2026年中考数学二轮复习 线段周长问题（二次函数综合）

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以将军饮马、平移转化等模型为核心，系统整合解析式求解、动态最值等方法，构建“概念-模型-应用”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式与性质|3题|待定系数法、对称性质|二次函数表达式与图像性质的推导应用| |周长与路径最值|4题|将军饮马模型、对称转化|利用抛物线对称性化折为直，构建最短路径| |面积与动态几何|5题|平行线距离、二次函数最值|通过坐标表示线段长度，转化为函数求最值| |实际应用与模型|3题|建模思想、分类讨论|从实际场景抽象抛物线模型，解决长度面积问题|

2026中考数学复习专项线段周长问题（二次函数综合） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． (3)点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 2．若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 3．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，若且，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的中点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，试探究的取值范围． 4．已知：抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点B关于上述抛物线对称轴对称的点为E，且抛物线与线段只有一个公共点．结合自己所画的函数图象，求出a的取值范围． 5．综合实践： 【问题情境】 如图1，窑洞作为黄土高原文化地标，乘乡村旅游东风，正被活化开发为特色民宿集群与文旅综合体，催生非遗工坊、生态农产等衍生业态，成为乡村振兴的“金名片”． 村民小明拟对窑洞门头进行现代化改造：以智能采光模块与立体通风系统提升空间舒适度、同时将镂雕、剪纸等地域符号嵌入其中，打造兼具功能性与视觉张力的“文化入口”，为传统民居升级注入文旅基因． 【方案设计】 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点，在上，点，在抛物线上． 【方案实施】 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决下面问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线对应的函数解析式． (2)矩形为门框上的主窗，当时，求和的长． (3)如图3，矩形两侧正方形和正方形为装饰窗，其中，点，在抛物线上，点，在上，点，分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，此时的门头最美观，请直接写出此时其中一个装饰窗的面积． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 7．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 8．如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为6米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分的所有花墙． 9．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    10．已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 11．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，已知点A的坐标为．    (1)求点B的坐标和抛物线的表达式． (2)将抛物线顶点向上平移m个单位得点P，过点P作的平行线交抛物线于点C，D．若，求m的值． 14．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴，交于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 15．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． (2)如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作轴于点E，与直线交于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②）如图3，隐去线段与点F，连接，交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026中考数学复习专项线段周长问题（二次函数综合）》参考答案 1．(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点使与的面积相等 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的周长等于，其中为定值，当值最小时，的周长最小，根据对称性得到，得到三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的两个三角形的面积相等，将直线平移至过点，求出平移后的直线与抛物线的交点，即为点的坐标． 【详解】（1）抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵的周长等于，为定值， ∴当值最小时，的周长最小， 由于、关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴三点共线时，的周长最小， 即：点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为，令，则， ， 设直线解析式为，把代入，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ； （3）设过点平行于的直线为，将点代入，得：， 直线解析式为， ∵与的面积相等 ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得：（B点，舍去）或； 点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，将军饮马模型解决周长最小问题．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 2．(1)是 (2)、或 (3)①；②的长度最大值为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数表达式的转换和图像与性质的掌握是解题的关键． （1）根据函数表达式，进行运算，看两抛物线是否满足“孪生抛物线”即可： （2）根据“孪生抛物线”的性质，对顶点位置在轴上或轴上进行分类讨论，计算得出满足条件的抛物线即可； （3）① 根据“孪生抛物线”的性质，即表达式中的值互为相反数，得出的取值；②用未知数表示两点的坐标，判断出纵坐标的大小，计算长度，得出长度表达式后进行求值． 【详解】（1）解：抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 故抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线与互为“孪生抛物线”． （2）解：抛物线，即顶点坐标为， 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得，或， 故函数表达式为或； 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得， 故函数表达式为； 综上，函数抛物线的“孪生抛物线”为、或． （3）解：①由于“孪生抛物线”的表达式中的值互为相反数， 故，解得． ②由于，代入抛物线表达式得，， 由于平行于轴，故点、的横坐标相同， 假设其横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 点、位于两顶点之间，易判断点在高处， 故线段的长度为， 抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点横坐标为， 故的取值范围为， 而在取值范围内， 故． 3．(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）由得，得，得，根据，得，即得； （2）由得，得，设，根据，，得，得,解得，即得； （3）①∵，为的中点，得；②根据，得，解得或． 【详解】（1）解：∵中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵时，或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：①∵，为的中点， ∴， ∵轴，交抛物线于点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握庭系数法求函数解析式，平移性质，中点坐标性质，二次函数的图象和性质，函数与不等式，是解题的关键． 4．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的对称轴为，则点E的坐标为，求出当抛物线经过点和点时的值，画图即可解答． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得：， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴点E的坐标为． 如图，当抛物线经过点， 则，解得：． 当抛物线经过点， 则，解得． 根据图象可得，当抛物线与线段只有一个公共点时，a的取值范围为． 5．(1)图见解析； (2)米，米 (3)平方米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由已知画出坐标系即可，由已知可知：、、， 设抛物线的函数表达式为，把代入求出，即可得出结论； （2）由已知设米， 则米、，把代入抛物线 求出，即可得出结论； （3）设米，米，由已知可得：米、米，从而可以得到：矩形所需的木质框架总长度，根据二次函数的性质可得：当 时，矩形所需的木质框架总长度最长为米，再把此时代入求出，即可解题． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系如下： 米， 米， 窑洞口的最高点到地面的距离为米， ∴， ，， 设抛物线的函数表达式为把代入， 得 ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式； （2）解：当时，设米，则米，， 把代入抛物线得 ， 解得：， ， ， 米，米； （3）解：设米，米， 则， ∴米，米， ∴矩形所需的木质框架总长度， ， ∴当时，矩形所需的木质框架总长度最长为米， 此时，把代入得 解得：， ， ， ∴当矩形所需的木质框架总长度最长时，装饰窗的面积为平方米． 6．(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 7．(1) (2)的最大值为31.6米 【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式，再把代入，进行计算得，即可作答． （2）设点，，则，将转化为，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是． ∴，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式， ∵高度， ∴把代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式， （2）解：由（1）得，对称轴为直线， ∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上， 设点， ∵点，关于对称轴对称， 则， ∴， ∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为31.6米． 8．(1) (2)工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点的坐标为，则可设抛物线的函数表达式为，再代入点，即可求解； （2）设点的坐标为，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 则可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； （2）解：如答图， 设是抛物线上一动点，过点作轴，交于点， 由题可知， 设直线的表达式为， 把代入， 则， 得， 直线的表达式为， ， 设点的坐标为，其中，则， 则， ， 梯子距离抛物线的最大竖直距离为米， ， 工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙． 9．(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为 (2) (3)米 【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键． 10．(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； （3）证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 11．(1)，； (2)证明见解析，该定值为2 (3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或 【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式； （2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论； （3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时， 解得，， ∴，； 将点，代入抛物线， 得，解得 ∴抛物线的解析式为；    3分 （2）证明：设，则， ∴， ， ∴， ∴的值为定值，该定值为2； （3）存在． 由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线， ∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，， ∴， 如解图，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设存在，设点，分两种情况讨论： ①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，， 则，，由勾股定理可知， ∴，解得：，， ∴，；      ②当时，，如解图②，由勾股定理可得， ∴，此方程无解 ，∴此种情况不存在． 综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为 或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 12．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将，代入即可求解； （2）先求出直线解析式，得到点C的坐标，设，则，由，建立关于m的方程求解即可； （3）设，求出直线的解析式，利用，得到，进而得到，代入直线即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：或， ， 设，则， ， ， 整理得：， 即或 解得：或或， 是线段上一点，，， ， ； （3）解：设， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 当时，， 直线经过一个定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求抛物线与一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等等，难度比较大，采用数形结合的方法是解决本题的关键． 13．(1)点坐标为；抛物线解析式为 (2) 【分析】（1）把点坐标代入中求出得到抛物线解析式；解方程得点坐标； （2）利用配方法得到，则抛物线的顶点坐标为，则，利用和抛物线的对称性得到点坐标为，然后把代入得，最后解关于的方程即可． 【详解】（1）把代入得，解得， 抛物线解析式为， 当时，，解得，， 点坐标为； （2）， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点向上平移个单位得点， ， ， 而点与点关于直线对称， 点坐标为，，即， 把代入得， 解得． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 14．(1) (2)的周长的最大值为，此时点； (3)点的坐标为：或或，过程见解析 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及相关性质定理． （1）把，代入，求出b和c的值即可； （2）在中，易得，则，，进而得出的周长，求出直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点，则，即可解答； （3）先得出平移后的抛物线表达式为，设点的坐标为：， 然后进行分类讨论：当是对角线时，当或是对角线时，结合中点坐标公式，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：在中，， 则，， 则的周长， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点， 则， 即的最大值为， 则的周长的最大值为：， 此时点； （3）解：平移后的抛物线表达式为：， 设点的坐标为：， 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 当或是对角线时，由中点坐标公式得：或， 解得：或， 则点或， 综上，点的坐标为：或或 15．(1)，，；直线的函数表达式为 (2)①m的值为；②存在．S的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）对于，当时，，令，则，，即可求解． （2）①设点，则点，当时，即，即可求出解；②由，即可求解． 【详解】（1）将代入，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，． 将代入，得． ． 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 直线的函数表达式为． （2）①设点，轴， ，E（m，0）． 点D，F在第三象限， ． E（m，0）， ． ， ． 解得（舍去），． m的值为． ②存在．理由：由（2）知，点，， ∵， 即 故S的最大值为9． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $