贵州黔南州长顺县民族高级中学等校2025-2026学年高二下学期5月数学素养训练

高二数学素养训练 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B D D C C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD ACD BCD √5 8 3-√5 4 1.C 【解析】曲递推公式，将n=1代入得a:-4,2-一1.故选C a 2.D【解析】f'(x)=(x+1)e,切线的斜率k=f'(0)=1,又f(x)的图象过点(0,0)，所以由 点斜式得切线的方程为y=x,即x一y=O.故选D. 3.A【解析】f'(x)=3(x2-1),当x<-1或x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当-1<x< 1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)=一2.故选A. 4.B【解析】分两类：若选1名女生和1名男生，则有N1=CCA=12种方案；若选2名女生， 则有N2=A=2种方案.故共有N1十N2=14种方案.故选B. 5.D【解析】由正态密度曲线知D()=4,A错误， 由正态密度曲线的对称轴方程为x=1,可知P(≤0)=P(≥2)，B错误. ≥3与x轴围成的面积小于≤0与x轴围成的面积，P(≥3)<P(≤0)，C错误 故D正确， 6.D【解析】由题可知X~B(3,),Y服从超几何分布(Y~H(5,3,3), 所以X-1-CX×)-PY=-餐-EGX)=8x号-， BCY)=3X-号，所以AB.C均正硫，D错误放选D 7.C【解析】设直线AB的倾斜角为a.由抛物线的定义可知AF=1一c0sa一1-c0sa' IBF=1+cosa1+cOsa所以AF1BF= sn。≥4故选C 8.C【解析】点M(cosa,sina)的轨迹是单位圆O,因此d表示单位圆O上的任意一点到直线 y=kx一2(k∈R)的距离，而直线y=kx一2(k∈R)过定点N(0,一2)， 对于A,B,Va∈R,dmx=|ON|+1=3,所以d∈[0,3]，因此A,B均错误 对于C,D,因为Va∈R,d≤2+1（√2+1>单位圆的半径1），所以有d=do-1+1≤√2+ 1(do-1表示原点O到直线y=kx一2(k∈R)的距离)， 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 ·B1· 即do-4 2≤2，解得k≥1，所以C正确，D错误，故选C √1+k2 9ABD【解析】对于A,设a,)的公差为d,由等差数列的前n项和公式得S= na1十 nn 合a-1d-a+号a-1a,则号号帝数故A正确 1 对于B,数列{na.}为等差数列，设其公差为d,an>0,则lna+1-lnan=lna出=d(常 数)，a中1=e(常数)，所以数列(an}为等比数列，故B正确。 a 对于C,数列{amn}取1，一1,1，-1，…，则S2=0,S4-S2=0,S6一S4=0,故Sn,S2-Sn,S3m 一S2,不是等比数列，故C错误. 对于D.设a,的公差为d,由S.=a+2nm-1)d,得S。一S,一S,=2a,十2× 2n(2n-Dd-2[m.+tn(n-Dd]-nd.S.-S.-(5.-S.)-xd.MS..S-S.. Sm一S2m是以Sn为首项，n2d为公差的等差数列，故D正确.故选ABD. 10.ACD【解析】由杨辉三角和组合数公式可得A,C,D均正确，B错误.故选ACD. 11.BCD【解析】样本空间2=AB+AB+AB+AB,并且AB,AB,AB,AB两两互斥.设事 件AB,AB,AB,AB的概率分别为a,b,c,d,则a十b十c十d=1,且a,b,c,d∈[0,1]，用 表格表示如下： B B 合计 A a 6 a+b A c c+d 合计 a十c b+d a+b+c+d=1 由P(BA)+P(A|B)=1,得 a =1,化简得a2=bc. atb a+c 由PAB)得a}所以c=名6cd=1-a= 对于A,若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),所以a=(a十b)(a+c), 结合a=c,化简得6十c=1一2a=号，从面d-1-a-6-(=号，而事实上4只要清足灰 b十c十d=1一a=号即可，即d是可以变化的数，故A错误 、1 对于B,若P(BA)=P(AB),则。b=。千所以b=c,则P(A)=a+b=a十 P(B),故B正确. 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 ·B1· 对于C,若P(百E)=品即d=品则6+=1-Q-4=1-号音2而P(A) P(B)=a+b)-(a+c)=b-e=V+o)-4w=V+o-4-高故C 正确， 对于D.因为6+e=1-a-d=誉-4≥2反=2a-号，所以d≤号-号-号所以 P(AB)=d<号，故D正确，故选BCD, 12.√3【解析】由a⊥b,可得a·b=0,即1×(-1)+2×1+(-1)×A=0,解得λ=1，则1b|= √(-1)2+12+12=√3 13.8【解析】当随机变量取x1,x2,…,xm时，其方差为2，即D()=2,由方差的性质知 D(2e-1)=2D(E)=8. 14.33 4 【解析】如图，正方体ABCD-A1B,CD,的棱长为1，要使铁球半径最大，可将铁球 的球心置于平面ACCA1(或平面BDD,B,)内，且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧 面、左侧面相切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧面相切.取平面AC℃1A1内 的轴截面，问题等价于矩形ACC1A,内有两个半径相等的圆M和圆N外切（记圆的半径为 r),且这两圆分别与矩形ACC1A1的边AC,C1A1相切，且圆心M,N到边AA1,CC1的距 离均为√2r.在Rt△LMN中，MN|2=|LM+|LN|2,即(2r)2=(2-2√2r)2+(1 2)化简得8r2-12r+3=0,解得r=3生3又因为12r>0,2-2W2r>0,即0 号所以铁球的最大半径r-33。 4 D 7 15.【解析】(1)设事件A,=“第i天去甲食堂”，B,=“第i天去乙食堂”，i=1,2.…1分 由题意得P(A1)=P(B1)=0.5,…2分 P(B2A1)=0.8,P(A2B1)=0.6,…3分 所以P(B2|B1)=1-P(A2|B1)=0.4.…4分 由全概率公式得小张第二天去乙食堂的概率P(B2)=P(A1)P(B2|A,)十P(B1)· P(B2B1)…5分 =0.5×0.8十0.5X0.4=0.6.…6分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 ·B1· P(AB2) (2)若小张第二天去了乙食堂，则他第一天去甲食堂概率P(AB:)=PB) …8分 P(A)P(B2 A) P(B2) …10分 0.5×0.82 0.6 3 …13分 16.【解析】(1)证明：如图1，连接AC,交BD于点F,连接EF.…1分 因为CE=E,所以E为PC的中点 又因为F为AC的中点，所以APEF.…3分 又因为AP中平面BED,…4分 EFC平面BED,… 5分 所以AP/平面BED.…6分 (2)如图2，建立空间直角坐标系.…7分 图1 不妨设AB=2,则B(2,2,0),E(0,1,1),DB=(2,2,0),D元=(0,1， 1）.… 8分 设平面DBE的法向量为n=(x,y,之)，…9分 n·DB=0, 则 n DE=0, …10分 B 2x+2y=0, 即 …11分 图2 y+z=0, 取x=1,得n=(1,-1,1). …12分 易知平面PDC的一个法向量为m=(1,0,0).…13分 n·m1√3 设平面DBE与平面PDC的夹角为0，则cos0= n m 3 =3，…14分 所以平面DBE与平面PDC夹角的余弦值为？3 …15分 (其他做法酌情给分，还可以用几何法作答) 17.【解析K1)f(x)的定义域是xx>0,且f'(x)=r-1)(x一a …1分 x 令f'(x)=0,则x=1或x=a.… 2分 ①当a∈(0,1)时，若0<x<a或x>1,则f'(x)>0,若a<x<1,则f'(x)<0,·3分 所以f(x)在(0，a)和(1，十o∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减.…4分 ②当a=1时，因为f)=二1)≥0，所以f)在0，十o)上单调递增.…5分 ③当a∈(1，十∞)时，若0x<1或x>a,则f'(x)>0,若1<x<a,则f'(x)<0,… 6分 所以f(x)在(0,1)和(a,十∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减.…7分 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 ·B1· (2)因为a>1,所以由(1)③可得： a2 ①当a≤e时，f(x)在[1，e止的最小值为f(a)=alna-2一a;.11分 e ②当a>e时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)=2一e十a(1-e).…14分 a2 alna-2-a,l<a≤e, 综上，f(x）mi 15分 e2 2 -e+a(1-e),a>e. 6 e= 3, 18.【解析11)由题意得。=6+2， 2分 b=1, c6 a3 即 a2=b2+c2, 3分 b=1, a=3, 解得b=], …4分 c=√2， 质以C的方程为3十y1, 5分 (2)①当y=0时，O,A,B不构成三角形，不满足题意. 6分 ②当y≠0时，设直线AB的方程为x=y十1，…7分 A(x1,y1),B(x2,y2). 8分 (x2 由5+y=1得m+3y+2my-2=0. …9分 x=my+1, 则△=12(2十2)>0，…10分 -2m -2 1十y2m23y1y2%213……11分 2√3√m2+2 所以|y2-y11=√/(y1+y2)2-4y1y2 m2+3 …12分 则△AB0的面积S-2OMl,-=,W-3+2 2 (m2+2)+1 …13分 令√m+2=1(≥/2)，则y=1+在[V2,十)上单调递增， …14分 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 ·B1· 所以S=y:y=3 在[V2,十o∞)上单调递减，…15分 t+ t 当t=√2，即m=0时，S取得最大值，… 16分 且最大值为3 √6 17分 √2+ 1 3 2 (其他做法酌情给分) 19.【解析】(1)X1的所有可能取值为4,5.…1分 X-4表示操作1次后，摸到红球，其概率为，即P(X1-4)-号 2分 X,-5表示操作1次后，摸到白球，其概率为，即P(X,-5)- …3分 故E(X)=4X号+5×-别 。。。。。。。。。。。。。。。年。丁 (2)因为X,的所有可能取值一一罗列太麻烦，所以我们不考虑求其相应取值的概率，而是 换一个角度思考，寻找E(X,n)和E(X+1)的关系式。 假定已经操作了次，在理想情况下，此时盒子里有E(Xn)个红球，7一E(X)个白球，… …5分， 下一次操作时，若摸到红球，则盒子中红球的个数不变，若摸到白球，则盒子中红球的个数比 原来多1个（多了补进去的这1个红球），因此X+1的取值有E(X)和E(Xm)十1，相应概 率为 X)1E(X),列表如下 7 7 X+1 E(X,) E(X.)+1 P E(X,) 1-EX) 7 7 ……6分 所以EX)=BX).EX-)+[EX)+1]·[1E(X-] 7 …7分 整理得E(X+1)=9E(X,)+1,即E(X,+1)-7=9[E(X)-7. …8分 因为E(X,)-7=7-≠0，所以B(X,)-7≠0，则 E(Xm+1)-76 E(Xn)-77· 所以数列E(X.)一7}是首项为8，公比为的等比数列，…9分 6 则E(X)-7=(-18)×(9）,即E(X)=7-3X(9)”n∈N.…10分 (3)注意到，在原规则和新规则下，红球增加的个数只受到摸白球的次数影响. 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 ·B1· 操作了n次，摸到白球的次数为T 在原规则下，摸几次白球，盒子中就多几个红球，即X=4十Tn;…11分 在新规则下，摸几次白球，盒子中就多m倍个球，即Xn(m)=4十mTm.…12分 E(Xn)=E(4+Tm)=4+E(T,),E(Xn(m)=E(4+mT.)=4+mE(Tn), 所以E(T.)=E(X.)-4=31-(9)”]>0. …13分 因为Hn∈N,E(Xn(m)-E(Xm)≥2， 所以E(X,(m)-E(X,)=(m-1)E(T.)=3(m-1)[1-(9)]≥2. …14分 因为函数f(x)=3[1-(9)门在R上单调递增，且函数值恒正，…15分 所以m-1>0,且当n=1时，E(X.(m)-E(X,)最小，此时只需30m-1)(1-9)≥2，解 得m> 3又因为m∈N,所以m≥6，且m∈N. 16分 故m的取值范围为[6，十∞)(m∈N*).…17分 (其他做法酌情给分) 回回 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】 ·B1·高二数学素养训练 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效， 3.回答填空题、解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， h 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 弥 题目要求的) 2 1.数列{an}满足a1=1,a+1=an-∠，则a2= a A.2 B.0 C.-1 D.1 2.若函数f(x)=xe,则f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 A.y=0 B.x-y+1=0 C.x+y=0 D.x-y=0 3.函数f(x)=x3-3x的极小值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.某次数学竞赛中有3名男同学和2名女同学获得外出参加比赛的资格，现从中选出2名同学 封 担任正、副组长，选出的同学中至少有1名女同学的方案数为 A.12 B.14 C.20 D.8 5.随机变量~N(1,4),则 龄 A.D(E)=2 B.P(E≤0)=P(E≥3) C.P(≥3)>P(5≤0) DP(≤0)=21-P(0<×2] 6.袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球.从袋中每次随机取1个球，有放回地取 3次，设取出红球的个数为X;从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个 数为Y.下列说法不正确的是 线 A.P(X=1)=125 36 BPCY-D- C.E(X)=E(Y) D.E(X)>E(Y) 7.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，则|AF|BF|的最小值为 郭 A.1 B.2 C.4 D.16 8.已知点M(cosa,sina)(a∈R)到直线y=kx一2(k∈R)的距离是d,则下列结论正确的是 A.3a∈R,d=4 B.3a∈R,d=5 C.若Va∈R,d≤2+1，则|k≥1 D.若Ha∈R,d≤2+1，则|k|≤1 【高二数学第1页（共4页）】 ·B1· 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分) 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 A若数列口，为等差数列，则数列（牙}为等差数列 B.若数列lnan}为等差数列，则{an}为等比数列 C.若数列{an}为等比数列，则Sn,S2n一Sn,S3m一S2m为等比数列 D.若数列{an}为等差数列，则Sn,Sn一Sm,Sn一S2m为等差数列 10.如下图，这是杨辉三角， 1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 e。 结合杨辉三角，下列结论成立的是 A.Cm-1十Cw}=Cw B.kC%=nC路-1 C.(C-C D.Cm十Cm+1十…十CW=C} 1,事件A,B是样本空间D的子集，若P(B1A)+P(AB)=1,P(AB)=号，则下列结论正确 的是 A.事件A,B相互独立 B.若P(BA)=P(A|B),则P(A)=P(B)恒成立 C若PAB)=品则PA)-P(B1-音 D.PaB≤号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）】 12.已知向量a=(1,2,-1),b=(-1,1,λ)，若a⊥b,则|b|=▲ 13.随机变量x1,x2,…,xm的方差为2，则2x1一1,2x2一1，…，2xm一1的方差为 14.在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为▲. 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1· 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机地选择一家食堂就餐.若他第一天去甲食堂， 则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率 为0.6. (1)求小张第二天去乙食堂的概率； (2)若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率 16.(本小题15分)》 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD,且PD=DC,点E满足 CE=EP (1)证明：AP平面BDE. (2)求平面DBE与平面PDC夹角的余弦值 17.(本小题15分) 已知函数fx)=alnx+2x-a+1xa∈R) (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>1时，求f(x)在[1，e]上的最小值. 【高二数学第3页（共4页）】 ·B1· 18.(本小题17分) 设椭圆C+=1(a≥b>0)的离心率2二6 3,且点(0,1)在C上 (1)求C的方程； (2)过点M(1,0)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值， 弥 19.(本小题17分) 不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球.按如下规则进行操 作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将 该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀.记操作n次后，盒子中红球 的个数为Xm,操作了n次，摸到白球的次数为Tm· 封 (1)求E(X). (2)求E(Xm). (3)假设规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补m(m∈N“)个 红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变.记操作n次后，盒子中红球的个数为Xn(m).若 Vn∈N,E(Xn(m)一E(Xn)≥2，求m的取值范围. 参考公式：对任意X,Y,恒有E(X+Y)=E(X)+E(Y). 线 ▣ 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1·