精品解析：广东省高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2024年高二第二学期期中测试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 2. 下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 5. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数与常数项之差为（ ） A. －3 B. －1 C. 5 D. 7 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 11. 袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 16. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知函数． （1）若，证明：： （2）若，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二第二学期期中测试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列的定义直接列式求解. 【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）． 故选:D． 2. 下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 5. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围. 【详解】， ∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 6. 的展开式中，的系数与常数项之差为（ ） A. －3 B. －1 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】取即可得常数项，将多项式化为，根据二项式定理，分别求出，中的项数，再求和，即可求得的系数，即可得出结果. 【详解】解：因为， 取可得常数项为：， 在中，含的项为， 在中，含的项为， 所以的展开式中，的系数为， 所以的系数与常数项之差为. 故选：C 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由，得， 令，，则 ， 所以在上恒成立， 所以在上为减函数， 因为，且在上单调性递增； 所以， 所以， 所以， 所以，即． 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项. 【详解】的展开式共有9项，故A错误； 展开式中的常数项为，故B正确； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 展开式中的二项式系数之和为，故D错误. 故选：BC 10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 11. 袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率求出，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，，，， 对于A，因为，则事件与事件不相互独立，A正确； 对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件中，也在事件中，事件与事件不互斥，B错误； 对于C，在事件发生的前提下，事件发生的概率，C正确； 对于D，在事件发生的前提下，事件发生的概率，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则，， 所以由全概率公式可得 ; 由条件概率公式可得. 故答案为： 14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围. 【详解】由题得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 又恒成立，所以函数在上单调递增； 不等式等价于， 所以，即，解得． 所以实数t的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【答案】 的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 【解析】 【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 16. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可； （2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可. 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有， 故全是大集团的概率是， 整理得到，解得， 若2个全是大集团，共有（种）情况， 若2个全是小集团，共有（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为； 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由极值点的定义可求得极值； （2）求导后，分别在和的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则定义域为，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题意知：定义域为，； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 已知函数． （1）若，证明：： （2）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：若， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故； （2）． 【解析】 【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明， （2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，所以，即， 所以函数在上单调递增， 令在上恒成立， 令． 当时，在上恒成立，又，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此种情况无解， 当时，在上单调递增，， 在上恒成立， 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解； （2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解； ②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为， ， 当时，对任意的，在上恒成立不恒为零， 故在上单调递减； 当时，令，则，解得， 当时，； 当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上， 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①由题知，， 函数的定义域为，， 当时，对任意的，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，令，解得，，则， 当时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为． 综上，当时，有两极值点； ②由①可知，，， 所以， 设，，其中， 所以， 又因为，可知， 所以在上单调递减． ∴，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $