专题 6.1 平行四边形的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学平行四边形的性质这一核心知识点，系统梳理平行四边形的概念、对边相等与对角相等的性质、对角线互相平分及中心对称特征，衔接梯形与等腰梯形的定义及性质，构建从基础概念到性质应用再到综合题型的学习支架。 该资料采用基础篇与培优篇分层设计，题型精析含例题及变式题，同步检测覆盖选择、填空、解答题。通过平行四边形个数探究、性质证明及动点问题等实例，培养学生几何直观与推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 6.1 平行四边形的性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】平行四边形的概念 1 【题型 1】平行四边形的个数 2 【知识点二】平行四边形的性质 4 【题型 2】利用平行四边形性质求解 4 【题型 3】利用平行四边形性质证明 7 【题型 4】平行四边形性质的应用 11 【知识点三】梯形 13 【题型 5】（等腰）梯形的定义 13 【题型 6】等腰梯形的性质 16 【培优篇】 19 【题型 7】平行四边形性质与动点问题 19 【题型 8】平行四边形性质与图形变换 26 二.同步检测 31 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 31 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 37 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】平行四边形的概念 1、平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1.平行四边形用符号“”， 2.平行四边形记作， 3.读作平行四边形。 1. 表示平行四边形时一定用顺时针（或逆时针）依次书写各个顶点字母； 2. “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 对边 和，和. 邻边 和，和，和，和. 角 对角 和，和. 邻角 和，和.和，和. 对角线 线段和 【题型 1】平行四边形的个数 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． （1）作出经平移后所得的图形． （2）写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】（1）图见分析；（2），，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 解：（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点拨】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 【知识点二】平行四边形的性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【题型 2】利用平行四边形性质求解 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，，． （1）求、的长度； （2）若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据平行四边形对边相等求解； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据两直线平行，同旁内角互补得，即可求解． 解：（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，结合作图得到是的角平分线，则，由此即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 根据题意，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式2】（山东聊城市聊城文轩初级中学等校2025-2026学年2024级初二下学期期中考试数学试题）如图，在中，的平分线交边于点．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推出，进而求得，从而根据平行四边形的对角相等即可解答． 解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，然后根据等边对等角和三角形内角和可求得，即可解答； （2）根据平行四边形的对角线相互平分可求得，由（1）可知，即可根据面积公式求解； 解：（1）解：∵四边形是平行四边形 ， ， ，， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 由（1）知， ． 【题型 3】利用平行四边形性质证明 【例题3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，连接． （1）求证：． （2）连接与相交于点O，求证：与互相平分． （3）若，，且，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明全等三角形，得出结论； （2）利用（1）的结论进行证明； （3）利用平行四边形的性质以及勾股定理求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与互相平分； （3）解：∵， ∴和为直角三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 解：∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，在中，对角线相交于点O，过O点作直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）如图2，若过O点的直线与的延长线分别交于点E，F，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？ 【答案】（1）见分析；（2）能，经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分 【分析】（1）通过平行四边形对边平行，得到，再利用对顶角相等和平行四边形对角线平分的性质，通过证明，即可得到结论； （2）通过平行四边形对边平行，得到，再利用对顶角相等和平行四边形对角线平分的性质，通过证明，即可得到结论． 解：（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：能，经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分. 理由：同（1），得，， ∴， 又， ∴， ∴． 【题型 4】平行四边形性质的应用 【例题4】（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见分析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 【变式1】（24-25八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）有以下四个命题： （1）平行四边形是中心对称图形 （2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形 （3）平行四边形不是轴对称图形 （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有______． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据平行四边形的对称性，逐一进行判断即可． 解：（1）平行四边形是中心对称图形，说法正确，符合题意； （2）四边形中不仅仅平行四边形是中心对称图形，菱形，矩形，正方形也是中心对称图形，原说法错误，不符合题意； （3）平行四边形不是轴对称图形，说法正确，符合题意； （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心说法正确，符合题意； 综上，正确的命题有（1）（3）（4）； 故答案为：（1）（3）（4）． 【点拨】本题考查判断命题的真假．熟练掌握平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·全国·寒假作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； （2）在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可； （2）先确定对角线的交点O，然后再作过O、E的直线即可． 解：（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示． （2）解：如图所示，直线OE即为所示． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 【知识点三】梯形 1、 梯形定义及相关概念 定义 图示 图示 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。 平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 【题型 5】（等腰）梯形的定义 【例题5】（2026·湖南永州·二模）唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，再利用勾股定理计算斜边即可． 解：如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，直线为梯形的对称轴，为上一点，为上一点，那么的最小值为_____．    【答案】3 【分析】此题考查了轴对称的性质和最短路径问题，等腰梯形的定义等知识．根据已知得到四边形为等腰梯形，得到，则当点P在和的交点，在C上时，最小，求出答案即可． 解：∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形， ∵直线为梯形的对称轴， ∴， 当点P在和的交点，在C上时，最小，最小值为， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 2、等腰梯形的性质 （1） 等腰梯形的两腰相等；（2）等腰梯形的两底角相等； （3）等腰梯形的对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形。 【题型 6】等腰梯形的性质 【例题6】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，点E是延长线上一点，．判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰梯形的性质，等腰三角形的定义，可证明四边形是平行四边形，得到，再由等腰梯形的对角线相等得到，则，据此可得结论． 解：是等腰三角形．理由如下： ∵，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 【变式3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 【答案】见分析 【分析】延长，，利用等腰梯形的性质，得到两个底角相等，从而得到一个等腰三角形，利用三角形的面积关系推导即可． 解：证明：如图，延长，，交于点M，连接， ∵， ∴梯形是等腰梯形， ∴， （因教材版本，无等腰梯形的性质，此处补充证明： 如图，作，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，） ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， 又， ∴． 【培优篇】 【题型 7】平行四边形性质与动点问题 【例题7】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形．    【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：∵，， ∴， 设运动时，有两种情况： 如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得；   如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得；    综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图1，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿的方向平移得到线段，点是线段上一个动点（不与两点重合），连接． （1）试说明； （2）如图2，连接，过点作直线． ①当时，在直线上取点，使得，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②如图3，直线上有一点，满足，则在点运动的过程中，请直接写出面积的最大值以及此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）见分析；（2）①或；②面积的最大值为6；的度数为 【分析】（1）过点P作，根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）①分两种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点P到直线l的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 解：（1）解：过点P作， 将线段沿的方向平移得到线段， ， ， ， ， ； （2）①当在外部时，如图所示， ， ， 由平移的性质得，， ， ， ， ， ； 当在内部时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上，与之间的数量关系为或； ②过点D作，如图所示， ， 点P到直线l的距离就是线段的长， ， 点P到直线l的最大距离就是线段的长，此时，作于点G，如图所示， 由平移的性质得：，， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键 【题型 8】平行四边形性质与图形变换 【例题8】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知在第一象限，点在的正半轴，轴直线从原点出发沿轴正方向向右平移，在平移过程中直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示． （1）直接写出点，的坐标： ______， ______； （2）求点的坐标； （3）当直线平分的面积时， ______． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）结合两个图象可知当时，直线经过点，当时，直线经过点，当时，直线经过点，由此可求，，即可求、点坐标； （2）过点作交于，设直线与的交点为，确定是等腰直角三角形，求出，，即可求点坐标； （2）由题可知平移后的直线解析式为，当直线经过点的中点时，直线平分的面积，代入求出的值即可． 解：（1）解：∵四边形为平形四边形，且轴， ∴轴， 由图可得， 当时，直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，直线经过点， ，， ，； （2）解：过点作交于，设直线与的交点为， ∵直线在平移的过程中，与两个坐标轴构成的三角形为等腰直角三角形，且轴， ∴直线与的夹角为， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∵当时，直线经过点，当时，直线经过点， ， ， ； （3）解：∵平移后的直线解析式为， ，， 的中点为， 当直线经过点时，， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，由折叠得，证明，推出，进而得出，求得的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为__________． 【答案】或 【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案． 解：∵平行四边形， ∴，，， 如图，当落在上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【点拨】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 【变式3】（24-25八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形的面积． （1）证明，即得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）先证明，得到，再根据，即可证明结论； （3）由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 解：（1）在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， 即； （3）设计图形如图： 理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）在中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 解：∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，，， 但无法证明． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 5．（湖南常德市2026年上学期八年级数学试卷）如图，在中，是的平分线，交于点，且的周长是，则等于（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边平行及角平分线定义，证得，从而得出，利用周长公式求出的长，进而求出． 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 平行四边形的周长是， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（    ） A． B．10 C．8 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， 即． 在中，由勾股定理得： ． ． 7．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点为对角线上一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可知，设，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据三角形内角和定理可知，从而可得，解方程求出，再根据求出结果． 解：四边形是平行四边形， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，点、、分别在、、上，平分．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，可得，再由平分，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点拨】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 10．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 解：如图，由题意易得，，    ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 12．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的性质和平行线、角平分线的性质推出等腰三角形，进而求出的长度，最后结合点的坐标求出点的坐标． 解：点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 点的坐标为，且轴， 点的纵坐标为，横坐标为． 故D点的坐标是． 13．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，的两内角，的平分线，分别交边于点，．若，，则的长为________． 【答案】8 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质可知，，根据等角对等边可知,，根据线段的和差关系即可求解． 解：在平行四边形中，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一块平行四边形草坪，边BC的长为，高AE的长为，则其面积为_______． 【答案】 【分析】本题要求平行四边形的面积，根据平行四边形面积公式：面积=底×高，这里底为，高为，所以需要计算与的乘积． 解：根据平行四边形面积公式，已知，则面积 根据二次根式乘法法则，可得： 【点拨】本题考查了平行四边形的面积计算以及二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则是解题的关键． 15．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和的周长是平行四边形周长的一半，可证明是线段的垂直平分线，根据勾股定理即可求出的长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 解：延长到Q，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25六年级下·山东滨州·期末）如图，齐鲁同学把一张长为10厘米的长方形纸片按图中提示进行翻折，折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，折出的平行四边形面积比原来的长方形面积少了15平方厘米，那么折出的平行四边形面积为__________平方厘米． 【答案】35 【分析】此题主要考查长方形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．重点是求出原来长方形的宽． 通过观察图形可知，折成的平行四边形比原来长方形的面积减少了平方厘米，面积减少的部分是两个完全一样三角形的面积，已知折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，直角三角形的另一条直角边等于原来长方形的宽，这两个完全一样的三角形可以拼一个长方形，根据长方形的面积长宽，那么宽面积长，把数据代入公式求出长方形原来的宽，用原来长方形的面积减去平方厘米就是折成的平行四边形的面积． 解：（厘米），（平方厘米）， 所以，这张长方形纸的宽是厘米，折成的平行四边形的面积是平方厘米． 故答案为：35 18．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么______． 【答案】9 【分析】设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时，，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解． 解：设的上的高为， ∵的面积是，， ∴， 解得， ∴点在平行于，且到边的距离等于的直线上， 延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∵当的最小值是， ∴点、关于直线对称时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】此题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平行四边形中，平分，已知． （1）求的长； （2）若，求． 【答案】（1）10；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，即可； （2）勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 解：（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东肇庆·月考）如图，在中，E，F是对角线上的两点，．求证： （1）； （2） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质和证明，可得； （2）由（1）知，，可得，所以． 解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ． （2）由（1）知， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，所以．再由平分，可得，所以，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）先判定为直角三角形，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 解：（1）证明：∵ 四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，∠F=60°， ∴△ABF为等边三角形， ∵，， ∴，， 在中，设，则， ∴． ∴． ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C的坐标为． （1）______；______；点B的坐标为______； （2）在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D的坐标； （3）如图2，动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒），解答下列问题： ①当垂直平分线段时，求出t的值； ②当t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出t的值． 【答案】（1）12，8，；（2）或；（3）①；②或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，二次根式有意义的条件，得出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）①若垂直平分线段，可得，；根据即可求解；②分类讨论当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，两种情况即可求解； 解：（1）解：， ． ， ． （2）解：∵在x轴上存在点D，使得的面积是12， ∴设点D的坐标为，以为底，高为点B到x轴的距离8． 根据三角形面积公式： 代入，得： 化简得， 或， 解得或 ∴点D的坐标为或． （3）解：①∵点A的坐标为， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 此时， ∴时，垂直平分线段； ②当点P在线段上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当点P在线段的延长线上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期中）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是梯形，理由见分析；（2） 【分析】（1）证明，且与不平行，即可判断四边形是梯形； （2）作于点E，作于点F．在求出，，得出．在求出，，得出，然后根据梯形面积公式求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴． 同理可求：， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行， ∴四边形是梯形； （2）解：如图，作于点E，作于点F． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理等： （1）根据平行四边形对角线互相平分可知，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得； （2）利用勾股定理分别求得，的长度即可． 解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴． 又， ∴． ∴． （2）在中， ． 在中， ． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 平行四边形的性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】平行四边形的概念 1 【题型 1】平行四边形的个数 2 【知识点二】平行四边形的性质 3 【题型 2】利用平行四边形性质求解 3 【题型 3】利用平行四边形性质证明 4 【题型 4】平行四边形性质的应用 5 【知识点三】梯形 6 【题型 5】（等腰）梯形的定义 7 【题型 6】等腰梯形的性质 8 【培优篇】 8 【题型 7】平行四边形性质与动点问题 8 【题型 8】平行四边形性质与图形变换 10 二.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】平行四边形的概念 1、平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1.平行四边形用符号“”， 2.平行四边形记作， 3.读作平行四边形。 1. 表示平行四边形时一定用顺时针（或逆时针）依次书写各个顶点字母； 2. “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 对边 和，和. 邻边 和，和，和，和. 角 对角 和，和. 邻角 和，和.和，和. 对角线 线段和 【题型 1】平行四边形的个数 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． （1）作出经平移后所得的图形． （2）写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【知识点二】平行四边形的性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【题型 2】利用平行四边形性质求解 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，，． （1）求、的长度； （2）若，求的度数． 【变式1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（山东聊城市聊城文轩初级中学等校2025-2026学年2024级初二下学期期中考试数学试题）如图，在中，的平分线交边于点．已知，则的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 【题型 3】利用平行四边形性质证明 【例题3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，连接． （1）求证：． （2）连接与相交于点O，求证：与互相平分． （3）若，，且，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，在中，对角线相交于点O，过O点作直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）如图2，若过O点的直线与的延长线分别交于点E，F，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？ 【题型 4】平行四边形性质的应用 【例题4】（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【变式1】（24-25八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）有以下四个命题： （1）平行四边形是中心对称图形 （2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形 （3）平行四边形不是轴对称图形 （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有______． 【变式3】（24-25八年级下·全国·寒假作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； （2）在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【知识点三】梯形 1、 梯形定义及相关概念 定义 图示 图示 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。 平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 【题型 5】（等腰）梯形的定义 【例题5】（2026·湖南永州·二模）唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，直线为梯形的对称轴，为上一点，为上一点，那么的最小值为_____．   【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2、等腰梯形的性质 （1） 等腰梯形的两腰相等；（2）等腰梯形的两底角相等； （3）等腰梯形的对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形。 【题型 6】等腰梯形的性质 【例题6】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，点E是延长线上一点，．判断的形状，并说明理由． 【变式1】（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【变式3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 【培优篇】 【题型 7】平行四边形性质与动点问题 【例题7】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形．    【变式3】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图1，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿的方向平移得到线段，点是线段上一个动点（不与两点重合），连接． （1）试说明； （2）如图2，连接，过点作直线． ①当时，在直线上取点，使得，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②如图3，直线上有一点，满足，则在点运动的过程中，请直接写出面积的最大值以及此时的度数（用含的式子表示）． 【题型 8】平行四边形性质与图形变换 【例题8】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知在第一象限，点在的正半轴，轴直线从原点出发沿轴正方向向右平移，在平移过程中直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示． （1）直接写出点，的坐标： ______， ______； （2）求点的坐标； （3）当直线平分的面积时， ______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为__________． 【变式3】（24-25八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）在中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 4．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 5．（湖南常德市2026年上学期八年级数学试卷）如图，在中，是的平分线，交于点，且的周长是，则等于（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（    ） A． B．10 C．8 D．14 7．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点为对角线上一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，点、、分别在、、上，平分．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 10．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 12．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 13．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，的两内角，的平分线，分别交边于点，．若，，则的长为________． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一块平行四边形草坪，边BC的长为，高AE的长为，则其面积为_______． 15．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 17．（24-25六年级下·山东滨州·期末）如图，齐鲁同学把一张长为10厘米的长方形纸片按图中提示进行翻折，折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，折出的平行四边形面积比原来的长方形面积少了15平方厘米，那么折出的平行四边形面积为__________平方厘米． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平行四边形中，平分，已知． （1）求的长； （2）若，求． 20． （本小题满分8分）（24-25八年级下·广东肇庆·月考）如图，在中，E，F是对角线上的两点，． 求证：（1）；（2） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C的坐标为． （1）______；______；点B的坐标为______； （2）在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D的坐标； （3）如图2，动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒），解答下列问题： ①当垂直平分线段时，求出t的值； ②当t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出t的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期中）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． （1）求证：； （2）求的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $