精品解析：广东广州市番禺区石楼镇三校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

2025学年第二学期期中考高二级教学质量监测 数学 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，即. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】选项A：是常数，常数的导数为，即，错误； 选项B：由指数函数求导公式，得，错误； 选项C：由复合函数求导法则，，错误； 选项D：由基本三角函数求导公式，，正确. 3. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24 B. 32 C. 52 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，分这个三位数的末尾数字为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】当这个三位数的末尾数字为0时，只需从1，2，3，4，5，这5个数字选两个数字排到百位与十位上，有个没有重复的三位数； 当这个三位数的末尾数字不为0时，先从2，4，这两个数字中选一个排在个位，有种情况； 再排百位，由于百位不能为0且不能与个位数字重复，有种情况； 最后排十位，从剩下的4个数字中任选一个，有种情况； 所以，根据分步乘法计数原理，共有个没有重复的三位数， 综上，满足题意的偶数有52个. 4. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 5. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且等号仅在  时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 6. 现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（   ） A. 将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B. 将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C. 将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D. 将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解判断A；把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C；根据先分组后排序计算即可求解判断D. 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种， 所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 故选：D 7. 已知，则下列描述正确的是 （ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】对于A：令得：；令，得． ，因此A错误； 对于B： ，因此B正确 对于C：因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，因此C错误 对于D：对原表达式的两边同时对求导， 得到， 令，得到，令，得 所以， 所以选项D错误． 故选：B 8. 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解. 【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上， 则，解得，代入椭圆方程， 又，可得： ， 设（），则上式可化为， 化简可得， 即， 因为，所以，解得. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C. 若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D. 若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则t的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】选项 A： 计算时的函数值，再利用奇函数的性质得出；选项 B： 对时的函数求导以确定其在上的单调性，然后利用奇函数在对称区间单调性相同的性质进行推断；选项 C： 利用导数求出时的极值点，结合对称性得出时的极值点，并分析极限排除是极值点的可能；选项 D： 根据单调性、极值和零点作出函数的大致图像，运用数形结合寻找直线与图像有三个交点时的范围. 【详解】对于A，，由奇函数可得，故A错误； 对于B，时，， 当时，，则， 即在上单调递减，由奇函数可得在上单调递减，故B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故为的极小值点，由奇偶性可得，为的极大值点， 当时， ， 当时，由奇偶性可得 ， 故不满足局部最大或最小，故不是极值点， 则一共有2个极值点，故C正确； 对于D，由上知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时， ， 根据奇偶性作图象如下， 若方程有三个实数根，即与的图象有3个交点， 则 ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】利用二项式展开的通项公式，求出项对应的值，再计算该项的系数. 【详解】二项式的展开式通项公式为. 令，则含项的系数为. 故答案为：24 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，所以， 所以， 所以. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和切点既在切线上又在曲线上进行求解. 【详解】由题意可得：， 当时，， 所以曲线在点处的切线为： ，即， 设切线与曲线的切点为， 对求导可得：， 又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数， 所以，即， 又因为在切线上， 所以， 所以在曲线上， 即，求解可得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值; （2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题得：，结合题意可得: ，解得， 可得：，． 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 故函数取得极大值为，极小值为 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， 所以要使不等式能成立，则．所以 故取值范围是． 16. 各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式. （2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果. 【详解】（1）因为各项均不相等，所以公差 由等差数列通项公式 且， 所以， 又成等比数列，所以， 则，化简得， 所以 即 可得 即 （2）由（1）可得 化简可得 由 所以 【点睛】本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题. 17. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 （i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 18. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”． （i）求条件概率的值 （ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列． 【答案】（1）（i）；（ii）事件与不相互独立，理由见上述解析. （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）（i）结合图表利用条件概率公式计算，（ii）结合独立事件的充要条件求解判断； （2）利用超几何分布概率公式计算概率进而求得分布列. 【小问1详解】 （i）结合图表可得：研发投入不超过2000万元的企业共5家， 专利产出数超过8件的企业共3家，同时满足两个条件的企业共1家，即，， 由条件概率公式：，代入得：. （ii）由（i）知已知，，且， 则： 因此事件与不相互独立. 【小问2详解】 由图表可得：专利产出数大于6件的企业共4家，不大于6件的共3家， 服从超几何分布，可能取值为，总抽取情况数，则： 因此的分布列为： 0 1 2 3 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值； （2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性； （3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围. 【小问1详解】 当时，. . 因为恒成立， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 函数.的定义域为. . 因为恒成立， 所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减； 若，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，即最小值，最小值为. 此时，当时，；当时，； 要使函数有两个零点，只需使，即. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考高二级教学质量监测 数学 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24 B. 32 C. 52 D. 60 4. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（   ） A. 将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B. 将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C. 将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D. 将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 7. 已知，则下列描述正确的是 （ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 8. 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C. 若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D. 若，是圆上任意一点，则 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则t的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______.（用数字作答） 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 16. 各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”． （i）求条件概率的值 （ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $