （1）当时，作业工人恰好可以在D处正常工作，求点D到地面的距离； （2）若路灯上有一点E，E点比D点竖直方向高0.5米，活动臂 在（1）的情况下绕B点顺时针旋转，使得操作台在点E的正下方，此时作业工人也刚好能正常工作．求活动臂旋转了多少度？ （参考数据：，，，） 23. 琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线 ，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴 的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴 的距离为（）． （1）如图3，以O为原点，以直线 为x轴，建立平面直角坐标系． ①求出对称轴 上方抛物线的解析式； ②点E在抛物线上，且点E到对称轴 的距离最大，求点E的坐标； （2）如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线 对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由； （3）琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值． 24. 如图1，有一张矩形纸片 ，，．将纸片进行两次折叠，第一次折叠使得点A与点B重合，得到折痕 ；第二次经过点B折叠，使点A的对称点落在 上，得到折痕，G为折痕与 的交点． （1）尺规作图：在图1中做出点及折痕（借助无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、，判断形状，并证明． （3）在 上取一点M，连结，以为边（如图2），在上方作等边，连接 ， ①若，求的值； ②直接写出最小值． （4）如何折出一个面积最大的等边三角形？在备用图上画出折痕并简要说明折法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年海港区初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 4的算术平方根是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的意义求解. 【详解】∵22＝4， ∴4的算术平方根是2． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念，理解算术平方根的定义：一个数的平方等于 ，这个数是 的平方根，平方根中正的平方根叫算术平方根是解题的关键. 2. 如图， ，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵ ，， ∴， 故选：A． 3. 下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ） A. 积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B. 幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C. 同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法． 故选：A． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 5. 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个不等式组的解集，与数轴相比较可得． 【详解】A、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意； B、不等式组的解集为，与数轴相吻合，符合题意； C、不等式组的解集为，与数轴不合，不符合题意； D、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. 地球与太阳之间的距离约为千米，这个数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时， 是正数；当原数的绝对值时， 是负数，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 7. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可． 【详解】解：列表如下：   红1 红2 白 红1 -- 红1红2 红1白 红2 红2红1 -- 红2白 白 白红1 白红2 -- ∵从布袋里摸出两个球的情况一共有6种，摸到两个红球的情况有2种， ∴摸到两个红球的概率是． 故选：A． 8. 如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点 、 、 、 对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是 、 、 、，且，则点 表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识．设点 对应的数是 ，则点 表示的数是：，点 表示的数是：，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设点 对应的数是 ， 数轴上每相邻两点相距一个单位长度， 点 表示数位：，点 表示的数是：，点 表示的数是：， 又 点 、 、 、 所表示的数分别是 、 、 、，且， ， 解得： ， 故选：D． 9. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（ ） A. 设鸡有x只，所列方程为 B. 设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C. 假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D. 假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 10. 已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两根互为相反数 C. 两根异号 D. 实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 11. 如图，四边形 是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，， ，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交 于点 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 12. 如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，圆的内心和外心，直角三角形的性质等知识，连接 交 于点 ，连接，根据正六边形的性质得，，从而得出，根据对称性得出，是等边三角形，得出，设的内切圆的半径为 ，根据列式求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接 交 于点 ，连接，设与 交于点 ，如图， ∴点 为正六边形的中心， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵正六边形是轴对称图形， ∴ ∴， ∴， , ∵点 为的外心，点 在 上， ∴， 根据对称性得出是等边三角形，， ∴，， ∴， 设的内切圆的半径为 ， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，先利用对称性求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B， ∴， 根据图象得：当时的变量x的取值范围为：或． 故答案为：或． 15. 如图， 的半径为，点A，B，C是 上的三个点，若四边形是菱形，则阴影部分的面积为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积，根据菱形的性质可得可得，再利用扇形面积公式即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解： 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象及性质．根据抛物线经过点和，得到抛物线的对称轴为，根据增减性得到，从而，进而得到对称轴为 ，．根据抛物线与矩形的边有两个交点，求出抛物线过各个临界点时c的值，即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线开口向上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是， ∴，解得， ∴抛物线的对称轴为 ， ∴， ∴， ∴抛物线为． 如图，当抛物线经过原点时，， 如图，当抛物线经过点时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 如图，当抛物线顶点在x轴上时， ，解得 ， 如图，当抛物线顶点在 上时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： （1）求的值 （2）嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【答案】（1） （2） 嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）按照定义的运算规则代入数值计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 18. 在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”．规则如下：每位同学可以完成解分式方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步运算，直至完成分式方程的求解过程． 问题情境： 接力游戏 解方程： 甲同学：去分母，得： 乙同学：移项，得： 丙同学：合并同类项，得： 丁同学：系数化为1，得： 请根据上表的“接力游戏”回答问题： （1）在“接力游戏”中，从________同学开始出现错误，你的判断依据________． （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）甲，去括号法则（或乘法分配律） （2） 解： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验是原方程的增根．所以原方程无解． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤逐项判断即可； （2）根据解分式方程的步骤求解． 【小问1详解】 解：在“接力游戏”中，从甲同学开始出现错误，你的判断依据去括号法则，当括号前是负因数时，去括号后括号内的每一项要变号． 故答案为：甲，去括号法则． 【小问2详解】 略 19. 甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等.比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据统计数据绘制了如图所示的尚不完整的统计图表. 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______ ； （2）请你将②的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【答案】（1）144°； （2）补全统计图如图所示： （3）从平均分和中位数的角度分析乙校成绩较好； （4）应选甲校. 【解析】 【分析】(1)观察图①、图②，根据10分的人数以及10分的圆心角的度数可以求出乙校参赛的人数，然后再用360度乘以“7分”学生所占的比例即可得； (2)求出8分的学生数，据此即可补全统计图； (3)先求出甲校9分的人数，然后利用加权平均数公式求出甲校的平均分，根据中位数概念求出甲校的中位数，结合乙校的平均分与中位数进行分析作出判断即可； (4)根据两校的高分人数进行分析即可得. 【详解】(1)由图①知“10分”的所在扇形的圆心角是90度，由图②知10分的有5人，所以乙校参加英语竞赛的人数为：5÷=20(人)， 所以“7分”所在扇形的圆心角=360°×=144°， 故答案为144； (2)乙校得8分的学生的人数为(人)， (3)由(1)知甲校参加英语口语竞赛的学生人数也是20人， 故甲校得9分的学生有(人)， 所以甲校的平均分为：(分)，中位数为7分， 而乙校的平均数为8.3分，中位数为8分， 因为两校的平均数相同，但甲校的中位数要低于乙校，所以从平均分和中位数的角度分析乙校成绩较好； (4)选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校. 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若 ，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1），点不在直线； （2）①，②； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； 【小问2详解】 解：①当 时直线 联立得：， 解得：， ∴点 坐标为， 故答案为：， ②在中，当 时， ，当时，， ，， ； 【小问3详解】 解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点 时，则， 解得：， 当直线过点 时，则， 解得：， ∴ 的取值范围或． 21. 如图1，在中， ，，，点E在上，以 为直径的 经过 上的点D，且 （1）求证： 是 的切线； （2）求 的半径长度； （3）将沿射线 方向平移 ，如图2， 与 切于点F，与交于P、Q两点，与 交于M、N两点，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图：连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴AB是⊙O的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，再证明可得即可证明结论； （2）在中由正切的定义以及勾股定理可得、，由全等三角形的性质可得，进而得到，最后解直角三角形即可解答； （3）如图：过O作 的垂线，交 于点K，交 于点G，过K作交 于点H，由正弦的定义可得，根据平移的性质可得，则，即；再根据勾股定理可得，最后根据垂径定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 在中，． 【小问3详解】 解：如图：过O作 的垂线，交 于点K，交 于点G，过K作交 于点H， ∴，，， ∴， 由平移可知，在中，， ∴， 在中，． ∴． 22. 图1是某种路政工程车在进行修路灯作业，图2是其平面示意图， 始终与地面垂直，，只有活动臂 可绕B点旋转．作业工人站在操作平台的C点处，DE是路灯架．当操作台C在D的正下方（即：），且米时，作业工人能够在D处正常工作．已知米，米，米． （1）当时，作业工人恰好可以在D处正常工作，求点D到地面的距离； （2）若路灯上有一点E，E点比D点竖直方向高0.5米，活动臂 在（1）的情况下绕B点顺时针旋转，使得操作台在点E的正下方，此时作业工人也刚好能正常工作．求活动臂旋转了多少度？ （参考数据：，，，） 【答案】（1）D到地面的距离为 （2）活动臂旋转了． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）过D作，垂足为F，则 即为D到地面的距离；过B作于G，交 的延长线于K，在和中，解直角三角形即可求解； （2）连结并延长交于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：过D作，垂足为F，则 即为D到地面的距离；过B作于G，交 的延长线于K， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∴， ∴D到地面的距离为； 【小问2详解】 解：连结并延长交于点H， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 23. 琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴的距离为（）． （1）如图3，以O为原点，以直线为x轴，建立平面直角坐标系． ①求出对称轴上方抛物线的解析式； ②点E在抛物线上，且点E到对称轴的距离最大，求点E的坐标； （2）如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由； （3）琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值． 【答案】（1）①，② （2） 解：琪琪的说法对，理由如下： 设直线 表达式为， 直线 过点， ， 解得， 直线 表达式为， ， 在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是， 安装4条竖直的铁丝总长度小于，总长的铁丝一定够用， 所以琪琪的说法正确； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键， （1）①用待定系数法求二次函数表达式即可；②求出二次函数顶点坐标即可； （2）先求出直线 表达式为，进而利用二次函数性质求出在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度即可解决问题； （3）根据图象得出当直线 与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，求出此时直线 表达式及点 坐标，进而求出正方形对角线长度，再利用三角函数求出正方形边长； 【小问1详解】 解：① 抛物线过点， 设抛物线的解析式为， 由题意得：， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②， 点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中时，所需正方形边长最小， 四边形为正方形， ， ， 设， 则， 设直线 表达式为， 把代入，， 解得：， 直线 表达式为， 由图可知当直线 与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， 有两个相等的实数根， 化简方程，得：， ，即， 解得：， 直线 表达式为， 当 时，，即， 由（1）知，抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， 由对称性可知正方形的顶点， 则， 此时所需正方形边长， 这个正方形托盘边长的最小值是． 24. 如图1，有一张矩形纸片 ，，．将纸片进行两次折叠，第一次折叠使得点A与点B重合，得到折痕 ；第二次经过点B折叠，使点A的对称点落在 上，得到折痕，G为折痕与 的交点． （1）尺规作图：在图1中做出点及折痕（借助无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、，判断形状，并证明． （3）在 上取一点M，连结，以为边（如图2），在上方作等边，连接 ， ①若，求的值； ②直接写出最小值． （4）如何折出一个面积最大的等边三角形？在备用图上画出折痕并简要说明折法． 【答案】（1） 所作图形如图： （2）是等边三角形， 证明：连接， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形； （3）①，② （4） 即为所求的面积最大的等边三角形． 【解析】 【分析】（1）以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点，再作的平分线，交 于点 ，则折痕即为所作； （2）连接，利用三边相等证明是等边三角形即可； （3）①过M作 ，垂足为H，在中，解直角三角形即可求解； ②证明 ，推出 ，求得，得到当时，的长度最短，据此求解即可； （4）①将纸片折叠，使得点A与点B重合，得到折痕；②经过点B折叠，使点A的对称点落在EF上，得到折痕；③沿折痕折叠，点G的对称点M落在 边上；据此即可得到最大的等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过M作 ，垂足为H， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在中，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由①知，是等边三角形， ∴ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 当时，的长度最短， 设与 交于点 ， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问4详解】 解：①将纸片折叠，使得点A与点B重合，得到折痕； ②经过点B折叠，使点A的对称点落在EF上，得到折痕； ③沿折痕折叠，点G的对称点M落在 边上； 即为所求的面积最大的等边三角形． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $