2026年九年级数学中考二轮复习《圆 综合压轴题》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 聚焦圆的综合应用，分模块整合圆内知识、圆与三角形、圆与四边形，通过多问证明与计算，覆盖切线判定、线段计算等核心考法，培养推理能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆内知识综合|6题|多问证明与计算，含切线证明、线段长度计算|以圆的性质（直径、切线、垂径定理）为核心，构建“性质应用-推理证明-计算求解”链条| |圆与三角形综合|6题|结合等腰/直角三角形，涉及相似、勾股定理应用|串联圆的性质与三角形全等/相似，强化几何直观与推理意识| |圆与四边形综合|8题|内接四边形、矩形/菱形与圆综合，含动态探究|整合四边形性质与圆的关系，提升综合应用与创新意识|

2026年九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、圆内知识综合 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C, 过线段OB上一点E作AB的垂线交直线DC于点F,交BC于点G, G 0 B OE (1)求证：∠F=2∠DCA; (2)若A0=8,AD=OE=2,求FG的长， 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分LCAB交BC于点D,点E在AD的延长线 上，BE=BD,AE交⊙O于点F,连接BF,CF, D (1)求证：CF=BF; (2)求证：BE是⊙0的切线： (3)若⊙O的半径为V5,BE=V5,求CD的长 3.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点P为AB延长线上一点，连接 CP,LBCP=∠BAC,LACB的平分线与直径AB交于点E,交⊙O于点D. (1)求证：CP是⊙0的切线； (2)求证：PE=PC; (3)探究AC+BC与CD之间的数量关系，并说明理由， 4.如图①，⊙O的直径DF交弦AB于点M,AM=BM,连接AD,过点B作BC⊥AD于点 C,BC交OF于点E,连接CO M 图① 图② (1)求证：△ADM一△EBM; (2)求证：EM=MF; (3)如图②，若C01DF,⊙O的半径为4，求EM的长， 5.如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙0上一点，AD交⊙0于E并且和过点C的切线互相垂直， 垂足为D. 图1 图2 (1)求证：AC平分∠DAB. (2)连接0E,BC,如图2所示.若AD=32,DC=24,BC=30,求AB的值. (3)在(2)的条件下，若∠E0B=147°，求阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径. (4)在图2中连接CE,若AB=12,DE=4,请直接写出CE的长 2 6.已知AB为⊙O的直径，C为AD的中点，CH⊥AB于点H,交AD于点E. D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AE=CE; (2)如图2，连接0E,求证：OE平分LDEH; (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC、BC,BC交AD于点F,连接OF,若∠AFO=∠BF0+∠AOE, S四边形cA0F=18,求0F的长。 二、圆与三角形综合 7.如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D,过点D作⊙O的切 线交AC于点E,连接BE交⊙O于点F,连接AF并延长交DE于点G, (1)求证：∠BAC=2LEDC; (2)求证：GE2=FG·AG; B当DE=2AF时，求彩的值， 8.如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D是AC上的动点，点E在AB上.连接DE,DB交 AC于点F,G,且EB=ED,延长AD,BC交于点H,连接CD (1)求证：∠H=∠ABD (2)若CG=1,GF=3,求AF的长. ()若胎-子品的最大值。 9.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.⊙O是△ABC的外接圆，D是线段OB上 一点，过点D作AB的垂线分别交BC于点E,交⊙O在点C处的切线于点F,连接OE: 图1 图2 (1)求证：EF=CF; 2)若AB=5siA= ①当OEIACE时，求EF的长度： ②如图2，当点D在线段0B上运动时（不与端点重合），EF与⊙O交于点G,延长FE交⊙0 于点H,连接CG,CH,当CH为直径时，求OD的长. 10,如图，己知△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上，连接BD交AC于点E,连接OB, ∠OBC=∠ABD; 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC⊥BD; (2)如图2，点F在AB上，连接CF交AB于点G,交BD于点H,若DE=EH,求证：FG=GH: (B)如图3，在(2)的条件下，连接G,若EG=3,an20BC=子，求⊙0的半径。 11.如图，在图1中AB=AC=2,∠B=30°，0A1BC于点0. 图 图2 图3 初步探究：(1)求0A的长 尝试提升：(2)以AC为边向上作等腰直角△ADC,∠CAD=90°，求线段BD的长. 拓展提升：(3)点E在过A,B,C的圆上，且位于直线BC的下方，试探究BE,AE,CE之间 的数量关系， 12,如图甲所示，⊙0是△ABC的外接圆，BC是直径，点D是弦BC下方BC上的动点（与 B,C均不重合)，连接DC并延长交过A点的直线于E点，连接AD,∠CAE=∠ADC. D 甲 ) (1)请直接写出LBAC的大小，即LBAC= (2)求证：AE是⊙O的切线； (3)探究、发现与证明： 如图乙所示，连接BD,当LABD=45时，点P是四边形CABD内部的一点，且满足 PA=PD,∠APD=90°，是否存在常数a,b,使等式BC=a·PA+b·PD成立？若成立，请 直接写出一个a的值，一个b的值，并证明BC=a·PA+b·PD成立；若不存在，请说明理 由. 三、圆与四边形综合 13.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC和BD,AD=BD,在AC的延长线上 取一点E,连结DE,延长BC交DE于点F. (1)若C为BD的中点，求证：∠ACD=2LBDC; (2)当DE切⊙O于点D时， ①求证：△DCF一△BDF; ②若SABDC=SAECB,求证：DB2=AB-DE. 14,如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过O,C两点的⊙P切线段AD于点 T,分别交线段OD,CD,BC于点F,E,M,连结FM,已知AB=5, (1)求证：BM=FM; (2)若M为BC的中点，求⊙P的半径： (3)若⊙P的半径为3，求tanL0CE的值. 15,如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB交BA的延长线于 点P,AD平分∠PAC. d 图1 图2 (1)在图1中，若AC是⊙O的直径，求证：PD是⊙O的切线； (2)在(1)的条件下，若PD=3PA,求线段AD的长； 3)在图2中，若BC=CD,求AB+AD的最大值. 16.综合与探究 【问题情境】如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角LBAC,我们将圆中以A为公共点的三条 弦AB,AC,AD构成的图形称为“爪形A”,弦AB,AC,AD称为“爪形A”的爪. 【猜想证明】 (1)如图2，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连接BD. ①试判断圆中是否存在“爪形D”,并说明理由， ②若LADC=120°，试猜想AD,CD,BD之间的数量关系，并说明理由. 【深入探究】 (2)如图3，若AD⊥DC,试猜想“爪形D"的爪AD,BD,CD之间的数量关系，并说明理 由 D D O。 B D 图1 图2 图3 17.四边形ABCD内接于OO,且BC=CD,连接对角线AC,BD相交于点E. 0 D 图1 图2 (1)如图1，若∠BCD=112°，求LBAC的度数； (2)如图1，过点C的直线CF交AD的延长线于点F,且∠DCF=∠CBD,求证：CF是⊙O的切 线 B)如图2，点M在线段AD上，连接BM交AC于点N.若∠BNE=∠BBN,求证：品+ BE 18.如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD交于点F,己知∠ADB=∠ABC 0° D 图1 图2 图3 (1)求证：AB=AC; (2)如图2，作AE⊥BD于点E,设LDAE=C, ①用含a代数式表示LBAC; ②如图3，若BD经过圆心0，且ana=多求的值。 1 19.如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°AB=4,⊙0是△ABD的外接圆，E是品上一动 点，连接DE并延长交BC于M,连接BE并延长交CD于N, 图1 图2 (1)求证：CB是⊙O的切线： (2)如图2，当E是BD中点时，求图中阴影部分面积； (3)当BM=3时，求MN的长. 20,已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为对角线，DE⊥BC于点E,ABIDE, 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC是⊙0的直径； (2)如图2，连接OB,BD,∠AOB的平分线交BD于点F,连接AF,若AF⊥BD,求证： AD=CD; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EF,若AB=2CE,AD=5V2,求四边形FECO面积 参考答案 1.(1)解：如图，连接0C, C G B DC与⊙O相切于点C, :.0C1CD, ∠0CF=90°， FE⊥AB, ∠0EF=90°， .∠F+∠C0E=180°， .∠A0C+∠C0E=180°， ∠A0C=LF, 0B=0C, ∠OCB=∠OBC, .∠AOC=2∠OBC=2∠OCB, LF=2∠OCB, .∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°， ∠DCA=∠OCB, .LF=2LDCA; (2)解：在Rt△0CD中，0C=0A=8,0D=0A+AD=8+2=10, :.CD=V0D2-0C2=V102-82=6, LODC=∠FDE,∠0CD=∠FED=90°， .△DOC~△DFE, DO DC DF-DE' DE=DA+A0+0E=2+8+2=12, 106 0F=12 解得DF=20, FC=DF-CD=20-6=14, .0B=OC, ∠B=∠OCB, L0CB+∠FCG=90°，∠B+∠BGE=90°， .∠FCG=∠BGE .∠BGE=∠FGC, LFCG=LFGC, :.FG=FC=14. 2.(1)证明：AD平分∠CAB, ·LCAF=∠BAF, CF=BF ..CF=BF; (2)证明：AB是⊙O的直径， ∠AFB=90°， ·∠BAF+∠ABF=90°， BE=BD,BFBF, .Rt△BDF≌Rt△BEF(HL), ∠DBF=∠EBF, CF=CE .∠CAF=∠CBF, ·∠CAF=∠BAF=∠CBF=∠EBF, ∠EBF+∠ABF=90°，即∠ABE=90°， AB⊥BD, OB是⊙O的半径， BE是⊙O的切线； (3)解：己知⊙0的半径为V5,BE=V5, ..AB=25,BE BD=5, 又LABE=90°， AE=AB2+BE2=N(2W5)2+(W5)2=V20+5=5, ∠CAD=LBAD,∠ACD=∠ABE=90°， ·△ACD~△ABE, x AC 设CD=x,即店=25解得AC=2x, BC=BD +CD=5+x, 在Rt△ABC中，由勾股定理：AC2+BC2=AB2, 即(2x)2+(5+x)2=(2W5)2, 整理得，5x2+25x-15=0, 解得x=35(负根己舍去)， 5 所以CD=35 3.(1)证明：连接0C, D O ,AB是直径， ∠ACB=90, ∴.∠AC0+∠0CB=90°， .0A=0C, ·∠BAC=∠AC0, ,∠BCP=∠BAC, .∠BCP=LACO, .∠BCP+∠OCB=90°， ∴.∠0CP=90°， 0C为圆的半径， ∴PC是⊙O的切线； (2)证明：LACB的平分线交⊙O于点D, ·LACD=∠BCD, 'LPCE=∠PCB+∠BCD,LPEC=LBAC+LACD, 又LPCB=∠BAC, .∠PEC=∠PCE, ..PE=PC; (3)解：AC+BC=V2CD,理由如下： 连接BD,AD,过D点作DM⊥AC于M,作DN⊥CB于N, E CN D ,CD平分∠ACB,DM⊥AC,DN⊥CB, .DM=DN,∠ACD=∠BCD, AD=BD' ..AD BD, '∠AMD=∠BND=90, .Rt△AMD≌Rt△BND(HL), :.DM=DN,AM=BN, .∠DMC=∠MCN=∠CND=90°， ·四边形CMDN是正方形， DCN=ACB=45,CM-CN ÷CN=CD.cos∠DCN=2CD, AC BC=(CM AM)+(CN-BN)CM+CN=2CN, ·AC+BC=V2CD 4.(1)证明：连接0A,0B, .AM=BM,0A=OB,OM=OM, △OMA≌△OMB(SSS), 1 L0MA=∠0MB=2×180°=90， :DF⊥AB,即∠DMA=90°， BC⊥AD, LACB=∠AMD=90°，∠ABC=90°-∠BAC=∠ADM, .∠EMB=∠AMD=90°， △ADM△EBM; (2)证明：连接AF, D 、.MB F DF是⊙O的直径， ∠DAF=90°， BC⊥AD, LDAF=∠DCB=90°， ..BCIAF, ∠EBM=∠FAM, LEMB=∠FMA,AM=BM, ·△EMB≌△FMA(ASA), ..EM MF; (3)解：设EM=MF=x, D E M F ⊙0的半径为4， :0M=4-x,0E=0M-EM=4-2x,DM=8-x, DF⊥AB,CO⊥DF, .OCIAM、OCIBM, .△DCO一△DAM,△ECO一△EBM, OC OD OC OE AM=DM'BM EM' AM BM, :.0D·EM=0E·DM,即4x=(4-2x)(8-x), 解得x=6±25， EM的长为6-25. 5.(1)证明：如图，连接0C, D CD与⊙O相切于点C :.0C⊥CD 又AD⊥CD ..OCIIAD ·.LOCA=∠DAC 0C=0A .∠OCA=∠OAC ∠OAC=∠DAC AC平分∠DAB, (2)△ADC是直角三角形，AD=32,DC=24 :AC=VAD2+DC2=V322+242=40 AB是直径， .∠ACB=90°， BC=30 :AB=VAC2+BC2=402+302=50 (3)AB=50 .0B=25 设阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径为？ EB的长=147mO 2=2m,即247x25=27 180 180 245 解得：r= 24 ·阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径为， (4)解：如图，过点C作CF⊥AB于点F,连接CO D 】 设0F=x,则AF=A0+0F=AB+0F=6+x 由(1)可得AC平分∠DAB AC⊥CD,CF⊥AB、 ..CD=CF 又AC=AC Rt△ACD≌Rt△ACF(HL) ..AD=AF=6+x .∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC+∠ABC=1809 .∠DEC=∠ABC 又LABC=90°-∠BAC,∠DCA=90°-∠DAC,∠BAC=∠DAC .∠ABC=∠DCA .∠DEC=∠DCA 又LEDC=∠CDA ·△DEC-△DCA 距- ..DE.DA=DC2=CF2 =CO2-0F2 4×(6+x)=62-x2 解得：x=2或x=-6(舍去) .0F=2 CD=CF=V62-22=4W2 在Rt△CDE中，EC=VCD2+DE2=N(42)2+42=43 6,(1)证明：如图，延长CH,交⊙O于M,连接CD、AM, D M 图1 ~C为AD的中点， AC=CD CH⊥AB,AB为⊙O的直径， AC=AM' CD AM' ..CD =AM, ZAMC和LADC是AC所对的圆周角， .∠AMC=∠ADC, (LAEM=∠CED 在△AME和△CDE中， ∠AME=∠CDE, AM=CD ∴△AME≌△CDE(AAS), ..AE CE. (2)证明：如图，连接0C, D 图2 由(1)可知AE=CE, 0A=0C 在△AOE和△COE中， OE=OE AE =CE ·△AOE≌△COE(SSS), ∠AE0=∠CEO, .∠AEH=∠CED, ∴.∠AEO-∠AEH=∠CEO-∠CED,即∠HEO=∠DEO, :OE平分LDEH (3)解：如图，连接OC,延长OE,交AC于G,过点O作ON⊥BC于N, D B 图3 AE=CE,OA=OC, :0G是AC的垂直平分线，∠AG0=90°，AG=CG, AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠AGO=∠ACB, ..0G lI BC, ∠ABC=∠AOE, LAFO=∠BFO+∠AOE,∠AOF=∠ABC+∠BFO, ∠AOF=∠AF0 .AF=0A=OB, AC=CD' ∠DAC=∠ABC, ∠FAC=LABC 在△FAC和△OBN中， ∠ACF=∠BN0=90°， AF=OB △FAC=△OBN(AAS), ..ON =CF,AC=BN, ON⊥BC, ..CN=BN=AC, ON是△ABC的中位线，ON=AC, +CF-FN-CN-"BG, ..FN =ON, 设FN=ON=x,则AC=2x,BC=4x, S四边形CAOF=18,S△ABC=S四边形CAOF十S△OBF, ×2x:4x=18+×3xx, 解得：x=5(负值己舍去)， 5 0F=V2x=60 5 7.(1)证明：如图，连接0D,设L0DB=a, DE是⊙O的切线， OD⊥DE, ∠0DE=90°， ∠EDC+∠0DB=180°-∠0DE=90°， .∠EDC=90°-∠0DB=90°-a, 0B=OD, ∠OBD=LODB=QC, AB=AC, .∠ODB=∠C=∠B=a, .∠BAC=180°-∠0BD-∠C=180°-2 .LBAC 2LEDC; (2)证明：AB是⊙O的直径， LAFB=90°， AG⊥BF, ∠AFE=∠EFG=90°， .∠EDC+∠ODB=90°， 又LODB=∠OBD=∠C, LEDC+∠C=90°， .∠CED=180°-∠EDC-∠C=90°， ∠AEG=180°-∠CED=90, ∠AEG=∠EFG, 又∠AGE=∠EGF, ·△AGE一△EGF, ..GE2=FG-AG; (3)解：如图，连接0D、AD、FD,设=x, 四边形ABDF内接于⊙O, .∠AFD+∠ABC=180°， .∠AFD+∠DFG=180°， ∠DFG=∠ABC, AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， LAD0+∠0DB=90°， .∠ODE=∠ADO+∠ADG=90°， ∠ODB=∠ADG, ∠ODB=LABC, .LDFG =LADG, LDGF LAGD, .△DFG一△ADG, ,即DG2=FG·AG, 由(2)可得，EG2=FG·AG, .DG=EG EG=DE, DE=2AF ..AF EG, EG Gs七， AF=EG=xAG ..FG=AG-AF=(1-x)AG, EG2=FG·AG, x2AG2=(1-x)AG·AG, 化简，得x2+x-1=0, 解得x=5或x=5-(负值舍去)， 2 2 8- 2 8.(1)证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 因为∠ACB是△HAC的外角，所以∠H=∠ACB-∠HAC. 因为LHAC与LDBC都是弧CD所对的圆周角， 所以∠HAC=∠DBC, 因为LABD=∠ABC-∠DBC 所以∠H=∠ABD (2)解：因为ED=EB,所以LEDB=LABD 因为LACD与∠ABD都是弧AD所对的圆周角， 所以∠ACD=∠ABD, 所以∠EDB=LACD 因为LDFC=LGFD,所以△FDG一△FCD. 因为DF2=FG·FC,CG=1,GF=3, 所以DF2=3×4=12, 因为DF>0, 所以DF=23. 因为LDAC=∠DBC=∠ABC-LEBD,LADE=∠ADB-LEDB=LACB-LEBD, 所以LDAC=LADE,即AF=DF=2V3; (3)解：作AP⊥BC于点P,BM⊥AC于点M,DN⊥AC于点N,连接OC、OB. %-京可设BC=2,AB=3t 在△ABC中，AB=AC, 所以CP=BP=BC=t, 所以BC边上的高线长AP=VAB2-BP2=2V2t, 因为S△ABc=2AB.CN=AC·BM=BC·AP,AB=AC, 所以BM=CN=Bc.AP=2x:22E=4h2 AB 3t 3 因为AB=AC,OB=OC, 所以AO垂直平分BC,又AP⊥BC, 所以A、O、P三点共线， 在△0PC中，0C=0A,0P=AP-0A=2N2t-0A, 由勾股定理得(2V2t-0A)2+t2=0A2 解得0A=2 因为LBMG=∠DNG=90°，∠BGM=∠DGN, 所以△BMG一△DNG, 所瓷-器 故要使C最大，只要DN最大即可，即点D是孤AC的中点时，DN最大. 此时，OD垂直平分AC, 在Rt△0AN中，AN=AG=3, ON =0A2-AN2 =,《-- 所以DN的最大值=OC-ON=32: 4 所以的最大值=坚+-石 43 9.（1)解：连接0C, O D FC是⊙O的切线， 0C⊥FC, AB是直径， LACB=90°， 0A=OB=OC, ·∠OCB=∠0BC, ~FD⊥AB, ∠BDE=90°， .∠BED+∠OBC=90° .∠OCB+∠ECF=90°， ∴.∠BED=∠ECF, .∠BED=∠CEF, .∠CEF=∠ECF, 2.EF CF; (2)解：①如图，过点F作FM⊥BC于点M, E 在Rt△ABC中，AB=5,sinA=) .8G=AB.sinA=5x4. 'OE II AC,∠ACB=90°， ∠0EB=∠ACB=90°， OE⊥BC, E是BC中点， :.CE=BC=2, FM⊥BC,EF=CF, ∴CM=EM=2CE=1, ∠ACB=90°，DF⊥AB, ∠A+∠ABC=90°，∠BED+∠ABC=90°，∠BED=∠MEF, ∠BED=∠MEF=∠A, <.sind =sineMEF MF-EF, 在Rt△FME中，ME2+MP2=EF2即12+(GEP)°=BP2, 解得EP= ②解：如图所示，连接BH CH为直径， .∠CBH=909 .HC=AB=5,CB=4 ..BH=3 设OD=x, 在Rt△ODH,Rt△BDH中， DH2=OH2-0D2=BH2-DB2 月-2=32-(（任-)1 解得：x=10 7 即0D=10 7 10.(1)证明：延长B0,交⊙O于点F,连接DF,CD,如图所示： A D E LOBC=∠ABD, AD=CE ∠ACD=∠CDF, ..DF II AC, BF为⊙O的直径， ∠BDF=90°， .DF II AC, ∠BEC=∠BDF=90°， AC⊥BD; (2)证明：连接BF,CD,如图所示： 根据解析(1)可得：AC⊥BD, .DE EH, AC垂直平分DH, ..CD CH, ..LCHD LCDH,LACD LACF, AF=AD' ∠ABF=∠ABD, BC=BC ∠BFC=∠BDC, LBHF=∠CHD, ∠BFC=∠BHF, :.BF BH, LABF=∠ABD, :.FG=GH; (3)解：延长BO,交⊙O于点M,连接CM,BF,如图所示： 根据解析(1)可得：AC⊥BD, ∠CEH=90, 根据解析(2)可得：BF=BH,FG=GH, BG⊥FH, LBGH=90°， ∠BGH=∠CEH, ∠BHG=∠CHE, .△BHG一△CHE, GH BH "HECH' LGHE LBHC, △GHE一△BHC, 0 20BC=∠ABD,ta20BC=子 :anLA8D=是 器- 设GH=3x,则BG=4x, ..BH =GH2 BG2=5x, BC=EG=5, BM为⊙O的直径， ∠BCM=90, CM 3 :.tanLMBC=BC= CM-BG-x5- 1 BM=VBc2+GM2-至 “00的￥径为会 11.(1)解：0A1BC, LA0B=90°， LAB0=30°，AB=2, 0A=2AB=1; (2)解：如图2，过点D作DN⊥BC于点N,交AC于点H,则∠CNH=90°， 图2 .AB=AC, LAB0=∠AC0=30°， .LCAD=90, LDAH=∠CNH=90, .∠AHD=∠CHN, △AHD一△NHC, ∠ADH=∠HCN=30°， 在Rt△ADH中，AD=2, AH-DH, AD2+AH2=DH2, 2 22+(（GDHl)=D2 .DH =43 3 AH=23 3, CH=2-23 31 在Rt△CHN中，∠NCH=30°， 同理可得：CN=3-1,NH=1- 由勾股定理得：0C=√AC2-0A2=V22-12=3, AB=AC=2,OA⊥BC, BC=20C=2V3, ∴BN=BC-CN=23-(3-1)=V3+1,DN=NH+DH=V3+1, 在Rt△BDN中，BD=BW2+DN2=3+1)2+(W3+1)2=6+2; (3)解：如图3，延长EB至F,使BF=CE,连接AF,过A作AN⊥EF于点N,则 ∠ANE=∠ANF=90°， F 图3 四边形ABEC是圆内接四边形， ..LABE +ACE 180, .∠ABE+∠ABF=180°， ∠ABF=∠ACE, AB=AC, ·△ABF≌△ACE(SAS), ..AF AE, ..NE =NF, AB=AC,∠B=30°， ∠ACB=∠B=30°， LACB=∠AEB=30°， AN =AE, AN2+NE2=AE2, GAE2)+NE2=AE2, .NE=AE, ..EF 2NE =3AE, EF BE BF BE CE=3AE, ..BE +CE =3AE. 12.(1)解：~BC是⊙0的直径， ∠BAC=90°， 故答案为：90°； (2)证明：连接0A, D ·AC=AC, .LB=LD, 0B=0A, ∠B=∠OAB, ∠D=∠OAB, .∠CAE=∠ADC, LCAE=∠OAB, .∠BAC=90°， ∴.∠OAE=∠OAC+∠CAE=∠OAC+∠OAB=∠BAC=90°， 即OA⊥AE, 又0A是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； (3)解：当a=1,b=1时，BC=a·PA+b·PD,理由如下： 连接OA,OB, B D LABD=45°， ∠A0D=2LABD=90°， BC是直径，点P和点O都在直径BC上，又LAPD=90°， ∴点P和点O重合， BC是直径， .∠BAC=∠BDC=90°， ..BC =2PA,BC 2PD, 又PA=PD, .BC=PA+PD, BC=a·PA+b·PD, .a=1,b=1 13.(1)证明：四边形ABCD为圆O的内接四边形，C为BD的中点， .BC =CD, ·∠DAC=∠BAC=∠BDC, ·∠BAD=2LBAC=2LBDC. .AD=BD. .∠ACD=∠ABD=∠BAD=2∠BDC: (2)证明：①连接D0并延长，交⊙0于点G. 'DE切⊙O于点D ∴LEDG=∠CDE+LCDG=90°， DG是⊙O的直径， ∠DCG=90°， ∠G+∠CDG=90°， ∴∠CDE=∠G CD=CD, .∠CBD=∠G, .∠CBD=∠CDE '∠CFD=∠DFB, ∴△DCF~△BDF; B ②由①可知LCBD=LCDE, CD=CD, ∠CBD=∠CAD, .∠CDE=∠CAD 又LAED=∠DEC, ∴.△ECD△EDA, DE-品则CE=E6D CE CD AD SABDC-SADCE-DE S△ECB SAECF FEP,S△BDC=SAECB, DF=EF,即DE=2EF AD=BD,DG是⊙O的直径， DG⊥AB. 'DE切⊙O于点D, .DG⊥DE, .AB II DE, ∴.△ABC△EFC, EF-AD AB AC ~四边形ABCD为圆O的内接四边形， .∠DAB+∠DCB=180°， 又∠FCD+∠DCB=180°， .∠DAB=∠FCD AD =BD. .∠DAB=∠ACD, .∠ACD=∠FCD :∠CDE=∠CAD: ∴.△ACD△DCF, DF CD AD-AG AD 2CD 2DF DE AC AD =AD .AD2=AB.DE. AD=BD .BD2 AB-DE. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形 ..0A=0B=OC=OD, .∠OBC=∠OCB 又'∠OFM=∠OCB .∠OBC=∠OFM ..BM=FM (2)解：连结OM、OE,连结TP交BC于点H,作PG⊥CD于点G.则CG=EG=CE, :OB=OC,M为BC的中点， .OM⊥BC OC为⊙P的直径， .∠0EC=909 ÷CE=DE=2CD= 5 ,四边形PGDT是矩形， AEG=CE=子 5 5515 ∴PT=DG=2+4=4 D M H (3)解：连结EF,EM. ⊙P的半径为3 ..TP=CP=3,ME=6 :.PH=2 .CH=5 ∴.CM=2CH=2W5 ~四边形PGCH是矩形 ∴CG=PH=2 .CE =2CG=4 ..DE =1 0C=0D .∠OCD=∠ODC D 四边形OFEC内接于⊙P, LEF0+∠0CD=180°， :∠EF0+∠DFE=180°， .∠DFE=∠OCD ·.∠ODC=∠DFE ..EF DE=1 .∠MCE=90° ∴.∠MFE=90° ·.FM2+EF2=EM2=36 ..FM=35 BC=V35+2V5 V35+2W5 ∴.tanLOCE=tanBAC= 5 15,(1)证明：如图，连接0D, PL B DP⊥AB, ∠DPA=90°， ∠PAD+∠PDA=90°， AD平分∠PAC, ∠PAD=∠CAD, LCAD+∠PDA=90°， 0A=0D ∠ODA=∠CAD, ∠ODA+∠PDA=90°，即∠PD0=90°， OD⊥PD, 0D为⊙O的半径， PD是⊙O的切线； (2)解：AC是⊙O的直径， AC=10,∠ADC=90, DP⊥AB, DPA=90°， ,AD平分∠PAC, ∠PAD=∠CAD, .∠ADC=∠DPA=90°， .△PAD△DAC, PD 3PA, ..CD=3AD, CD2+AD2=AC2, (3AD)2+AD2=102, AD=10(负值不符合题意，舍去) (3)解：如图，连接AD、BD,在AC上截取AH=AD, D B BC=CD, BC=CD LCAD=∠BAC,∠DBC=∠BDC, .AD平分∠PAC, ∠PAD=∠CAD, .∠PAD=∠CAD=∠BAC, .∠PAD+∠CAD+∠BAC=180° ∠PAD=∠CAD=∠BAC=60°， LDBC=∠BDC=60°， △BDC为等边三角形， :.BD DC, LDAC=60°，AH=AD, △ADH为等边三角形， ∠ADH=60°，AD=DH .∠ADH=∠BDC=60°， LADH-∠BDH=∠BDC-∠BDH, ∠ADB=∠HDC, 在△ADB和△HDC中， AD=HD ∠ADB=∠HDC, BD=DC :△ADB≌△HDC(SAS), .AB=CH, ..AB AD CH AH=AC, :当AC为直径，即AC=10时，AB+AD取最大值，为10. 16.解：(1)①存在. 理由：AB=BC, AB=BC' .∠ADB=∠CDB, ·DB平分圆周角LADC, ∴.圆中存在“爪形D”; ②AD+CD=BD. 理由：如图1，延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE. D -.E B 图1 .∠A+∠DCB=180°，∠ECB+∠DCB=180°， ..LA=LECB .CE=AD,AB=BC, △BAD≌△BCE(SAS), ∴.∠E=∠ADB ∠ADC=120, ·∠E=LADB=∠CDB=60, ∴△BDE是等边三角形， .DE=BD, ·AD+CD=CE+CD=BD; (2)AD+CD=2BD 理由：如图2，延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE. D E B 图2 ,∠A+∠DCB=180°，∠ECB+∠DCB=180°， ∴.∠A=∠ECB. 圆中存在“爪形D”,且AD⊥DC, DB=∠CDB=ADC .AB=BC. CE=AD, △BAD≌△BCE(SAS), .∠E=∠ADB=∠CDB=45°，BD=BE, ∴△BDE为等腰直角三角形， DE =2BD, ..AD CD=2BD. 17.(1)解：四边形ABCD内接于⊙0，∠BCD=112, .∠BAD=180°-∠BCD=68° BC CD' 1 ∠BAC=∠DAC=-∠BAD=34°， 2 .∠BAC=34°」 (2)证明：如图，连接OC,OD,延长D0交⊙O于点G,连接CG, G DG为⊙O的直径， ∠DCG=90°， ∠DCF=∠CBD,∠CBD=∠CGD, ∠DCF=∠CGD, 0G=0C, .∠0GC=∠OCG, .∠DCF=∠OCG :LOCF=∠DCF+∠OCD=∠0CG+∠OCD=∠DCG=90°， :.0C1CF, 0C是⊙0的半径， CF是⊙O的切线. (3)证明：如图，过点E作EH‖BM, M H .EH II BM, ∠AEH=∠BNE, .∠BNE=∠BEN, ∠AEH=∠BEN, 在△ABE和△AHE中， ∠BEA=∠AEH AE=AE (∠BAE=∠HAE ∴△ABE≌△AHE(ASA), ..BE HE, .EH WI BM, .△DEH一△DBM， DE=弘 "BD BM' DE BE "BD-BM' BEBE DE BE DE十BEBD BM+BD=BD+BD =BD 8D1， 1 11 D十BM=BE 18.(1)证明：'∠ADB=∠ACB,∠ADB=∠ABC ∠ACB=∠ABC ..AB AC. (2)①AE⊥BD,∠DAE=a ∠ADE=90°-C .∠ABC=∠ACB=LADE=90°-aC ∠BAC=180°-2(90°-a)=2C. ②连结OA,OC.延长AO交BC于点H, 图3 0A=0A,OB=OC,AB=AC ∴.△OAB≌△OAC(SSS) .∠BAO=∠CAO ·AH垂直平分BC 1 .tand=2 设DE=a,则AE=2a BD为直径， ∠BAD=90°， LABD+∠ADE=90°， AE⊥BD, ∠AED=90°， ∠DAE+∠ADE=909 .∠ABD=∠EAD=C 1 AE :tanLABD tand=2=BE ..BE=2AE=4a ∴.BD=BE+DE=5a 由勾股定理：AB=AE2+BE2=1V(22+(4a)2=2W5a A0=B0, ∠OAB=∠OBA, sin4OAB sinOBA=AE=2=5 = AB-25a-51 sinBAH=sin∠BAO= AB 5 .BH 6 V5 AB= ×25a=2a 5 :.BC=2BH=4a BD为直径 ∴∠DCB=90° 由勾股定理：CD=VBD2-BC2=V(5a2-(4a2=3a LAHB=∠BCD=90° ..AH II DC .△AOF一△CDF 0F0A2.5a5 DF=CD=3a=6 D0110F5 0F=6,0D=五 Dp=90D=6￥5-15 =7a,0=50D=5x5a 25 =×20 11 =1×20=220 25.540 ..BF=OF+BO= 22a+20=10 15 DE 703 BF=40=8 1Ta 19,(1)证明：如图，连接0B, D A O B ~四边形ABCD是菱形，∠A=60, AB=BC=CD=AD,∠C=∠A=60°， “△ABD,△BCD是等边三角形， LABD=∠CBD=60°， ⊙O是△ABD的外接圆， :OB垂直平分AD, 40BD=1 ABD=30, ∠CBO=∠OBD+∠CBD=90°， 即OB⊥BC, 0B是⊙O的半径， CB是⊙O的切线； (2)解：如图，连接OD,OE,OB,设OE交BD于点F, D M B 由(1)得：△ABD是等边三角形，AB=4, :.BD=AB=4, E是BD中点， DE=BE'OE LBD,DF=BF=BD=2, 4BOE=ROD, LA=60°， ∠B0D=2LA=120°， .∠B0E=60°， BE ..0B=- inzBOE 31 0E=0B=4 3 540形080E=0B×BD=×9×4=5, 3 3 ÷图中阴影部分面积为S角形800-S四边形00e=120×(-a5=185, 360 3 93 (3)解：如图，过点M作MH⊥CD于点H, D O. M B 四边形ABED是⊙O的内接四边形，∠A=60°， .∠BED=180°-∠A=120°， .∠DEN=∠BEM=60°， LC=60°， ..LC=LBEM, .∠EBM=∠CBN, △BEM一△BCN, ∠BME=∠BNC, .∠C=∠CBD=60°，BC=BD, △BCN≌△DBM, ..CN=BM=3, 在Rt△CMH中，∠C=60°，CM=BC-BM=1, CH=CM×cosC=1×cos60°=2HM=CM×sinC=1×sin60°= 2 -NH-GN-CH- ..MN =NH2+HM2= 20.(1)证明：DE⊥BC, .∠CED=90°， ABIIDE, ∠B=LCED=90°， ·AC是⊙O的直径； (2)证明：OF平分∠A0B, 1 ∴LA0F=∠BOF=A0B, 又0A=0B,0F=0F, ∴.△AOF≌△BOF(SAS), .AF=BE, .∠FAB=∠FBA, AF⊥BD, .∠AFB=90°， ∠FAB+∠FBA=90°， .∠FAB=∠FBA=45°， .∠CBD=∠ABC-∠FBA=45°， ∴∠ACD=∠ABD=45°，∠CAD=∠CBD=45°， .∠ACD=∠CAD, .AD=CD; (3)如图3，过点D作DG⊥BA,交BA的延长线于点G,延长AF交BC于点H,过点E作EK⊥AC 于点K. 令CE=m,则AB=2m, ∠ABD=∠CBD=45°，DG⊥BA,DE⊥BC, ..DE=DG, 又AD=CD, Rt△ADG≌Rt△CDE(HL), ..AG=CE=m, ..BG AB+AG=3m, DG⊥BA, ·∠G=90°， ∴∠BDG=90°-LDBG=45°=∠DBG, .DG=BG =3m, 在Rt△ADG中， AG2+GD2=AD2, m2+(3m)2=(5y2)2, 解得m=±5， .m>0, m=5, .∠GBE=∠BED=∠G=90°， ∴四边形BEDG是矩形， .BE=DG=3m, .BC BE+CE=4m ~∠BHA=90°-∠BAH=45°=∠BAH, .BH AB 2m, ..AF FH,CH=BC-BH=12m=2v5, 又0A=0C, 0F=2CH=5, ∠ACB=之A0B=∠A0F, ..OFIICE, 又CE=5=0F, ·.四边形FEC0是平行四边形， AC是⊙0的直径， .∠ADC=90°， ∴AC=AD2+CD2=V(52)2+(5V2)2=10, .0C-AC=5. 在R△ABC中，tan-ACB=C-需- 在Rt△CEK中，tanzECK=CR=2 EK 1 令EK=n,则CK=2n, EK2+CK2=CE2 n2+(2m)2=(W5)2 ∴.n=士1， .n>0, .n=1, .EK=1, SOFEC0=C0×EK=5×1=5.