专题6.3 三角形的中位线（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.3 三角形的中位线 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点！三角形的中位线定理 知识清单 题型】与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关的证明 三角形的中位线 题型3三角形中位线的实际应用 题型4中点四边形问题 题型精讲 题型5与三角形中位线有关的多结论判定问题 题型6构造三角形的中位线一连接两点 题型7构造三角形的中位线一倍长法 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形中位线的定义，明确中位线与中线的区别，能在任意三角形中 准确找出所有中位线。 2.掌握三角形中位线定理的内容，即中位线平行于第三边且等于第三边的一 教学目标 半，理解定理的推导过程。 3.能运用三角形中位线定理解决线段平行、长度计算、图形性质证明等问题， 提升几何转化与推理能力。 1.重点 (1)掌握三角形中位线的定义和定理内容，清晰区分中位线与中线的不同， 形成准确的概念认知。 教学重难点 (2)熟练运用中位线定理进行几何计算与证明，针对线段平行、长度求解等 问题，能规范书写推理步骤。 2.难点 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)理解三角形中位线定理的推导逻辑，尤其是通过构造平行四边形，结合 平行四边形判定与性质完成定理证明的思路。 (2)综合运用中位线定理解决复杂几何问题，比如结合平行四边形、中心对 称等知识进行多步推理，突破辅助线构造的难点。 知识清单 知识点01三角形的中位线定理 三角形中位线定理 (1)三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半， (2)几何语言： 如图，，点D、E分别是AB、AC的中点 ∴.DE∥BC,DE=—BC.B 2 【即学即练1】1.如图，在ABC中，AB=6cm,BC=4cm,AC=5cm,E,F分别是AB和AC的中点， 则EF=() A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 2.如图，DE是ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF并延长交BC于G,若AC=12, DE=9,则BG的长为 题型精讲 题型01与三角形中位线有关的求解问题 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级下·山东济南期中)如图，在ABC中，AB=10,AC=10,BC=9,点D、E、 F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是() 0 B F A.18 B.19 C.20 D.21 【变式1】(25-26八年级下·重庆巴南期中)如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E, 连接CE,点F,G分别是BE和CE的中点，若FG=2.5,DE=2,则CD的长为() D F G A.3 B.2 C.2.5 D.4 【变式2】(25-26八年级下·吉林期中)如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，若DE=7, 则BC的长为 【变式3】(25-26八年级下·福建泉州期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上， AE=CF,连接AC,EF交于点M,点N为AB的中点，连接MN,若MN=2,则AD的长为 D 题型02与三角形中位线有关的证明 【典例2】(25-26八年级下山东聊城月考)如图，已知长方形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点；E, F分别是AP,RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是() D R E B 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长先增大后变小 【变式1】(24-25八年级下·湖北荆州期中)如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、 F分别是AB、CD的中点，AD=BC,∠PEF=30°，则∠PFE的度数是 【变式2】(25-26八年级下·江苏徐州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D,E,F分别是AB, BC,AC的中点.连接BF,DE.求证：BF=DE, 【变式3】(25-26八年级下·上海·期中)如图，在ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AD⊥AB, 垂足为A,AC=10,AD=4. A E B O (1)求证：∠ADE=90°： (2)求AB的长. 题型03三角形中位线的实际应用 【典例3】(25-26八年级下·云南昆明期中)如图，为测量池塘边A,B两点的距离，小明在池塘的一侧 选取一点O,测得OA,OB的中点分别是C,D,且CD=10m,则A,B两点之间的距离是() A.5m B.10m C.20m D.16m 【变式1】(25-26九年级上福建泉州期末)如图，A,B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A,B间 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的距离：先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点分别为M,N,并步测出MN的长约为45米，由 此可知A,B间的距离约为() B A.22.5米 B.45米 C.85米 D.90米 【变式2】(25-26八年级下·江苏徐州期中)校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点A,B处 的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点C,连接CA,CB,分别取边CA,CB的中点DE,测得DE的长为 8m,则这两棵垂柳的距离为 m B 【变式3】(2026浙江嘉兴一模)如图，小明为测量池塘的长度BC,在池塘外取一点A,连接AB,AC, 分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,测得DE=I0米，则BC的长为米. 题型04中点四边形问题 【典例4】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、 CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长() D G E B A.只与AB、CD的长有关 B.只与AD、BC的长有关 C.只与AC、BD的长有关 D.与四边形ABCD各边的长都有关 【变式1】(25-26八年级下，全国课后作业)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC, 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD,AD边的中点，连接EF,FG,GH,HE得到四边形EFGH,若四边形ABCD的对角线AC=I8, BD=22,则四边形EFGH的周长为 【变式2】(2026山东枣庄.一模)如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作ED∥AB, EF∥AC,得到四边形EDAF,，它的周长记作C；取BE中点E,作E,D,∥FB,E,E∥EF,得到四边形 ED,FF,它的周长记作C2,…,照此规律作下去，则C22?=一· E D E A 【变式3】(23-24八年级下·广东惠州期末)我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点 四边形，如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，依次连接各 边中点得到中点四边形EFGH,连接BD,证明：四边形EFGH是平行四边形. H E G B F 题型05与三角形中位线有关的多结论判定问题 【典例5】(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE平分∠ADC 交AB于点E,交AC于点F,∠BCD=60°，AD=AB,连接OE.下列结论：①S,4BD=AD·BD:② DB平分∠CDE;③AO=DE;④OE∥AD.其中所有正确结论的序号是() D E B A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(2026安徽芜湖·二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.AC=BD, ∠BOC=60°，M,N分别为AB,CD的中点，连接MN分别交BD,AC于G,H,延长AD至点E,使得 DE=BC,连接CE,则下列结论中错误的是() A.0G=OH B.2MN>AC C.AD+BC>ACD.LACE>∠E 【变式2】(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图，在口ABCD中，BC=2AB,对角线AC,BD交于 点O,∠ABC=60°，AE平分∠BAD交BC于点E,交BD于点M,连接OE.点P在AD上，连接OP, PC.下列四个结论：①OE=号4D,②BM=20M,③S,D=2AB4C,④当AB=4时，0P+PC的 最小值为3.其中一定正确的结论是 (请将正确的结论序号填在横线上) D M 【变式3】(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, LABC=60°，点E是AB的中点，连接CE、OE,若AB=2BC,下列结论：①LACD=30°；②CD=40E; 1 ③SACOE=1 S四边形BCD,其中正确的序号为 B O 题型06构造三角形的中位线-连接两点 【典例6】(25-26八年级下·山东聊城期中)如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是AB上一 定点，连接CM,MN,E,F分别是CM,MN的中点.当点M从点A向点D移动时，关于线段EF的长 度，下列结论一定正确的是（) M b A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.不改变 D.不能确定 【变式1】(25-26八年级下·广西贵港期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,点N 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是BC边上一点.点M为AB边上的动点（不与点B重合），点D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小 值为() B M A. 30 B.3 C.4 D.6 【变式2】(25-26八年级下·山东济宁期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB, BC,AC的中点，连接EF,G为EF上一点，且EG=FG,连接DG.若AB=4,BC=2,则DG的长为 D 【变式3】(25-26八年级下·上海杨浦期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB,AD的中点， BC=10,CD=6,EF=4,∠AFE=52°.求∠ADC的度数. 题型07构造三角形的中位线-倍长法 【典例7】(24-25九年级下·全国期末)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE ,AB=5,AC=3,则DE=() D B A.1 B.3 C.2 2 【变式1】(25-26九年级上·江苏宿迁期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,平面上 有一点P,连接CP,BP,若BP=4,取CP的中点M.连接AM,则AM的最小值为 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C M B 【变式2】(24-25八年级下·山东临沂期中)阅读下列材料，解决问题. 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法，最常见的是在遇到三角形的中线时，延 长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”.在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等 三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题.举例如下：如图①，在四边形 ABCD中，AD∥BC,AC⊥AD,E是BD的中点，若AD=6,AC=8,BC=12.求AE的长度. D B 图① 解：如图②，延长DA至点F,使得AF=AD,连接BF, D B 图② ∴DF=AD+AF=2AD=12, .DF=BC=12. :AD∥BC,即DF∥BC, :.四边形FBCD是平行四边形， .BF=CD, (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，ABC与△BEF均为等腰直角三角形，其中LABC=∠BEF=90°，AB=BC,EF=BE.连接 4R,CF,M为A的中点，连接ME,求证：ME=CF. 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 图③ 【变式3】(25-26八年级下·山西朔州期中)数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线 平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.以下是对此定理的探究及证明过程： 己知：如图①，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点. 求证：DE∥BC且DE=BC 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ ()【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学.他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长DE至点F,使EF=DE,连接CF. 乙：如图③，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF. 丙：如图④，作AH⊥DE于点H,延长HD,使DG=HD,延长HE,使EF=HE,连接BG,CF. 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是 A,仅甲、乙B.仅乙C.仅乙、丙D.甲、乙、丙 (②)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整， (3)【定理应用】如图⑤，B,，C两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和 点D,使AD∥BC,连接AB,DC,并分别找到AB和DC的中点M,N.若测得AD=8m,MN=17m ,则B,C两地间的距离为_m· 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级下·广西南宁·期中)如图，A,B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A,B间的 距离：先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点分别为M,N,并测出MN的长约为40米，由此可知 A,B间的距离约为() 10/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M C A.80米 B.60米 C.40米 D.20米 2.(25-26八年级下·重庆期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点， 且AE+EO=4,则平行四边形ABCD的周长为() D A.12 B.14 C.16 D.18 3.(2026山东青岛一模)如图，点E为口ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长 至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为() B 5 A.2 B.3 D.4 4.(2026安徽阜阳·二模)如图所示，M是ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N, 且AB=8,AC=14,则MN的长是() B M A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2026河南一模)如图，在口ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G,若 BE=8,则GE的长为() D E G A.1 B.2 C.3 D.4 11/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下·福建南平.期中)如图，点D,E,F分别为ABC各边的中点，∠A=80°，则 ∠EDF为 D E 7.(25-26八年级下·上海普陀·期中)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE, AB=7,AC=4,则DE的长度为一· D E 8.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB 、CD的中点，AD=BC,∠PEF=19°，那么∠FPE的度数为 D 9.(25-26八年级下·江西南昌期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段 AO,B0的中点，若AC+BD=14cm,△0AB的周长是11cm,则EF=Cm. A D E B 10.(25-26八年级下·辽宁沈阳期中)如图，己知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=2,将 ABC绕点C顺时针旋转90°得到aDEC,F是AB中点，连接DF,则DF的长为 12/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 三、解答题 11.(25-26八年级下北京·期中)如图，在ABC中，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长 线上的一点，且AD=AC,连接DE、AF、EF,求证：DE∥A· B E D 12.(25-26八年级下山东济南期中)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E为线段AB的 中点，∠ADB=90°，AC=10,OE=2.求AD和BD的长度. D E 13.(25-26八年级下·上海期中)如图，在ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AD⊥AB,垂足为 A,AC=10,AD=4. 4 B C D (1)求证：∠ADE=90°； (2)求AB的长. 14.(25-26八年级下，重庆期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F是AD中点，CF 交DE于点G A F D G B (I)若点G是DE中点，求证：四边形AECF是平行四边形； 13/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若∠ADE=30°，EA平分∠BED,DE=10,求△ADE的面积. 15.(25-26八年级下·湖南永州期中)【三角形中位线定理】 AFD B 图① 图② (I)如图1，已知：在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点.请直接写出DE与BC之间的数量关系 和位置关系： 【应用】 (②)如图2，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，若BC=5,CD=3,EF=2, ∠AFE=45°，求∠ADC的度数. 14/14 专题6.3 三角形的中位线 教学目标 1. 理解三角形中位线的定义，明确中位线与中线的区别，能在任意三角形中准确找出所有中位线。 2. 掌握三角形中位线定理的内容，即中位线平行于第三边且等于第三边的一半，理解定理的推导过程。 3. 能运用三角形中位线定理解决线段平行、长度计算、图形性质证明等问题，提升几何转化与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形中位线的定义和定理内容，清晰区分中位线与中线的不同，形成准确的概念认知。 （2）熟练运用中位线定理进行几何计算与证明，针对线段平行、长度求解等问题，能规范书写推理步骤。 2.难点 （1）理解三角形中位线定理的推导逻辑，尤其是通过构造平行四边形，结合平行四边形判定与性质完成定理证明的思路。 （2）综合运用中位线定理解决复杂几何问题，比如结合平行四边形、中心对称等知识进行多步推理，突破辅助线构造的难点。 知识点01 三角形的中位线定理 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【即学即练1】1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 2．如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：6． 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，点D、E、F分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】由线段中点的定义和三角形中位线定理求出四边形的四条边的长即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线，且， ∴， ∴四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】A 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 【变式2】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据题意可知分别为的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，进而求解． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线． ． ， ． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________．    【答案】4 【分析】由平行四边形的性质得到，，证明，得到，由三角形中位线定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例2】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【答案】C 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 【变式1】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点．连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据三角形中位线定理，证明，即可证明结论． 【详解】证明：，且F是中点， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）证明是的中位线，即可求得； （2）利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 题型03 三角形中位线的实际应用 【典例3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 【答案】16 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，从而判断为的中位线，利用三角形中位线定理可得，代入数据计算即可求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【变式3】（2026·浙江嘉兴·一模）如图，小明为测量池塘的长度，在池塘外取一点，连接，，分别取，的中点，，连接，测得米，则的长为______米． 【答案】 【分析】利用三角形中位线定理得即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 题型04 中点四边形问题 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（   ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理解题即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 即只与、的长有关． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，分别是，，，边的中点，连接，，，得到四边形，若四边形的对角线，，则四边形的周长为__________． 【答案】40 【分析】由三角形中位线定理计算四边形各边长即可． 【详解】是的中点， 为的中位线， ， 同理可得分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 【变式2】（2026·山东枣庄·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 【变式3】（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为， 分别是边， 的中点，根据中位线的性质得出，得出， ，同理得出， ，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：， 分别是边， 的中点， ∴， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 题型05 与三角形中位线有关的多结论判定问题 【典例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，可得，可证明是等边三角形，从而得到，进而得到，可判断①正确，②正确；由，得，可判断③错误；由三角形中位线定理得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行四边形的面积公式、垂线段最短、三角形中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴；平分，故①正确，②正确； ∵， ， ∴，故③错误； ∴O是的中点，E是的中点， ∴，故④正确， 故选：C． 【变式1】（2026·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．，，M，N分别为，的中点，连接分别交，于G，H，延长至点E，使得，连接．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，与交于点，根据三角形的中位线定理，推出为等边三角形，得到，证明为等边三角形，得到，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形，推出为等边三角形，根据三角形的三边关系，以及大边对大角，判断C，D即可. 【详解】解：如图1，取的中点，连接，，与交于点，则，，，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴，∴A正确，B错误； 如图2，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ，即为等边三角形， 在中，， ，∴C正确； ， ， ，∴D正确． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，对角线，交于点，，平分交BC于点，交于点，连接．点在上，连接，．下列四个结论：；；；当时，的最小值为．其中一定正确的结论是______．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，，可得是中位线，根据中位线性质可判断；根据三角形的中线性质可判断；证明是等边三角形，然后得出，即，可判断；作点关于的对称轴，连接交于点，连接，连接交于点，当三点共线时最小，即的最小值为的长，然后通过勾股定理，两点之间线段最短可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是中位线， ∴，， ∴，故正确， ∵分别为中点， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 如图，作点关于的对称轴，连接交于点，连接，连接交于点， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时最小，即的最小值为的长， 如图，连接，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故错误， 故选：． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②；③，其中正确的序号为 _________ ． 【答案】①② 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，判定是等边三角形，得到，，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出，由平行线的性质得到，由三角形中位线定理推出，即可得到，由三角形面积公式得到． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的对角线互相平分， ∴， ∴， ∴， 故③不符合题意， ∴其中正确的序号为①②． 故答案为：①②． 题型06 构造三角形的中位线----连接两点 【典例6】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在四边形中，M是上一动点，N是上一定点，连接，，E，F分别是，的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵E，F分别是，的中点．， ∴， ∵点是上一定点，C是定点，的长度不变， ∴的长度不改变． 【变式1】（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，，，，点是边上一点．点为边上的动点（不与点重合），点分别为的中点，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可得，当时，最短，即最小，利用勾股定理和等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点分别为的中点， 是的中位线， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， 的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，，，分别是边，，的中点，连接，为上一点，且，连接．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】利用多个中点，找出中位线，利用中位线的性质与勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，分别是边，，的中点，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在四边形中，点E、F分别是边的中点，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 题型07 构造三角形的中位线----倍长法 【典例7】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 取的中点，连接，先整理得是的中位线，故，再结合勾股定理算出，根据求解，即可解决问题． 【详解】解：取的中点，连接， ∵点M是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵ ∴, 在中，， 当三点共线，则， 即的最小值为， 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，则；再由三角形中位线定理即可得到； （2）延长到N，使得，连接，由三角形中位线定理可得；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：如图所示，延长到N，使得，连接， ∵M为的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山西朔州·期中）数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． (3)【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)26 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【详解】（1）解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． （2）解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． （3）解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点分别为M，N，并测出的长约为40米，由此可知A，B间的距离约为（   ） A．80米 B．60米 C．40米 D．20米 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是的中位线， ∴米． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理可得，由及已知条件求出的值，进而求得周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ，是的中位线， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，是的中位线，根据中位线定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又点是的边的中点， 是的中位线， ． 5．（2026·河南·一模）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，点D，，分别为各边的中点，，则为______．    【答案】 【分析】根据三角形中位线的性质得到、，进而证明四边形是平行四边形，从而求出的度数． 【详解】解：点D，，分别为各边的中点， 、， 四边形是平行四边形， ． 7．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为______． 【答案】/1.5/ 【分析】延长、交于点，证明，得到，，证明是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点F， ∵平分， ， ， ， ∵， ∴， ，， 又， ， ∵点D是的中点， 是的中位线， ． 8．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，那么的度数为______． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理结合题意得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵P是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则_______． 【答案】2 【分析】由得到，，因此，再由得到，从而根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 12．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，的对角线与相交于点O，点E为线段的中点，，，．求和的长度． 【答案】， 【分析】利用平行四边形证明，，结合中位线的性质可得，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ∵点E为线段的中点， ∴， ， ， ∴． 13．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）证明是的中位线，即可求得； （2）利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 14．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解即可； （2）连接，利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形中位线定理，得； （2）解：连接， 因为点E，F分别是边，的中点， 故， ， ，， ， ，，且 ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $