2026年中考数学一轮复习专项 反比例函数与一次函数的综合

**基本信息** 聚焦函数综合问题，以待定系数法与数形结合为核心，构建"概念-运算-应用"三阶解题体系，强化抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合应用|8题|待定系数法求解析式、交点坐标联立方程、不等式解集图像法|从函数表达式到图像性质，形成"数-形-式"转化链| |几何综合|3题|对称点法求最值、面积分割法、中垂线作图|函数与几何图形结合，培养空间观念与推理意识| |实际应用|1题|函数建模解决矩形围建问题|用数学语言表达现实问题，发展应用意识与数据观念|

反比例函数与一次函数的综合2026年中考数学复习专项 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点到轴的距离为1． (1)试确定、的值； (2)求点的坐标． 2．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 3．如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5． (1)求m的值及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数解析式； (2)过点作轴的垂线，交轴于点C； (3)连接，求的面积． 5．如图，双曲线与直线交于，两点，直线交y轴于点C，交x轴于点D．    (1)求双曲线与直线的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交直线于点P，交双曲线于点Q.（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，求点Q的坐标． 6．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象“的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，因此，木栏总长为，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出面积为的矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 7．如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标． 8．如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，并求的面积； (3)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？ 10．如图，已知直线与双曲线交于与两点，连接． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)求的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点． (1)若点的横坐标为2，求的值； (2)点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上． 13．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点，且一次函数图像交轴于点A．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积． 14．设函数，函数（，b是常数，）． (1)若函数和函数的图像交于点，点， ①求b，n的值． ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点在函数的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图像上，求m的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《反比例函数与一次函数的综合2026年中考数学复习专项》参考答案 1．(1)，； (2) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，熟练掌握此方法是解本题的关键． （1）由A为两函数的交点，故将A的坐标代入一次函数解析式中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值；将A的坐标代入反比例函数解析式中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值； （2）由（1）求出的k的值，确定出一次函数解析式，把代入一次函数解析式求出y的值，即为B的纵坐标，进而确定出点B的坐标． 【详解】（1）解：为一次函数与反比例函数图象的交点， ∴将代入一次函数解析式得：， 解得：； 将代入反比例函数解析式得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：，， ， 点到轴的距离为1， ， ， 的坐标为． 2．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； （2）解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； （3）解：根据函数图象得，当时，或． 3．(1)5，， (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题 ，解题的关键是掌握数形结合思想的运用 (1)先把把代入求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值． (2)根据图象求得即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，， ∴ ∵点在双曲线上， ∴， （2）由图象可知不等式为或． 4．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析，图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据作垂线的方法作图即可； （3）根据题意运用的面积，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， ∵和在直线图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴的面积． 5．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据点A可求得双曲线的解析式，进而求得点B的坐标为；再将，的坐标代入得到关于m、n的一元二次方程，然后求解即可得到直线的表达式； （2）根据垂直平分线的尺规作图方法和已知条件作图即可； （3）先求得点D的坐标，则的中垂线为直线，再确定与双曲线的交点坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵点在双曲线， ∴，即. ∴反比例函数表达式为. 将点代入，得，解得， ∴点B的坐标为. 将，的坐标代入. 得，解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，直线即为所求．    （3）解：令.解得. ∴点D的坐标为， 的中垂线为直线， ∴当时，. ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、求函数解析式、垂直平分线的尺规作图等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 6．（1）4,2（2）不能围出，理由见详解（3）图见详解，（4） 【分析】（1）依题意，且观察图象即可得出，； （2）观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得； （4）和的长均不小于，所以，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象的交点问题． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，且为，为． ∴，； 故答案为：4；2； （2）不能围出，理由如下； 的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）如图中直线所示： 将点代入，解得． （4）和的长均不小于， ，， ， ， ， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， 7．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的求解，即可． （1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可． 【详解】（1）∵点在一次函数图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，即， ∴设直线的解析式为：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴设直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴点． 8．(1)；； (2)见解析；当时随的增大而增大，当时随的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分两种情况讨论，当时，作于点，利用正弦函数的定义求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得，根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：当时，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图， ∵，∴， 综上，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：列表： 0 1 2 3 5 6 8 0 6 0 6 3 2 1 描点，连线，作出函数图象如下： 函数的一条性质：当时随的增大而增大，当时随的增大而减小； （3）解：当时的取值范围：． 9．(1)反比例函数的表达式为 (2) (3)直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程． （1）设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案； （2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，可得，进而可求得点的坐标； （3）设直线平移后的表达式为，根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，可得，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点B的坐标为． 令，则， 解得， ∴点C的坐标为， ∵，解得． ∴点B的坐标为． 因为反比例函数的图象过点B，得， 解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立得， 变形，得， 解得，． ∴点A的坐标为． ∴； （3）解：直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度，理由如下： 设直线平移后的表达式为， 由一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，得， 变形，得， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点， ∴， 解得：，， ∴或， ∴直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度． 10．(1)反比例函数的解析式是；一次函数的解析式是； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求得的值，然后代入的坐标求得的值，利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的解析式是； 把代入得，即 根据题意得，解得， 则一次函数的解析式是； （2）解：在中，令，解得， 则． 11．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算； （1）先求解点坐标为，代入可得的值； （2）设，可得，，可得反比例函数为：，结合，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得，； （2）解：，理由如下： ∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点． ∴设， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 12．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得，解得， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D， ∴， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， ∴C，O，D三点在同一条直线上． 13．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为； (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式求解参数即可； （2）利用割补法，将三角形面积拆为两个规则三角形，再求出解析式与y轴交点，求解出三角形面积． 【详解】（1）将点代入得： ， ， 反比例函数解析式为； 将点，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入一次函数解析式为得： ， ， 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点和不规则三角形面积，函数图像上的点可带入解析式求解参数，计算不规则图形面积通常采用割补法． 14．(1)① ②或 (2) 【分析】（1）①采用待定系数法即可求出．②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出． （2）结合题意，表示出点D的坐标，然后将C,D两点代入到中即可求出． 【详解】（1）①把点代入到中，得 把代入到中，得 再把和代入到中，得 解得： 综上：． ②如图所示： 解得： 结合图像，当时， x的取值范围是：或． （2）根据题意， 把点C，D代入到中，得 解得： 综上:． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图像和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 15．(1)4， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键． （1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可． （2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题． 【详解】（1）解： 点在一次函数 的图象上， ． 点的坐标为． 反比例函数 的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． （2）过点作轴的垂线，垂足为点， ， 则，． 由勾股定理，得． 由图象的对称性，可知． 又， ． 点的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $