专题09平行四边形专项训练(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09平行四边形专项训练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰题型的定义与性质 题型05.平行四边形:图形计数与定点构点 题型06.判定与补条件构平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定应用 题型11.三角形中位线的求解 题型12.三角形中位线的证明 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16.平行四边形最值问题 解答题6题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 . 题型01.利用平行四边形性质求解 1．在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】115度/ 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，可得，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 【答案】或 【分析】需分两种情况讨论，边上高的垂足位置分垂足在边上和垂足在延长线上两种，利用勾股定理求出的长，再根据平行四边形周长公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为，，，为垂足． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 分两种情况讨论： 情况1：垂足在的延长线上时，如图    此时． 平行四边形周长为． 情况2：垂足在边上时，如图 此时． 平行四边形周长为． ∴平行四边形周长为或． 3．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过延长交于，构造直角三角形与全等三角形，先证得到，结合勾股定理求出、的长度，再利用直角三角形的性质与勾股定理求出，最终得到的长度，同时逐一判断选项． 【详解】解：延长交于． ∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型02.利用平行四边形性质证明 4．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得，结合求出，进而可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 5．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，． 又， ∴． ∴． 故②正确． ③∵为的中点， ∴． ∴． 故③错误． ④∵， ∴． ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 6．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 【答案】D 【分析】连接，由平行四边形对边平行且相等可得，，由同底等高的两个三角形面积相等得到，由等底同高的两个三角形面积相等得到，推出，求出面积差为0即可做出判断． 【详解】解：连接，    ∵四边形和均为平行四边形， ∴，， ∵边，相交于点P，边，在同一直线上， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当点P从点出发向点运动时，的面积与的面积差一直不变． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，平行线，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质、平行线间的距离相等、三角形的面积公式， 等底等高的三角形面积相等，是解决问题的关键． 题型03.平行四边形性质的应用 7．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 9．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 题型04.等腰题型的定义与性质 10．三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是_____． 【答案】 【分析】在等腰梯形中作出一腰的平行线，将求梯形的周长问题转化为三角形的三边关系进行解答． 【详解】解：如图所示， 在等腰梯形中，过点作腰的平行线，交于点．则四边形是平行四边形． 在等腰梯形中， （1）若腰长，则，． 那么．故不成立． （2）若腰长，则，． 那么．故不成立． （3）若腰长，则，． 符合三角形的两边之和大于第三边． 所以等腰梯形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的定义，平行四边形的性质，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 11．一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是______厘米． 【答案】60 【分析】设等腰梯形为，厘米，厘米，过点A作梯形的高，则厘米，由勾股定理可求得腰长，从而可求得周长． 【详解】解：如图，过点A作梯形的高，E为垂足， 则厘米， 由等腰梯形的性质得：厘米， 在中，由勾股定理得（厘米） ∴等腰梯形的周长为：（厘米） 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，由勾股定理求得腰长是关键． 12．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 13．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 题型05.平行四边形:图形计数与定点构点 14．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 15．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 17．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 题型06.判定与补条件构平行四边形 18．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 19．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 20．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 21．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 题型07.证明四边形是平行四边形 22．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定，根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故选：A． 23．下列命题中，是假命题的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定规则逐一判断选项，即可找出假命题. 【详解】∵选项A，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合要求. ∵选项B，对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合要求. ∵选项C，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合要求. ∵选项D，两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形，例如筝形满足两组邻边分别相等，但不是平行四边形，因此原命题是假命题，符合要求. 故选：D. 24．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 25．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质的掌握情况．如图，梯形中，过点作，则四边形是平行四边形，根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，即可求解. 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过点作，则四边形是平行四边形 根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，有 ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 26．如图，等腰中，，点D在边上，将等腰绕点A顺时针旋转后，点D落在边上，点E落在边上，若，则四边形的面积是多少（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于H，证明，得到四边形是平行四边形，在中根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点A作于H． 由题意得：，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴． 27．如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形、四边形都是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，再由，，得出四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ∵，， ∴四边形、四边形都是平行四边形． ，，，． ∴图中阴影部分的周长． 故选：B． 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 28．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 29．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 30．在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【分析】甲方案：连接交于点O，证明，即可，乙方案：证明，且即可，丙方案的思路与乙方案相似求解． 【详解】解：甲方案：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴     ∴， ∴四边形是平行四边形． 丙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴     ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角形的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 题型10.平行四边形性质与判定应用 31．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 32．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确． 33．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型11.三角形中位线的求解 34．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，那么的长为（　　） A．2 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理进行解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 故选：A． 35．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） . A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 36．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键． 【详解】解：延长，，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 故选：B． 题型12.三角形中位线的证明 37．已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定及三角形中位线的性质．连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可得结论． 【详解】解：连接，如图， 、分别是边、的中点， 是的中位线 ，， 同理，，， ，， 四边形的形状是平行四边形． 故选B． 38．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，， 故选项A正确； ∵是边上的中线， ∴点E是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项B正确； ∵是边上的中线，点D是的中点， ∴，， ∴， 故选项D正确； 当时，，否则不成立， 故选项C错误． 故选：C． 39．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为______． 【答案】4 【分析】由三角形中位线定理得到，由平行线的性质推出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：点D、E、F分别是直角各边的中点， ，是的中位线， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 题型13.三角形中位线的实际应用 40．如图所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取中点C，中点D，测得，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 直接利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵取中点C，中点D， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 41．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 【答案】米/ 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米， 故答案为：36米． 42．如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 题型14.平行四边形与折叠问题 43．如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠问题，勾股定理，折叠结合平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为： 44．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 45．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，由折叠得，证明，推出，进而得出，求得的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 46．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 题型15.平行四边形与动点问题 47．如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 【答案】C 【分析】根据函数图象分析点的运动过程：时，随增大而增大，对应在上运动，得出长度及面积；时，不变，对应在上运动，得出长度；时，减小至0，对应在上运动，得出的值； 结合平行四边形性质计算周长、面积及最短时的时间，逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，，即， ，其中为边上的高， ． 当时，点在上运动，保持6不变， ， 四边形是平行四边形， ，． 当时，点在上运动， 运动时间为秒， ，故A选项正确； 的周长，故B选项正确； 的面积，故D选项正确； 当时，线段最短，此时， 在中，，， ， 秒， 即秒时，最短，故C选项错误． 48．如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键． 由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：由图②知，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 49．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出，求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 50．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 题型16.平行四边形最值问题 51．已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，，此时四边形的周长最小．根据勾股定理求出，，进而计算即可. 【详解】解：如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，， ∵，， ∴是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形的周长， 即E在线段上时四边形的周长最小. ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长的最小值为． 故选：C． 52．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 53．如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接，则，由平行四边形的性质得，因为，所以，则，求得，则，所以，由，得，因为H是的中点，E为边的中点，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题重点考查轴对称最短线路问题、平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 54．在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，，点E为边上一点，连接，点F为上一点，连接交于点G，连接，若，求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）过点D作于点H，证明，结合，，从而可得答案； （2）作，交于点，证明，可得，证明，，可得，进一步可得； （3）过点A作，使，证明，，，求解，再证明，可得，当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为的长度，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：过点D作于点H， ， ， 在中，，， ； ； （2）解：作，交于点 ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 在和中， ． ，， 在和中 ． ， ； （3）解：的最小值为，理由如下： 过点A作，使， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵， ∴； ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 解答题 55．如图，在中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） (2)点P在上，时，求t的值； (3)当直线平分的面积时，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或时，直线平分四边形的面积 【分析】（1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； （2）解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； （3）解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； 56．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 57．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 58．如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解； （2）由（1）可得四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）可得：四边形为平行四边形， ∴． 59．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，求的长． 【答案】3 【分析】通过取的中点，构造△的中位线，利用三角形中位线定理得到与的位置、数量关系；再结合平行四边形的性质，证明四边形为平行四边形，进而推出为的中点，最终结合的长度求出的长． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ∵四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 60．如图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，，分别是，，，的中点，根据三角形中位线定理得，且，，且，则，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点，因为，，，所以，，则，，求得，则． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点，则， ∵，，， ，． ，． ． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形专项训练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰题型的定义与性质 题型05.平行四边形:图形计数与定点构点 题型06.判定与补条件构平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定应用 题型11.三角形中位线的求解 题型12.三角形中位线的证明 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16.平行四边形最值问题 解答题6题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 . 题型01.利用平行四边形性质求解 1．在平行四边形中，，则的度数是__________． 2．平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 3．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 题型02.利用平行四边形性质证明 4．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 6．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 题型03.平行四边形性质的应用 7．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 8．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 9．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 题型04.等腰题型的定义与性质 10．三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是_____． 11．一个等腰梯形，它的上底是12厘米，下底是22厘米，高和上底一样长，则这个等腰梯形的周长是______厘米． 12．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 13．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 题型05.平行四边形:图形计数与定点构点 14．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 15．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 17．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 题型06.判定与补条件构平行四边形 18．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 19．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 21．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 题型07.证明四边形是平行四边形 22．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 23．下列命题中，是假命题的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 24．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 25．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（   ） A． B． C． D． 26．如图，等腰中，，点D在边上，将等腰绕点A顺时针旋转后，点D落在边上，点E落在边上，若，则四边形的面积是多少（      ） A． B． C． D． 27．如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 28．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 29．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 30．在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 题型10.平行四边形性质与判定应用 31．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 32．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 33．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 题型11.三角形中位线的求解 34．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，那么的长为（　　） A．2 B． C．4 D．3 35．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） . A．1 B． C．2 D． 36．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 题型12.三角形中位线的证明 37．已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 38．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 39．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为______． 题型13.三角形中位线的实际应用 40．如图所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取中点C，中点D，测得，则________． 41．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 42．如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 题型14.平行四边形与折叠问题 43．如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 44．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 45．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 46．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 题型15.平行四边形与动点问题 47．如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 48．如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 49．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 50．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 题型16.平行四边形最值问题 51．已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． E． 52．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 53．如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 54．在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，，点E为边上一点，连接，点F为上一点，连接交于点G，连接，若，求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 解答题 55．如图，在中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） (2)点P在上，时，求t的值； (3)当直线平分的面积时，求t的值． 56．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 57．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 58．如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 59．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，求的长． 60．如图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $