2026年中考数学高频考点一轮专题复习-反比例函数与一次函数的综合

2026年中考数学高频考点专题复习-反比例函数与一次函数的综合 1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与y轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数表达式： (2)请直接写出关于x的不等式的解集：__________． 2．如图，已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求k的值和B点坐标； (2)设点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点C，交双曲线于点D．若的面积大于的面积，结合图象，直接写出m的取值范围． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)结合图象直接写出时的取值范围． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和两点，点的横坐标是－3． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 5．如图，函数y＝﹣x+4的图象与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，1）、B（1，n）两点．求k，m，n的值． 6．如图，直线与双曲线只有一个公共点． 求k与a的值； 在的条件下，如果直线与双曲线有两个公共点，直接写出b的取值范围． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与双曲线的一个交点为B（－1，4）. （1）求直线与双曲线的表达式； （2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标. 9．如图，一次函数与函数的图象交于，两点，轴于C，轴于D． (1)求k的值； (2)连接，，求的面积； (3)在x轴上找一点P，连接，，使周长最小，求点P坐标． 10．如图，直线交轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数的图象经过点A，EA的延长线交直线于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点B在轴上，且AB＝AD，求点B的坐标． 11．已知直线l分别与x轴,y轴交于A，B两点，与双曲线(k≠0,x>0)分别交于D，E两点.若点D的坐标为((3.1)，点E的坐标为(1，n). (1)分别求出直线l与双曲线的解析式； (2)求△EOD的面积； (3)若将直线l向下平移m(m>O)个单位,当m为何位时,直线l与双曲线有且只有一个交点. 12．如图1，反比例函数（）图象与直线相交于点，点是反比例函数图象上的动点，过点作轴于，交直线于．设点的横坐标为，的面积为．已知当时取得最小值0． （1）直接写出反比例函数的解析式； （2）求关于的函数关系式：并在图2中画出关于的函数图象． （3）直接写出不等式的解集． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，． （1）求b、k的值； （2）求的面积． 14．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 15．如图，直线与双曲线交于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集； (3)点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点B，点B的横坐标为3． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． (3)C为x轴上一动点，连接，，若的面积为18，直接写出点C的坐标． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点． (1)求的值； (2)连接，若的面积为2，求一次函数的表达式． 18．如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是x轴上一点，的面积为4，求点P坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)或 【分析】（1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：（1）把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）由可知，反比例函数在一次函数上方， ∴不等式的解集或． 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 2．(1)；点B的坐标为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法进行求值即可； （2）结合图象，可知当PC＞PD，的面积大于的面积，由此可知或． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，∴点A的坐标是， 代入函数中，得 ∵直线经过原点   ∴由双曲线的对称性可知，点A与点B关于原点对称，点B的坐标为； （2）如图所示： ∵点A的坐标是，点B的坐标为， 若的面积大于的面积， 则：PC＞PD， 结合图象可知此时：或， 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 3．(1)，； (2)； (3)当时，或时． 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是利用了数形结合的思想． （1）将坐标代入正比例函数解析式中，求出的值，确定出坐标，再将坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，即可求得的值； （2）将代入反比例函数即可求解； （3）根据函数图象，即可得到时的取值范围． 【详解】（1）解：将坐标代入一次函数解析式，得： ， ∴ 将坐标代入反比例函数解析式，得： ， 解得：， ∴， 将，坐标代入反比例函数解析式，得： ； （2）解：当时，； （3）解：根据函数图象知，当或时，． 4．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2)或 (3)2.5 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）求得B的坐标，然后根据图象即可求得； （3）求得直线与y轴的交点，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得. ∴一次函数的解析式是． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式是． （2）把x=-3代入y=x+1得，y=-2， ∴B(-3，-2)， 观察图象可得当时，的取值范围或． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，交轴于点， ∵点的横坐标是－3，点在直线上， ∴， ∴点的坐标是， 把代入中，得， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴的面积是． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键． 5．m＝3，k＝3，n＝3． 【分析】把A与B坐标代入一次函数解析式即可求出m与n的值，再将点B坐标代入反比例解析式即可求出k的值． 【详解】解：把A（m，1）代入y＝﹣x+4，得：1＝﹣m+4，即m＝3， 把B（1，n）代入y＝﹣x+4，得：n＝﹣1+4＝3，∴B（1，3）， 把B（1，3）代入y＝，得：k＝3． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 6．（1）a=2，k=-2（2）或 【详解】试题分析： （1）把点A坐标分别代入直线与双曲线解析式即可求出k和a的值； （2）联立两个函数的解析式，整理得出一元二次方程，根据根的判别式即可得出结果． 试题解析： 解：（1）∵直线y＝ax－4与双曲线y＝只有一个公共点A（1，）， ∴ ∴ （2）若直线y＝2x＋b与双曲线y＝有两个公共点， 则方程组有两个不同的解， ∴2x＋b＝有两个不相等的解， 整理得：2x2＋bx＋2＝0， ∴△＝b2－16＞0， 解得：b＜－4或b＞4． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线y＝2x＋b有两个公共点时，△＞0是解决问题（2）的关键． 7．(1)一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解。 【详解】（1）把，代入中，得 ，． 又，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． （2）由（1）可知，设点的坐标为，则． ， ． 解得， ． 8．（1）直线的表达式为，双曲线的表达方式为；（2）点P的坐标为或 【详解】分析：（1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可； （2）根据直线解析式求得点A坐标，由S△ACP＝AC•|yP|＝4求得点P的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线与双曲线 （）都经过点B（－1，4）， ， ， ∴直线的表达式为，双曲线的表达方式为.    （2）由题意，得点C的坐标为C（－1，0），直线与x轴交于点A（3，0）， ， ∵， ， 点P在双曲线上， ∴点P的坐标为或. 点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数解析式可求出A，B两点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式，即得出k的值； （2）过点A作轴于点E．由点A，B的坐标可求出，从而可求出，，的值，最后根据求解即可； （3）作点B关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P．由轴对称的性质可知，，且此时最小，即．利用待定系数法可求出直线的解析式，从而可求得其与x轴的交点坐标，即为P点坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，在一次函数的图象上， ∴，， 解得：，， ∴，． ∵，也在函数的图象上， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点A作轴于点E． ∵，， ∴， ∴，，， ∴； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P． 由轴对称的性质可知，，且此时最小， 即． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 10．（1）；（2）点B为B1（－2，0），B2（4，0） 【分析】（1）根据直线可求出与x轴交点M的坐标，再根据S矩形OMAE＝4，可以确定点A的坐标，进而求出k的值，确定反比例函数关系式； （2）根据一次函数的关系式求出点D的坐标，得出AD的长，于是分两种情况进行解答，即点B在点M的左侧和右侧，由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）求得直线与轴交点坐标为M（1，0），则OM＝1， 而S矩形OMAE＝4，即OM·AM＝4， ∴AM＝4， ∴A（1，4）； ∵反比例函数的图象过点A（1，4）， ∴， ∴所求函数为； （2）∵点D在EA延长线上， ∴直线AD：， 求得直线与直线的交点坐标为D（6，4）， ∴AD＝5； 设B（，0），则BM＝， Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4， ∴BM＝3，即＝3，则，， ∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的交点，理解一次函数、反比例函数图象的意义是解决问题的前提，将点的坐标代入是常用的方法． 11．略 【分析】（1）把D坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，设直线l解析式为y=ax+b，把D与E坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线l解析式； （2）根据三角形的面积的和差即可得到结果． （3）利用平移规律表示出直线l平移后的解析式，与反比例解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，由直线l与双曲线有且只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值； 【详解】(1)把D(3,1)代入反比例解析式得：1=，即k=3， ∴反比例解析式为y=， 把E的坐标(1,n)代入y=得n=3， ∴E的坐标为(1,3)， 设直线l解析式为y=ax+b， 把D(3,1),E(1,3)代入得：， 解得：a=−1，b=4， 则直线l解析式为y=−x+4； (2)连接OD，OE，过D作DM⊥OA于M，EN⊥OA于N， ∴S△DOE=S△AOE−S△AOD=×3×4−×4×1=4； (3)设直线l向下平移m(m>0)个单位的解析式为y=−x+4−m， 联立得：， 消去y得：=−x+4−m,即x2+(m−4)x+3=0， ∵直线1与双曲线有且只有一个交点， ∴△=(m−4)2−12=0,即m−4=2或−2， 解得：m=2+4或−2+4； ∵m<4， ∴m=4−2. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，灵活运用反比例函数和一次函数的性质是解答本题的关键. 12．（1）；（2）①当时， ；②当时，，图象见解析；（3）． 【分析】（1）由当时取得最小值0可知：此时点P与点B重合，又因为点B在直线上，所以点P的坐标为（4，2），由此求出反比例函数的解析式． （2）分①当时，②当时两种情况讨论列出函数关系式，进而画出关于的函数图象. （3）分别求出当y=1时，当y=2时，自变量的对应的值，再根据图象判断自变量的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵当时取得最小值0， ∴此时点P与点B重合， 又∵点B在直线上， ∴点P的坐标为（4，2）， 把点P（4，2）代入中， 解得：k=8， ∴反比例函数的解析式为； （2）如下图：依题意知点 ， ①当时， ②当时， 关于的函数图象如下： 说明：图象中点应为空心，不为空心的扣1分；另一支射线无论长短不扣分． （3）由（1）知反比例函数的解析式为， 当y=1时，x=8， 当y=2时，x=4， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质与几何图形、不等式的灵活运用，综合性较强.熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键. 13．（1）b=2，k=6；（2）6 【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，把代入得：b=2，由，得，进而即可求解； （2）根据三角形的面积公式，直接求解即可． 【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD， 把代入得：，解得：b=2， ∴， 令x=0代入，得y=2，即B(0，2)， ∴OB=2， ∵，OB∥CD， ∴， ∴，即： ∴DA=6，CD=3 ∴OD=6-4=2， ∴C(2，3)， ∴，解得：k=6； （2）的面积=． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键． 14．（1），；（2）8；（3），，， 【分析】（1）首先把，代入中，就可以确定m和 n的值，再把，代入，从而求得一次函数与反比例函数的表达式； （2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标，求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积； （3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式得出点的坐标． 【详解】解：（1）将代入中，得， 反比例函数的表达式为 在的图象上，，即 将、坐标代入得 ，解得：．一次函数表达式为：． （2）设直线与轴交于点，则点为， ． （3）， 设P（x，0）． 当AO=OP=时，点在轴上， 点为或 当AO=AP=时， ，x=-6或0（舍去） 点为， 当OP=AP时， ，； 点为 综上所述，符合条件的点P的坐标是，，，． 【点睛】考查了一次函数综合题，需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在没有指明等腰三角形的底（或腰）的情况下，一定要分类讨论，以防漏解． 15．(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键． （1）将点，代入直线中得，再点代入反比例函数中得到； （2）找到函数图像中直线在双曲线下方的图像对应的横坐标范围即可； （3）先求出，，，设点，再分三种情况，结合菱形的性质解决问题． 【详解】（1）解：将点代入直线中得：， ∴， 将点代入直线中得：， ∴， 将点代入反比例函数中得： ∴． （2）解：由（1）知，， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：，，， 设点， 当是对角线时，是邻边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是邻边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是邻边，， 且，解得：， 故． 综上，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为． 故答案为：． 16．(1)， (2)或 (3)点C的坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与x轴交于点D，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得C的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点B，点B的横坐标为3 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）解：设与x轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象上的点的特征，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上的点的特征即可求解； （2）由（1）可得点A的坐标，由的面积可求得点C的坐标，即可得一次函数解析式． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴ 解得． （2）解：由（1）得， ∴点， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴①， ∵一次函数经过点， ∴②， 由①②得，， ∴一次函数的表达式为． 18．(1)，． (2)或 (3)或． 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量x的取值范围； （3）设，根据的面积为4，列出方程，即可． 【详解】（1）解：把代入，， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴． 把、代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围为， 即不等式的解集为或； （3）解：设， ∵的面积为4， ∴， 即， 解得：， ∴或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $