精品解析：贵州遵义市第二十三中学2025-2026学年高二第二学期4月月考数学试题

遵义市第二十三中学2025—2026学年第二学年0413月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（ ） A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 300种 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 在正四棱台中，侧棱与底面所成角为，且，，则该棱台的体积为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 关于的展开式中，正确的是（ ） A. 二项式系数之和为 B. 存在常数项 C. 第6项的二项式系数最大 D. 各项系数之和为 10. 某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A. B. C. D. 11. 表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（ ） A. 椭圆与双曲线有相同的焦点 B. 双曲线上一点，则的值为1 C. 抛物线上的一点，点，则的最小值为8 D. 若椭圆比椭圆更扁，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则实数的值为___________． 13. 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______． 14. 已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列． 16. 已知函数. （1）求函数的对称轴方程和单调递减区间； （2）当时，函数的最大值与最小值的和为2，求. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）； （2）若，，求的面积． 18. 如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2． （1）若，证明：平面平面． （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为． （1）求的标准方程； （2）已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十三中学2025—2026学年第二学年0413月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（ ） A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 300种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出. 【详解】第一步：分组 将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况： ①3－1－1型：分组数为（种）； ②2－2－1型：分组数为（种） 合计：（种）． 第二步：分配 将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）． 根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）． 故选：A． 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7. 在正四棱台中，侧棱与底面所成角为，且，，则该棱台的体积为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由正四棱台的侧棱与底面所成的角可得棱台的高，进而可得棱台的上底面边的长，再由棱台的体积公式可得. 【详解】如图： 正四棱台中，侧棱与底面所成角为，所以. 过作，且， 所以四棱台的高, . 而在下底面正方形中，， 所以，. 所以在上底面正方形中，， 所以. 所以棱台的上底面积，下底面积，高, 所以四棱台的体积. 故选：A. 8. 已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用距离公式得到，再结合恒成立，最后根据离心率的公式即可求出. 【详解】设，则，故 则， ，所以是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，即时，又因为，故此时， 则在时，有最小值为， 又恒成立，符合题意，则； 当时，即， 在时，有最小值为， 又恒成立，， 即，则，即，矛盾； 综上，的离心率的取值范围为. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 关于的展开式中，正确的是（ ） A. 二项式系数之和为 B. 存在常数项 C. 第6项的二项式系数最大 D. 各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项展开式二项式系数的和的性质即可判断A；写出的展开式的通项，令的幂指数，看求出的值是否满足，且，即可判断是否存在常数项；根据二项式系数的最大值的性质即可判断C；在中，令，求出展开式的各项系数之和，即可判断D. 【详解】由二项式系数的和的性质可知，在中，， 所以其展开式的二项式系数之和为，故A正确； 因为的展开式的通项为， 令，解得.因为，且，所以满足条件， 即的展开式中存在常数项，故B正确； 由二项式系数的性质可知，当是偶数时，二项式系数最大的为中间一项， 即，所以第6项的二项式系数最大，故C正确； 在中，令，即可得展开式的各项系数之和为， 故D错误. 故选：ABC 10. 某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举所有基本事件，由古典概型概率公式，结合选项逐一求解判断即可. 【详解】记2位男生分别为，3位女生分别为，第一位出场的有5种等可能的结果， 对应第一位出场的每个可能结果，第二位出场的都有4种等可能的结果， 将前两位出场的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格表示如下： 第一位 第二位 × × × × × 第一位出场的是男生的可能结果有8种（表中第1、2行），所以，故A正确； 第二位出场的是女生的可能结果有12种（表中第3、4、5列），所以，故B错误； 事件，有6种结果，所以，故C正确； 事件表示第一位出场的是女生，故事件，有6种结果， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（ ） A. 椭圆与双曲线有相同的焦点 B. 双曲线上一点，则的值为1 C. 抛物线上的一点，点，则的最小值为8 D. 若椭圆比椭圆更扁，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A根据焦点的定义计算；对于B根据双曲线的定义以及勾股定理计算；对于C根据抛物线的定义可得；对于D比较离心率的大小即可. 【详解】对于A选项，椭圆中，得，则焦点为； 在双曲线中，得，则焦点为； 故A正确； 对于B选项，由双曲线的定义得，，则， 因为，所以， 则，故B错误； 对于C选项，由题意可得，焦点，准线， 过点作，垂足为， 则由抛物线的定义可知，， 等号成立时三点共线， 故的最小值为，故C正确； 对于D选项，在椭圆中，则， 则离心率为； 在椭圆中，则，则离心率为， 若椭圆比椭圆更扁，则，得， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率概率公式计算可得. 【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件， 事件所取核桃为空壳为事件， 则，，，， 所以. 故答案为： 14. 已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数的范围. 【详解】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，判断组距，求出参数值即可； （2）根据频率分布直方图，求出均值即可； （3）根据二项分布的概念，求出分布列即可； 【小问1详解】 由题意可知组距为， 则，解得. 【小问2详解】 由题意可知这组数据的平均数为. 【小问3详解】 当配件的质量指标值不小于80分时，概率为， 可知随机变量服从二项分布，即，可能的取值有， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 16. 已知函数. （1）求函数的对称轴方程和单调递减区间； （2）当时，函数的最大值与最小值的和为2，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可得，利用正弦型函数的性质求对称轴、单调区间即可； （2）求出的范围，由正弦函数的图象与性质求最大值与最小值得解. 【小问1详解】 由可得函数的对称轴为 由可得，， 即单调减区间为 【小问2详解】 令 易知在上单调递增， 在上单调递减，. ， ，. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值； （2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以，可得， 因为，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知，因为， 设的外接圆的半径为，可得， 所以， 因为，可得， 所以的面积为. 18. 如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2． （1）若，证明：平面平面． （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直进而证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过已知条件得到点坐标，再写出直线的方向向量与平面的法向量，最后代入公式即可. 【小问1详解】 取的中点，连接． 由题意，得． 所以，所以． 又因为为正三角形，为的中点， 所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）结合题意可知，，则二面角的平面角为，所以． 以为坐标原点，过点作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，． 设平面的一个法向量为． 由得． 因为，所以． 设直线与平面所成角为，则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为． （1）求的标准方程； （2）已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率之积和点在椭圆上整理可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程消去，利用，坐标表示出直线与的方程，求解出点的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【小问1详解】 由题意可得，且，则. 设， 则，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，代入式得 ， 由，代入得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设，，显然直线不垂直于轴， 故可设直线的方程为， 由消去得， 因为点在椭圆的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由直线与相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得， 即点在直线上． 【点睛】思路点睛：应用韦达定理解决非对称式的关键在于借助圆锥曲线斜率之积为定值，将转化为对称式结构再处理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $