专题6.1 平行四边形的性质（4大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.1 平行四边形的性质（4大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两 角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【知识点3】平行四边形面积 1.基本面积公式：平行四边形的面积等于底乘以高， 2.等底等高的平行四边形面积相等：如果两个平行四边形的底相等，并且对应的高也相等，那么它们的面积相等。 3.对角线分割的三角形面积关系：平行四边形的对角线将其分成四个三角形，相对的两个三角形面积相等。 【知识点4】平行四边形四个顶点坐标关系 在平面直角坐标系中，在中，设，,,，由中点坐标公式可以得出；. 知识点与题型目录 【考点一】利用平行四边形的性质求解 【题型1】利用平行四边形的性质求角度.................................................2 【题型2】利用平行四边形的性质求线段长...............................................3 【题型3】利用平行四边形的性质求面积.................................................4 【考点二】利用平行四边形的性质证明 【题型4】利用平行四边形的性质进行证明...............................................4 【考点三】平行四边形性质与几何变换 【题型5】平行四边形性质与平移.......................................................5 【题型6】平行四边形性质与折叠问题...................................................6 【题型7】平行四边形性质与旋转问题...................................................7 【考点四】平行四边形性质与链接中考 【题型8】链接中考...................................................................8 【考点五】平行四边形性质与拓展延伸 【题型9】平行四边形性质与最值.......................................................9 【题型10】坐标系中平行四边形性质——求第四个点坐标..................................9 【题型11】平行四边形性质与动点问题.................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】利用平行四边形的性质求解 【题型1】利用平行四边形的性质求角度 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，垂足为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1】（2025·山东枣庄·二模）将两个大小不同的含角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠）摆放在中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，于点，若，则 ． 【题型2】利用平行四边形的性质求线段长 【例2】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【变式1】（2019·浙江宁波·一模）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 【题型3】利用平行四边形的性质求面积 【例3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 【考点二】利用平行四边形的性质证明 【题型4】利用平行四边形的性质进行证明 【例4】（24-25八年级下·江西赣州·期中）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上） 【考点三】平行四边形性质与几何变换 【题型5】平行四边形性质与平移 【例5】（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知：如图①，在中，，，．如图②，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点移动到点时，停止平移，点也停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）求的长； （2）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ． 【题型6】平行四边形性质与折叠问题 【例6】（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【题型7】平行四边形性质与旋转问题 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 【考点四】平行四边形性质与链接中考 【题型8】链接中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 【考点五】平行四边形性质与拓展延伸 【题型9】平行四边形性质与最值 【例9】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【题型10】坐标系中平行四边形性质——求第四个点坐标 【例10】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，可通过构造直角三角形得到结论：．他还证明了线段的中点的坐标公式：，． （1）已知点，，，判断的形状并说明理由； （2）请直接写出以点，，，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标（平行四边形对角线互相平分）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为 ． 【题型11】平行四边形性质与动点问题 【例11】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． （1）填空：________； （2）连接，若四边形是平行四边形，求的面积； （3）将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，则t的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 平行四边形的性质（4大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两 角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【知识点3】平行四边形面积 1.基本面积公式：平行四边形的面积等于底乘以高， 2.等底等高的平行四边形面积相等：如果两个平行四边形的底相等，并且对应的高也相等，那么它们的面积相等。 3.对角线分割的三角形面积关系：平行四边形的对角线将其分成四个三角形，相对的两个三角形面积相等。 【知识点4】平行四边形四个顶点坐标关系 在平面直角坐标系中，在中，设，,,，由中点坐标公式可以得出；. 知识点与题型目录 【考点一】利用平行四边形的性质求解 【题型1】利用平行四边形的性质求角度.................................................2 【题型2】利用平行四边形的性质求线段长...............................................4 【题型3】利用平行四边形的性质求面积.................................................8 【考点二】利用平行四边形的性质证明 【题型4】利用平行四边形的性质进行证明..............................................11 【考点三】平行四边形性质与几何变换 【题型5】平行四边形性质与平移......................................................15 【题型6】平行四边形性质与折叠问题..................................................18 【题型7】平行四边形性质与旋转问题..................................................22 【考点四】平行四边形性质与链接中考 【题型8】链接中考..................................................................25 【考点五】平行四边形性质与拓展延伸 【题型9】平行四边形性质与最值......................................................28 【题型10】坐标系中平行四边形性质——求第四个点坐标.................................32 【题型11】平行四边形性质与动点问题.................................................35 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】利用平行四边形的性质求解 【题型1】利用平行四边形的性质求角度 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，垂足为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，求出，，计算即可得解． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·山东枣庄·二模）将两个大小不同的含角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠）摆放在中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质．延长交于点，利用对顶角相等求得，利用三角形内角和定理求得，最后利用平行线的性质求解即可． 解：延长交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，根据平行四边形的性质得出，进而根据等边对等角可得，根据直角三角形两个锐角互余，得出，进而根据，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2】利用平行四边形的性质求线段长 【例2】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△，即可求解． 解：（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2019·浙江宁波·一模）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：延长到使，则四边形是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到，根据跟勾股定理得到，于是得到结论； 解法二：延长交于，证明得，，最后根据勾股定理得到，于是得到结论． 解：解法一：延长到使，则四边形是平行四边形， ，， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ； 解法二：延长交于， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的运用，属于基础题． 根据平行四边形的性质得：，再由，得出，结合勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 【题型3】利用平行四边形的性质求面积 【例3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 作于G，于H，根据的面积为6，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据三角形的面积公式得到答案． 解：解∶ 如图，作于G，于H，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线平分面积的性质， 根据平行四边形的性质，可得，设，则，设点到的高为，根据三角形的面积为可得，由此可得，再根据三角形中线平分面积即可求解． 解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，设点到的高为， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：C ． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积，三角形的面积，过点作于点，由面积是8，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：过点作于点，如图： ∵面积是8， ∴， ∴， ∴平行四边形面积是， 故答案为：． 【考点二】利用平行四边形的性质证明 【题型4】利用平行四边形的性质进行证明 【例4】（24-25八年级下·江西赣州·期中）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 解：（1）证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ； （2）解：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ． 【点拨】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断． 解：在和中， ， ， ， ， ，故①错误； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ，故②正确； ，， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据平行线及等腰三角形的性质即得答案； 对于②，根据垂直的性质、三角形内角和等于及平行线的性质，即可得到答案； 对于③，通过举反例，即可判断结论错误； 对于④，根据等腰三角形三线合一性质及线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即平分， 所以①正确； 设与相交于点G，如图， ， ， ， ， ， ， 即平分， 所以②正确； 取，则， ， ， ， ， ， 所以③错误； ，， ， ， 所以④正确； 所以正确结论为①②④． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，举反例等知识及方法，熟练掌握相关性质及方法是解答本题的关键． 【考点三】平行四边形性质与几何变换 【题型5】平行四边形性质与平移 【例5】（23-24八年级下·山东枣庄·期末）已知：如图①，在中，，，．如图②，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点移动到点时，停止平移，点也停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）求的长； （2）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）2；（3）存在； 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，再根据直角三角形性质及勾股定理即可解答； （2）当点在的垂直平分线上时，，则，，，在中，勾股定理即可求解． （3）连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平移的性质及平行四边形的性质可知，再根据路程速度的关系及面积关系列方程解方程即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 在中，． （2）当点在的垂直平分线上时，， 由题意得：，，， 在中， 解得． （3）解：连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵根据平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，平移的性质，垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与轴所夹锐角为． 通过图象中可得直线运动到三点时所移动距离，从而求出长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解． 解：由图象可知，直线经过时移动距离为3，经过时移动距离为7，经过时移动距离为8， ， 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点， 由图2可知， ∵轴，直线 ∴直线与夹角为，， ， ∴面积为． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解． 解：∵平行四边形的边在x轴上，， ∴， ∴， ∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上， ∴当时，， ∴， 故答案为：5． 【题型6】平行四边形性质与折叠问题 【例6】（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积，由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 【题型7】平行四边形性质与旋转问题 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 解：（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知，从而得到，再由旋转角，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 解：∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为， 故答案为：52． 【考点四】平行四边形性质与链接中考 【题型8】链接中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 【考点五】平行四边形性质与拓展延伸 【题型9】平行四边形性质与最值 【例9】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【答案】 【分析】将顺时针旋转，作等边，根据手拉手模型可知，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点T使得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形时平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中， ∴， 解得， ∴ 即的最小值为 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论找到的最小值与最大值是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键． 在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当时，有最小值， 此时：， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 解：如图，过点作交延长线于点，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时， 在中，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【题型10】坐标系中平行四边形性质——求第四个点坐标 【例10】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，可通过构造直角三角形得到结论：．他还证明了线段的中点的坐标公式：，． （1）已知点，，，判断的形状并说明理由； （2）请直接写出以点，，，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标（平行四边形对角线互相平分）． 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见分析；（2）点坐标为或或 【分析】（1）根据三个点的坐标得出，，，求出，说明为直角三角形，根据，即可判断三角形的形状； （2）分为对角线，可求得其中点的坐标，再利用中点坐标公式可求得点坐标． 解：（1）解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）解：设， ∵，，， ∴当为平行四边形的对角线时，其对称中点坐标为， 则，， 解得，， ∴此时点坐标为； 当为对角线时，其对称中点坐标为， 则，， 解得：，， ∴此时点坐标为； 当为对角线时，其对称中点坐标为， 则，， 解得：，， ∴此时点坐标为， 综上可知：点坐标为或或． 【点拨】本题主要考查坐标与图形及两点间的距离公式，中点坐标公式，平行四边形和轴对称图形的性质，勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中点坐标公式，进行求解即可． 解：∵平行四边形， ∴为其对角线， ∴线段的中点为同一个点， ∵的中点为， ∴的中点也是， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，由于点Q的位置不确定（即对角线或边不确定），所以要分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，然后根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 解：设， ①当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ②当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ③当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； 综上，Q的坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型11】平行四边形性质与动点问题 【例11】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． （1）填空：________； （2）连接，若四边形是平行四边形，求的面积； （3）将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【答案】（1）5；（2）；（3）或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，求出，根据四边形是平行四边形，可得出，求出x的值即可求解； （3）分类讨论，当D在y轴的左侧和右侧，根据折叠的性质、等角对等边等可得出，构建方程求解即可． 解：（1）解∶对于， 当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， 设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的面积为； （3）解：当D在轴左侧时，如图， ， ∵翻折， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴D的坐标为或； 当D在y轴的右侧，如图， 同理， 设，则， ∴， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上，D的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．由图2知，，，，可知，由图可知，当点在上时，，即可求解． 解：由图2知，，，， 则， ∴， 由图可知，当点在上时，， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，则t的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解此方程即可求得答案． 解：依题意得：， ， ， ， 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时， 即， ， 解得：， 综上：当或时，． 故答案为3或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$