精品解析：贵州黔南州长顺县民族高级中学等校2025-2026学年高二下学期5月数学素养训练

高二数学素养训练 注意事顶： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答填空题、解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列满足，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 2. 若函数，则的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某次数学竞赛中有3名男同学和2名女同学获得外出参加比赛的资格，现从中选出2名同学担任正、副组长，选出的同学中至少有1名女同学的方案数为（ ） A. 12 B. 14 C. 20 D. 8 5. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 8. 已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列为等差数列，则为等比数列 C. 若数列为等比数列，则为等比数列 D. 若数列为等差数列，则为等差数列 10. 如下图，这是杨辉三角． 结合杨辉三角，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则恒成立 C. 若，则 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则________． 13. 一组数据的方差为2，则的方差为________． 14. 在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6． （1）求小张第二天去乙食堂的概率； （2）若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率． 16. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，且，点E满足． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数 （）． （1）讨论的单调性； （2）当时，求在 上的最小值． 18. 设椭圆的离心率，且点在C上． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值． 19. 不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为． （1）求． （2）求． （3）假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围． 参考公式：对任意X，Y，恒有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学素养训练 注意事顶： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答填空题、解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列满足，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由递推公式，将代入，得 ． 2. 若函数，则的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数求导得，则切线的斜率， 又，则切线方程为，即． 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 4. 某次数学竞赛中有3名男同学和2名女同学获得外出参加比赛的资格，现从中选出2名同学担任正、副组长，选出的同学中至少有1名女同学的方案数为（ ） A. 12 B. 14 C. 20 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】若选1名女生和1名男生，则有 种方案， 若选2名女生，则有 种方案．故共有 种方案. 5. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正态密度曲线知，故A错误． 由正态密度曲线的对称轴方程为，可知 ，故B错误． 因 ，故C错误． 因 ，故D正确． 6. 袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，服从超几何分布 ， 所以，， ，， 所以A，B，C均正确，D错误． 7. 若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设直线的方程为，，再结合焦半径公式，韦达定理得即可求得答案； 方法二：设直线AB的倾斜角为，进而得，，再结合三角函数性质即可求得答案. 【详解】方法一：由题意知，抛物线的焦点为， 设直线的方程为，， 联立方程得，故， 由焦半径公式得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 方法二：设直线AB的倾斜角为， 由抛物线的定义可知， ， 所以 ， 所以的最小值为. 8. 已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点 的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则 ，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离 ， 即，解得，所以C正确，D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列为等差数列，则为等比数列 C. 若数列为等比数列，则为等比数列 D. 若数列为等差数列，则为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，设的公差为d，则 ， 由（常数）可得数列为等差数列，故A正确； 对于B，数列为等差数列，设其公差为d，，则（常数）， 则（常数），所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，数列若取，则，，， 故不是等比数列，故C错误； 对于D，设的公差为d，因， ， 可知是以为首项，为公差的等差数列，故D正确. 10. 如下图，这是杨辉三角． 结合杨辉三角，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数公式，结合裂项法求和推理判断ABD；利用二项式定理求出指定项系数判断C. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，而的展开式中含项的系数为 ，的展开式中含项的系数为，因此，C正确； 对于D，当时， ，即， 因此 ，D正确. 11. 事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则恒成立 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设事件的概率分别为a，b，c，d，得到，且，由 ，得，再由得，进而，．对于A，由事件A，B相互独立，与d是可变数不符；对于B，即可判断；对于C，由求得，进而求解即可判断；对于D， ，由利用基本不等式求得，进而得即可判断. 【详解】样本空间，并且两两互斥， 设事件的概率分别为a，b，c，d，则，且， 用表格表示如下： B 合计 A a b c d 合计 由 ，得 ，化简得． 由，得，所以，． 对于A，由，即 ，化简得，从而， 而事实上d只要满足，即可，即d是可以变化的数，故A错误． 对于B，若，则， 所以，则 ，故B正确． 对于C，若，即，则， 而 ，故C正确． 对于D，因为，所以， 所以，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 即 ， 解得，则． 13. 一组数据的方差为2，则的方差为________． 【答案】8 【解析】 【详解】记的方差为， 由方差的性质知的方差为． 14. 在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内，且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧面相切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧面相切，作出轴截面图，利用建立方程，计算即得答案. 【详解】如图，正方体的棱长为1，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内， 且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧面相切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧面相切． 取平面内的轴截面，问题等价于内有两个半径相等的圆M，N内切于矩形的边相切， 且圆心M，N到边的距离均为，在中，， 即，化简得 ，解得， 又因为 ，即，所以铁球的最大半径． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6． （1）求小张第二天去乙食堂的概率； （2）若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和条件概率性质求 ，再用全概率公式计算 . （2）利用贝叶斯公式求解 . 【小问1详解】 设事件“第i天去甲食堂”， “第i天去乙食堂”，， 由题意得， ， 所以 ． 由全概率公式得小张第二天去乙食堂的概率为： ． 【小问2详解】 由（1）可知 ，若小张第二天去了乙食堂， 则他第一天去甲食堂概率为. 16. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，且，点E满足． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）线线平行证明线面平行； （2）空间向量法求面面角余弦值. 【小问1详解】 证明：如图1，连接，交于点，连接． 因为，所以E为的中点． 又因为F为的中点，所以． 又因为平面， 平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图2，建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）当时，求在上的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【小问1详解】 由题意可得：的定义域是，且 ， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在 上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为 ， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为 ． 综上，． 18. 设椭圆的离心率，且点在C上． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上一点坐标、离心率以及椭圆中的关系来确定椭圆方程中的参数和. （2）先根据三角形面积公式得出面积与的关系，再通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出，最后通过换元法结合函数单调性求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意得点在椭圆上，所以 ， 即 ，解得：， 又因为，所以，即 ， 又因为 ，所以 ， 即 ，求解可得：， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设过的直线方程为，， 则 的面积为： ， 又因为 ，所以 ， 联立直线与椭圆方程可得：，整理得：， 由韦达定理得：， 所以，​​ 因此， 令 ，则，设 函数， 则函数在单调递增，最小值为， 因此，即面积的最大值为. 19. 不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为． （1）求． （2）求． （3）假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围． 参考公式：对任意X，Y，恒有． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）列出的所有取值及对应概率，直接用期望公式计算； （2）通过递推关系与，构造等比数列求解得到； （3）先取，再求出的范围后，最后验证充分性即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为4，5． 表示操作1次后，摸到红球，其概率为，即． 表示操作1次后，摸到白球，其概率为，即． 故． 【小问2详解】 记．已操作次后，盒中共有7个球，其中红球个数为，白球个数为． 下一次操作时，若摸到红球，则红球个数不变；若摸到白球，则红球个数增加1． 因此，在已知的条件下，. 两边取期望，得，即. 整理得. 又 ，所以 ． 因此数列 是首项为3，公比为的等比数列． 所以 即，． 【小问3详解】 先取．修改规则后，第一次操作仍然以的概率摸到红球，以的概率摸到白球． 若摸到白球，红球个数由4增加到， 所以. 因此. 由题意必须有 解得．因为，所以． 下面说明也是充分条件． 把原规则看成的情形．若某一时刻已经摸到个白球，则只能取0，1，2，3． 在修改规则下，此时盒中白球数为，球的总数为 ， 所以下一次摸到白球的概率为. 若下一次摸到白球，则红球数增加个， 因此下一次操作带来的红球数期望增量为. 原规则下对应的红球数期望增量为. 当且时，均有. 这说明从相同的已摸白球个数出发，修改规则下一步红球数的期望增量不小于原规则． 同时，时，修改规则下会放入更多红球，白球比例不大于原规则， 因此继续操作时这一期望优势不会减小． 于是关于不减，其最小值出现在． 当时， 从而对任意，都有 ． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $