上海市向明中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025学年第二学期向明中学期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1．抛物线的准线方程为__________． 2．曲线的渐近线方程为__________． 3．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 4．已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 5．物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒。 6．已知随机变量的分布是，则其方差__________． 7．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为__________． 8．市场上的某种商品由三个厂家共同供应，厂家甲的供应量是厂家乙的2倍，厂家甲与厂家丙的供应量相等。已知甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2%、4%、3%，则市场上该产品的次品率为__________． 9．设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆 、两点，若的内切圆的面积为，则__________． 10．一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 11．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为__________． 12．已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为__________ 二、选择题（共4题，13，14题每题3分，15，16题每题4分，满分14分） 13．下列求导运算中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 14．圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 15．设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 16．设，有如下两个命题： ①函数的图像与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上则下列说法正确的是（ ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 三、解答题（本大题共5题，满分44分） 17．（本题共两小题，第一小题3分，第二小题4分，满分7分）已知函数． （1）求函数在处的切线方程： （2）若函数在上严格减，求实数的取值范围． 18．（本题共两小题，第一小题4分，第二小题4分，满分8分）已知直线，与圆． （1）证明：圆与直线一定会相交； （2）求直线被圆截得的线段长度的最小值． 19．（本题共两小题，第一小题3分，第二小题5分，满分8分）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育运动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） （1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率： （2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 20．（本题共两小题，第一小题4分，第二小题6分，满分10分）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． （1）当直线的斜率时，求直线的斜率； （2）求四边形面积的最大值． 21．（本题共三小题，第一小题3分，第二小题4分，第三小题4分，满分11分）已知函数，，其中． （1）若是函数的驻点，求实数的值： （2）当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； （3）若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $