精品解析：山东烟台市招远市2025-2026学年第二学期期中考试七年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试题 说明： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数；所含未知数的项的次数都是1；是整式方程，据此进行求解即可. 【详解】A、，含有2次项，不符合题意； B、，是二元一次方程，符合题意； C、，含有2次项，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意. 2. 下列命题中真命题的个数有（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线，平行线的相关性质，对顶角的概念，平行公理，逐一进行判断即可. 【详解】解：① 该命题未限定“在同一平面内”，该结论仅在同一平面内成立，因此原命题是假命题； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少条件，因此是假命题； ③ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④ 两个相等的同位角，不是对顶角但相等，因此原命题是假命题； ∴ 四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 3. 下列事件中，不属于随机事件的是（ ） A. 两数相乘，积为正数 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 三条线段组成一个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，不属于随机事件包含不可能事件和必然事件，据此判断即可. 【详解】解：A、两数相乘，积可能为正数，也可能不是正数，是随机事件； B、某射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能不命中，是随机事件； C、煮熟的鸭子不可能飞了，是不可能事件； D、三条线段可能组成一个三角形，也可能组不成三角形，是随机事件. 4. 数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项中的方法，逐一进行计算，判断即可. 【详解】解：原方程组为 对选项A： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴A错误； 对选项B： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴B错误； 对选项C： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴C错误； 对选项D： ∵ ①②中，的系数为，可以消去， ∴D正确. 5. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 【答案】D 【解析】 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可. 【详解】∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是50%， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握相关概念是解题关键. 6. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图．座位AD和座椅靠背AE的夹角，小桌板与座位平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 7. “绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要130元，购买3棵松树比1棵柏树多30元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“购买2棵松树和3棵柏树需要130元，购买3棵松树比1棵柏树多30元”列出方程即可 【详解】解：∵每棵松树元，每棵柏树元，购买2棵松树和3棵柏树需要130元， ∴可得方程． 又∵购买3棵松树比1棵柏树多30元， ∴可得方程． 因此列出的方程组为． 8. 如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， 9. 为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，大圆面积为， 免一次作业对应区域的面积为， ∴投中“免一次作业”的概率是， 10. 如图，，则、、、数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. “七年级下册数学课本一共185页，一名学生随手翻开恰好翻到53页”，这个事件是________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【答案】随机 【解析】 【详解】解：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，一定不发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件， 随手翻开185页的课本，翻到53页这一结果可能发生，也可能不发生，是随机事件. 12. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 13. 小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入可求出，然后把代入，计算得出■所遮住的数，即可比较得出． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入， 得， ， 数■和▲中较小的一个数的值是． 14. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是_______． 【答案】##0.75 【解析】 【详解】解：将图中剩余的编号为的小正方形中任意一个涂黑共4种情况，其中涂黑1，2，3，有3种情况可使所得图案是一个轴对称图形（如图），故其概率是． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，点的横坐标为2，那么关于，的方程组的解为 __． 【答案】 【解析】 【分析】先把x＝2代入y＝x+1，得出y＝3，则两个一次函数的交点P的坐标为（2，3）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：把代入得，， 一次函数与的图象相交于点，则关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标,解决问题的关键是正确的求出点P的坐标. 16. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据平行线的性质，折叠的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【小问2详解】 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为： 18. 【补充解题过程及依据】生活中常见的一种折叠拦道闸，如图所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图所示，垂直于地面，平行于地面，求的度数． 解：过点B作， ，∴（① ）（② ），∴（③ ）（④ ）， ，（⑤ ）， ，， （⑥ ）． 【答案】①；②平行于同一条直线的两直线平行；③；④两直线平行，同旁内角互补；⑤垂直的定义；⑥ 【解析】 【详解】解：过点B作， ， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ， （垂直的定义）， ， ， 19. 某工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格数 m 合格率 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ； （2）估计任抽一件该产品是合格品的概率为 ； （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除3元的材料损失费交给工厂．今天甲员工被抽检了件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】（1）， （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）合格率合格数抽取件数； （2）由表格数据可知，随着抽取件数的增加，产品的合格率在附近波动，且抽取件数为和时合格率均为； （3）用合格率估计出合格数，从而得到不合格产品件数，即可得到要扣除的费用． 【小问1详解】 解：由题意得，，解得， ； 【小问2详解】 解：随着抽取件数的增加，产品的合格率稳定在，故任抽一件该产品是合格品的概率约为； 【小问3详解】 解：甲员工的合格品件数约为：（件）， 故不合格品件数：（件）， 所以要在他奖金中扣除元材料损失费． 20. 如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若平分，试说明：． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义结合已知条件，得到，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质，即可得出结论. 【小问1详解】 解：，理由： ，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由： 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：平分， ， ， ， . 21. 在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． （1）将袋中的球摇匀后，从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ； （2）若现在从口袋中取出若干红球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，使从口袋中摸出一个球是白球的概率为，请问取出了多少个红球？ （3）若将若干个黑球放入袋中，与原来的12个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是黑球的概率是，直接写出放入口袋中的黑球的个数． 【答案】（1） （2）取出了3个红球 （3）放入口袋中的黑球的个数为12 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算，即可求解； （2）设取出了个红球，依题意，总数不变，进而根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． （3）设放入口袋中的黑球的个数为个，根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：摸到黑球的概率为， 【小问2详解】 解：设取出了个红球，根据题意得， 解得： 答：取出了3个红球 【小问3详解】 解：设放入口袋中的黑球的个数为个，根据题意得， 解得： 经检验，是分式方程的解， 答：放入口袋中的黑球的个数为12 22. 解答下列问题： （1）定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； （2）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义得出方程组，求得的值，然后根据新定义列式计算即可求解； （2）把代入②，把代入①，分别求得的值，再代入原方程组解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， ． 【小问2详解】 把代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 把，代入方程组得：， ③④得：，即， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 23. 图1为北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、G顺次首尾连接，若恰好经过点C，且B、C、D在一条直线上，若，，，． （1）请求出的度数； （2）连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可； （2）根据平行线的判定方法和性质，作答即可. 【小问1详解】 解：过点D作， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当时，，理由： ， ∴， ∵， ∴， ． 24. 某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 【答案】（1）1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨 （2）共有3种运输方案：方案1：安排A货车7辆，B货车4辆；方案2：安排A货车4辆，B货车8辆；方案3：安排A货车1辆，B货车辆．方案3费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨．根据题意，得，解之得：； （2）设安排A货车m辆，B货车n辆．依题意得，又因为m，n均为正整数，所以有，或，或三种情况，分别计算每种情况所需费用并比较，即可找出最少费用方案． 【小问1详解】 解：设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨． 根据题意，得， 得，， 得，， 得，，解得， 把代入①得，， 解得：， 答：1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨． 【小问2详解】 解：设安排A货车m辆，B货车n辆． 依题意得，又因为m，n均为正整数， 所以，或，或， 所以共有3种运输方案： 方案1：安排A货车7辆，B货车4辆，所需费用 （元）； 方案2：安排A货车4辆，B货车8辆，所需费用为 （元）； 方案3：安排A货车1辆，B货车辆，所需费用为 （元）． 因为 ， 所以安排A货车1辆，B货车辆费用最少，最少费用为元． 25. 如图1，已知，且，，，若． （1）求，，的度数； （2）与有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若平面内存在一点，使，，直线与直线交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），， （2），理由见解析 （3）的度数是或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质解答即可； （2）过点E作，过点F作，根据平行线的性质求出，于是得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出，问题即可得证； （3）分四种情况讨论，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作，过点F作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，当射线在内部，射线在下方时，延长交于点G， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； 如图3，当射线在内部，射线在上方时，设与交于点P， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 如图4，当射线在外部，射线在下方时，延长交于点K，设交于点Q， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 如图5，当射线在外部，射线在上方时，设交于点P， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试题 说明： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中真命题的个数有（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列事件中，不属于随机事件的是（ ） A. 两数相乘，积为正数 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 三条线段组成一个三角形 4. 数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 5. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 6. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图．座位AD和座椅靠背AE的夹角，小桌板与座位平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. “绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要130元，购买3棵松树比1棵柏树多30元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，则、、、数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. “七年级下册数学课本一共185页，一名学生随手翻开恰好翻到53页”，这个事件是________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 12. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是_____． 13. 小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 14. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是_______． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，点的横坐标为2，那么关于，的方程组的解为 __． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解方程组： （1）； （2） 18. 【补充解题过程及依据】生活中常见的一种折叠拦道闸，如图所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图所示，垂直于地面，平行于地面，求的度数． 解：过点B作， ，∴（① ）（② ），∴（③ ）（④ ）， ，（⑤ ）， ，， （⑥ ）． 19. 某工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格数 m 合格率 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ； （2）估计任抽一件该产品是合格品的概率为 ； （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除3元的材料损失费交给工厂．今天甲员工被抽检了件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 20. 如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若平分，试说明：． 21. 在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． （1）将袋中的球摇匀后，从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ； （2）若现在从口袋中取出若干红球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，使从口袋中摸出一个球是白球的概率为，请问取出了多少个红球？ （3）若将若干个黑球放入袋中，与原来的12个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是黑球的概率是，直接写出放入口袋中的黑球的个数． 22. 解答下列问题： （1）定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； （2）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 23. 图1为北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、G顺次首尾连接，若恰好经过点C，且B、C、D在一条直线上，若，，，． （1）请求出的度数； （2）连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由． 24. 某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 25. 如图1，已知，且，，，若 ． （1）求，，的度数； （2）与有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若平面内存在一点，使，，直线与直线交于点，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $