25 二次函数的综合问题-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关模拟分类

沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 25 二次函数的综合问题 Cg第一部分通关“中考真题” &0w 2.(2022·天津中考)已知抛物线y=ax2十 1.(2021·天津中考)已知抛物线y=ax2 bx十c(a,b,c是常数，a>0)的顶点为P,与 2ax十c(a,c为常数，a≠0)经过点C(0,一1)， x轴相交于点A(一1,0)和点B. 顶点为D (1)若b=-2,c=-3: (1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标； ①求点P的坐标； (2)当a>0时，点E(0,1+a),若DE= ②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物 线相交于点M,与BP相交于点G,当MG 2√2DC,求该抛物线的解析式； 取得最大值时，求点M,G的坐标。 (3)当a<-1时，点F(0,1-a),过点C作 (2)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于 直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动 点N,E是x轴的正半轴上的动点，F是 点，N(m+3,-1)是直线1上的动点，求当 y轴的负半轴上的动点，当PF十FE+EN a为何值时，FM+DN的最小值为2√I0, 的最小值为5时，求点E,F的坐标. 并求此时点M,N的坐标. ·152· 68为】 6 25 二次函数的综合问题父⊙ 3.(2023·天津中考)已知抛物线y=-x2十 4.(2024·天津中考)已知抛物线y=ax2十 bx十c(b,c为常数，c>1)的顶点为P,与 bx十c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,且 x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 2a+b=0,对称轴与x轴相交于点D,点 侧)，与y轴相交于点C,抛物线上的点M M(m,1)在抛物线上，m>1,O为坐标原点. 的横坐标为m,且-c<m<名，过点M作 (1)当a=1,c=一1时，求该抛物线顶点P 的坐标； MN⊥AC,垂足为点N. (1)若b=-2,c=3: (2)当OM=0P=时，求a的值： ①求点P和点A的坐标； (3)若N是抛物线上的点，且点N在第四 ②当MN=√2时，求点M的坐标 象限，∠MDN=90°，DM=DN,点E在线 (2)若点A的坐标为（一c,0),且MP∥AC, 段MN上，点F在线段DN上，NE+NF= 当AN+3MN=9√2时，求点M的坐标. √2DM,当DE+MF的最小值为√15时，求 a的值. ·153· 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 5.（2025·天津中考)已知抛物线y=ax2十 C03 第二部分详练“模拟原题”) bx十c(a,b,c为常数，a<0,b>0). A组 (1)当a=一1，b=2,c=3时，求该抛物线顶 点P的坐标； 1,(2024·河西二模)已知抛物线y=号2+ (2)点A(一1,0)和点B为抛物线与x轴的 bx十2b一1(b为常数)与x轴相交于A,B 两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. 两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴 ①当a=一2时，若点D在抛物线上， 交于点C ∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标； (1)当b=一2时，求抛物线的顶点坐标； ②若点B(m,0),∠CAB=2∠ABC,以AC (2)若点M是y轴上一点，连接BM,点N 为边的口ACEF的顶点F在抛物线的对称 是BM的中点，连接CN. 轴1上，当CE+CF取得最小值为2√6时， ①当点M的坐标为(0,2)，且MB=MC时， 求顶点E的坐标. 求b的值； ②当AN+CN的最小值是13时，求b 的值. ·154· 68为】 25 二次函数的综合问题父⊙ 2.(2024·滨海一模)已知抛物线y=-x2十 3.(2024·红桥二模)已知抛物线y=ax2十 2mx+c(m,c为常数，且m>0),与x轴交 bx+4(a,b为常数，a≠0)经过点A(1,0)和 于点A(-1,0),B两点，与y轴相交于 点B(4,0),与y轴相交于点C,M为抛物线 点C 上横坐标为m的点 (1)当m=1时，求抛物线的顶点坐标； (1)求该抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一点，点M的 (2)当1<m<4时，过点M作x轴的垂线 纵坐标为)，若MB=MC,求抛物线的解 与BC相交于点N,若MN=OC,求点M的 坐标； 析式： (3)D为线段OC的中点，当∠MDB= (3)当m>1时，抛物线的对称轴与x轴交 ∠DBO时，求点M的坐标. 于点D,过点P(√3m,1一m)作直线1垂直 于y轴，垂足为点E,Q为直线1上一动点， N为线段CP上一动点，当DQ十QN的最 小值为035时，求m的值 ·155· ) 沙玉鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 4.（2025·河西一模)已知抛物线y=x2十 5.（2025·河北二模)已知抛物线y=ax2十 bx十c(b,c为常数)的顶点为P,与x轴相交 bx十c(a,b,c为常数，a≠0)，b十4a=0,与 于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 x轴正半轴相交于A,B两点（点A在点B 相交于点C. 的左侧)，与y轴负半轴相交于点C,点D (1)若b=3,c=一4，求点P和点A的坐标； 为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上， (2)当b=2,且AB=PA时，求点P的 ∠MBO=∠ACO. 坐标； (1)若点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为 (3)当c=一1，b≤-2时，过直线y=x-1 (0,-3). (1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛 ①求抛物线顶点D的坐标； 物线于点H,当GH的最大值为4时，求b ②求点M的坐标. 的值. (2)若c-3a=0,且MA=2BD,求a的值. ·156· 6 6 25 二次函数的综合问题父C心 6.（2025·河北一模)已知抛物线y=x2十 7.(2025·红桥一模)已知抛物线y=-x2十 bx十c(b,c为常数)，与x轴正半轴相交于 bx十c(b,c为常数)与x轴相交于A(一1， A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴正 0),B(3,0)两点，与y轴相交于点C. 半轴相交于点C,点D为抛物线顶点，点M (1)求该抛物线的解析式； 在抛物线上，过点M作直线BC的垂线 (2)若P是该抛物线的对称轴上一点， MN,垂足为点N. ①当点P在第一象限，且△PBC是等腰三 (1)若点C的坐标为(0,3)，对称轴为直线 角形时，求点P的坐标； x=2. ②当∠BPC=45°时，求点P的坐标. ①求抛物线解析式及其顶点D的坐标； ②若点M在直线x=3右侧，且直线MN 经过点A,求点M的坐标， (2)若A(1,0),点M在直线BC的下方，且 直线MD∥BC,若MN=BC,求c的值. ·157. ) 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 8.(2025·红桥三模)已知抛物线y=x2十 B组 bx十c(b,c为常数，c<一1)与x轴相交于 9.(2024·和平三模)已知抛物线y=ax2十bx A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相 十c(a,b,c为常数，a≠0)经过坐标原点，顶 交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m, 点P的坐标为(1，一1)，与x轴的另一个交 且-名<m<-c 点为A. (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (1)若b=-2,c=-3. (2)抛物线上有一点D,过点D作直线y= ①求抛物线的顶点P和点B的坐标； x一4的垂线，垂足为点E,DE=4√2，求点 ②当MB=MC时，求m的值. D的坐标； (2)若点B的坐标为（一c,0),过点M作 (3)抛物线的对称轴与x轴相交于点F,点 MD⊥BC,垂足为D,过点M作MN⊥ G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴 y轴，与抛物线的另一个交点为N,当 下方抛物线上的动点.若过点Q的直线： √2MN+2DM的最大值为11√2时，求m y=x十m(k,b为常数，||<2)与抛物线 的值. 只有一个公共点，且分别与线段GO,GA相 交于点H,K,求GH+GK的值. ·158· 68为】 6 25二次函数的综合问题父① 10.(2024·和平二模)已知抛物线y=一x2 11.（2025·河西结课考)在平面直角坐标系 bx十c(b,c为常数，c>0)的顶点为P,与 中，点O(0,0),A(2,0),抛物线y=x2十 x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 mx-4m(m是常数)的顶点为P. 侧)，与y轴相交于点C,直线x=m(m是 (1)当抛物线经过点A时，求顶点P的 坐标； 常数，0<m<c且m≠- )与抛物线相交 (2)若点P在x轴下方，当∠AOP=60° 于点M,与BC相交于点E. 时，求此时m的值； (1)若b=一2，c=3: (3)无论m取何值，该抛物线都经过定点 ①求点P和点B的坐标； H.当∠AHP=45°时，求此时m的值. ②若抛物线的对称轴与BC相交于点D, 当PD=ME时，求m的值. (2)若点B的坐标为(c,0),过点M作 MN⊥BC,垂足为点N,过点N作NF⊥ x轴，垂足为点F,当直线MN经过点P, 且ME=NF时，求抛物线的解析式. ·159· 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 12.（2024·河北二模)已知抛物线y=ax2一 13.(2025·西青一模)在平面直角坐标系中， 2ax十c(a<0)与x轴相交于A,B两点（点 点A(3,0),点B(0,3),抛物线y=一x2+ A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,过 bx十c(b,c为常数，b>0)的顶点为G. 抛物线的顶点D作DM⊥x轴于点M,点 (1)若抛物线经过点A,B,连接AB. N在y轴正半轴上，∠NMO=60°，点P在 ①求此抛物线的解析式； 抛物线上，过点P作x轴的垂线，交x轴 ②过点G作直线GH∥AB,与抛物线相交 于点E,交直线MN于点F 于点H,求线段GH的长. (1)若a=-1,c=3: ①求抛物线的顶点D和点A的坐标； (2)若c=3+易6-公，连接点B和点 ②若点P在第一象限，过点P作PH垂直 P(一1,0)，分别过点G画直线1∥x轴， 直线MN于点H,PH=√，求点E的 GM∥BP,在直线GM上截取GQ=BP(点 坐标. Q在直线1下方)，当OG十AQ的最小值为 (2)若c=-3a(a<-1),点P与点C关于 √65时，求抛物线的解析式. 抛物线的对称轴对称，射线PC交直线 MN于点G,当2NC+√3MF=7√3时，求 顶点D的坐标. ·160· 25 二次函数的综合问题父 14.（2025·部分区一模)已知抛物线y= 15.（2025·部分区二模)已知抛物线y= r+bc十c0e为常数，c>0)的顶点 ax2十bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点 为P,与x轴交于A,B两点（点A在点B 为P,且与x轴交于点A,B(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,且A(一1,0)， 的左侧)，与y轴交于点C,M为抛物线上 M(m,yM)(m>1)是抛物线上的动点，且 一点，点M的横坐标为m,且0<m<c. 位于第四象限， (1)若b=1,c=4: (1)若a=1,c=-3: ①求点P和点A的坐标； ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②过点M作MN⊥BC,交BC于点N,当 ②过点M分别作x轴和y轴的平行线，分 MN=3y2时，求点M的坐标。 别交直线BC于点E,P,当EF=号BC时， (2)若点B的坐标为(2c,0),点D在y轴 求点M的坐标， 负半轴上，且点D的坐标为(0，一2c), (2)若c+3a=0,N是y轴负半轴上的动 MB⊥BD,点E,F分别在DM,BD上，且 点，过点N作抛物线对称轴1的垂线，垂 ME=DF,当BE十MF取得最小值为 足为G,连接NB,GM,MP,且MP∥BC, 2√I7时，求点M的坐标. 当NB+GM的最小值为2√5时，求点M 的坐标 ·161· 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 16.(2025·和平二模)已知抛物线y=ax2十 17.(2025·滨海一模)已知抛物线y=ax2十 bx十c(a,b,c是常数，a<0)的顶点为P,与 bx十c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,且 x轴相交于点A和点B(点A在点B的左 2a十b=0,与x轴相交于A(一1,0)和B两 侧)，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q. 点（点A在点B的左侧），与y轴相交于 (1)若b=一2，c=3,点B的坐标为(1,0)： 点C ①求点P的坐标； (1)若a=1: ②M为直线AP上方的抛物线上的动点， ①求点P和点B的坐标； 过点M作MG⊥x轴与AP相交于点G, ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点 当MG取得最大值时，求点M,G的坐标. D作DF⊥x轴于点F,交BC于点E,记 (2)若点A(-3m,0),B(m,0)(m是常数， △BCD,△BEF的面积分别为S1,S2,求 m>0),∠PAB=60°，E是直线x=-3m S,一S2取得最大值时点D的横坐标 上的动点，过点E作EF⊥AP与PQ相交 (2)点Q为直线y=3上一动点，点M在 于点F,当PE+EF+FA的最小值为12 轴下方一点，满足AQ=AM,∠QAM= 时，求a的值. 90°，连接BQ,PM,当BQ+PM的最小值 为4√2时，求点M和Q的坐标. ·162· 25二次函数的综合问题父⊙ 18.(2025·西青二模)在平面直角坐标系中， 19.(2025·滨海二模)已知抛物线y=ax2十 抛物线y=-22+bx+c(b,c为常数)与 bx十c(a,b,c为常数，a<0)的顶点为P,与 x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且 x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点 2a十b=0,对称轴与x轴交于点D,点 C(0,2). A(一1,0)，O为坐标原点. (1)求抛物线的解析式； (1)当a=-1时， (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过 ①求点P和点B的坐标； 点P作PQ⊥x轴，垂足为Q,连接CB,与 ②若直线x=m(m为常数，1<m<3)与抛 PQ相交于点D,设点P的横坐标为m,当 物线交于点M,过点M作直线BP的垂 点D是线段PQ的一个三等分点时，求m 线，垂足为N,当MN取最大值时，求m 的值； 的值； (3)点E在y轴负半轴上，且OE=OB,点 (2)若点E在线段DP上，点F在线段DB F是抛物线上一点，满足∠FBE=90°，点 上，且PE=DF,当BE十PF取最小值 M,N分别为△BEF的边FE,BE上的动 点，总有FM=EN,求BM+FN的最 2√5时，求a的值. 小值. ·163· 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 20.(2025·和平一模)已知抛物线y=-x2十 21.(2025·和平三模)已知抛物线y=ax2十 bx十c(b,c是常数，c>1)的顶点为D,与 bx十c(a,b,c为常数，a≠0，c>1)与x轴相 x轴相交于点A(一1,0)和点B,与y轴相 交于点A(一c,0)和点B,与y轴相交于点 交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于 C,x轴上的点M的横坐标为m,且m> 点E. 一c,O为坐标原点， (1)若b=2: (1)若c=3,2a-b=0,且-c<m<0: ①求点D的坐标； ①求抛物线的解析式； ②点P是线段BD上一点，当PE=PC ②过点M作MD⊥x轴，与抛物线相交于 时，求点P的坐标 点D,连接AD,DC,CM,△MAC的面积 (2)若EM=√2，连接BM,将线段BM绕 记为S1,△DAC的面积记为S2,当S1=S2 点M逆时针旋转90°得到线段MN,连接 时，求点M的坐标， EN.当EN取最大值时，点M恰好落在抛 (2)若点B(,),射线CB上有一点N, 物线上，求c的值. AM=CN,当CM+MN取得最小值为 3√2时，求a的值. ·164· 25 二次函数的综合问题父&心 C组 23.(2025·南开一模)已知抛物线y=ax2十 22.(2025·河东二模)已知抛物线y=ax2十 bx十c(a,b,c为常数，a≠0，b<0)的对称轴 bx一3(a>0)与x轴交于A,B两点（点A 为直线x=b,抛物线与x轴相交于点A和 在点B的左侧)，与y轴交于点C,顶点 点B,与y轴相交于点C,其中点A(2,0). 为D. 点M(m,0)为x轴上一动点， (1)若顶点D(1,一4)，求点A与点B的 (1)若b=-1,连接BC. 坐标； ①求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)当点A的横坐标为一1时，若点E为 ②当2b-2<m<0时，过点M作PM∥ 线段BC的中点，过点E的直线EF与线 y轴，PM与抛物线相交于点P,过点P作 段AB交于点F,且满足EF∥AC, PN⊥BC,垂足为点N.求√2PN+AM的 S△cEr=6,求a的值； 最大值，及此时点P的坐标 (3)点B的横坐标为3，点P是直线BC下 (2)点Q(2b一3，yQ)在抛物线上，连接 方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 QM,当，EQM+AM的最小值为时，直 PQ∥x轴交抛物线于点Q,作PE⊥BC, 接写出此时b,m的值. 垂足为点E,当PQ+号PE的最大值为智 时，求a的值. ·165· ) 玉鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 24.(2025·南开二模)已知抛物线y=x2十 25.（2025·河西二模)已知二次函数y= bx十c(b,c为常数，c<0)的顶点为P,点 ax2十bx十c(a>0)的顶点P在x轴下方， E(1,1)在抛物线上，抛物线与y轴相交于 并且与x轴交于A,B两点（点A在点B 点C,点D为点C关于抛物线对称轴的对 的左侧)，与y轴的负半轴交于点C,2a十 称点，O为坐标原点 b=0. (1)当c=一1时，求点P和点D的坐标； (1)当a=1,c=一1时，求该抛物线顶点P (2)当CP∥OD时，求c的值和线段CP 的坐标； 的长； (2)若OC=OB,点E(-yE)为线段BC (3)抛物线上点M的横坐标m,当<m< 上一点，当AE=2√5时，求点E的坐标； 0时，满足PM∥OD,且DM⊥PM,垂足为 (3)若OC=√3OB,过点G(-1,2√3)的直 点M.直接写出此时c的值和点M的 线1与以AB为直径的圆相交于点M和 坐标. 点N,点M在线段GN上，记MN的中点 为H,当CH的最小值取4√3一2时，求顶 点P的坐标. ·166· 68为】 6 25二次函数的综合问题父⊙ 26.（2025·红桥二模)已知抛物线y=一x2十 27.(2025·河东一模)已知抛物线y=ax2十 bx十c(b为常数，b>0)的顶点为P,与x轴 bx十c(a,b,c为常数，a≠0)的顶点为P,且 相交于点A(一1,0)和点B,与y轴相交于 与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点（点 点C. A在点B的左侧)，与y轴交于点C,O为 (1)当b=1时，求点P的坐标； 坐标原点. (2)直线PC与x轴相交于点D,当CD= (1)若x1,x2是方程x2一2x一3=0的两个 CB时，求b的值； 根，c=3,求该抛物线顶点P的坐标； (3)M为线段BC上的动点，若2PM+MB (2若a=-1,6>0,6=4-,且当9 取得最小值时∠MPB=∠OBC,求b 的值. 1≤x≤b+1时，该二次函数的最大值与最 小值之差为9，求b的值； (3)若x1十x2=-2,x1·x2=一3，点D是 △AOC内的一点，当AD+CD+OD取得 最小值36,32时，求a的值. 2 ·167. 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 g第三部分精研“同类好题”) 2.已知抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c是常数) 1.抛物线y=a.x2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0) 的开口向上且经过点A(0,1),B(2,-1). 的顶点为D,与x轴相交于点A(一2,0)，点 (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； M(0,4)是y轴上的一个定点. (2)若二次函数y=a.x2+bx十c在1≤x≤3 (1)若b=3,且抛物线过定点M,求抛物线 时，y的最大值为2，求a的值； 的解析式和顶点D的坐标； (3)若射线BA与抛物线y=a.x2+bx十c+ (2)已知抛物线的顶点D在x轴上方，且点 3a-1仅有一个公共点，求a的取值范围. D在直线y=x十2上 ①若DM=DA,求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； ②若点E是直线AM上的动点，点F是 x轴上的动点，当△EDF的周长的最小值 为号V0时，直接写出抛物线的顶点D的 坐标 ·168· 68 6 25=次函数的综合问题父园 3.已知：抛物线y=):十x十c经过点 4.已知抛物线y=x2十bx十c(b,c是常数)的 顶点为P,经过点C(0,3),与x轴相交于A, A(-2,-1),B(0,-3). B两点（点A在点B的左侧）， (1)求抛物线的解析式； (1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线使得新抛物线的顶点为 (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度后 P(m,n)(m>0). 得到的新抛物线的顶点坐标为(m,n),求 ①若SAOPB=3,且在直线x=的右侧，两 4n一2m的最大值； 抛物线都上升，求k的取值范围； (3)若抛物线的对称轴为直线x=2,M,N ②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于点 为抛物线对称轴上的两个动点(M在N的 Q,当∠BPQ=120时，求点P的坐标. 上方)，MN=1,D(4,0),连接CM,ND,当 CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线 沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过 点N,求新抛物线的解析式. ·169· ) 沙玉鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 5.在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 6.已知抛物线y=ax2-2ax十c(a,c为常数， ax2-2ax十2的顶点为P,与x轴交于点 a≠0)经过点C(0,-1),顶点为D. A(-1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标； (1)求点P的坐标； (2)当a>0时，点E(0,1+a),若DE= (2)点K是抛物线上的动点，当∠KCB= √5DC,求该抛物线的解析式； ∠ABC时，求出点K的坐标； (3)当a<-1时，点F(0,1-a),过点C作 (3)直线1为该二次函数图象的对称轴，交 直线I平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动 x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图 点，N(m+2,-1)是直线l上的动点.当a 象上一动点，过点Q作直线AQ,BQ分别交 为何值时，FM+DN的最小值为5√2？ 直线L于点M,N,在点Q的运动过程中， EM十EN的值是否为定值？若是，请求出 该定值；若不是，请说明理由. ·170· 68 62 25二次函数的综合问题父⊙ 7.抛物线y=ax2十bx一3(a,b为常数，a≠0) 8.已知抛物线y=一x2十bx十c(b,c为常数)， 交x轴于A(一3,0)，B(4,0)两点. 抛物线与x轴交于点A(一1,0)和点B,与 (1)求该抛物线的解析式； y轴交于点C,顶点为D. (2)点C(0,4),D是线段AC上的动点（点 (1)当b=2时，求该抛物线的顶点坐标； D不与点A,C重合). (2)若点E(b,y)是抛物线在第一象限内的 ①点D关于x轴的对称点为D',当点D在 点，有一点P(5,0),当AP=AE时，求b 该抛物线上时，求点D的坐标； 的值； ②E是线段AB上的动点（点E不与点A, (3)在(1)的条件下，连接BC,点Q是第一 B重合)，且CD=AE,连接CE,BD,当 象限内的抛物线上的一动点，过点Q作 CE+BD取得最小值时，求点D的坐标. QF⊥BC于点F,连接OQ,当QF最大时， 求OQ的长. ·171· 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 10.已知抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c是常 ax2+bx十c的顶点为P,与x轴交于点 数，a≠0，c<0)的顶点为D,与x轴相交于 A(-1,0). 点A(1,0)和点B,与y轴交于点C.动点 (1)若b=4,c=3,求点P的坐标； P和Q以相同的速度从坐标原点O同时 (2)若抛物线与x轴的另一个交点为 出发，分别在线段OB,OC上向点B,C方 B(4,0),与y轴交于点C,点Q(一3，n) 向运动. (n是常数，且n<0)是抛物线上一点，直线 (1)若a=1,c=-3: QB与y轴交于点D,连接BC,△BCD的面 ①求点D的坐标； 积为12. ②过点P作x轴的垂线与抛物线相交于 ①求n的值； 点E,当四边形OQEP为矩形时，求点E ②点E是线段BC上的动点，点B关于直 的坐标. 线OE的对称点为点B',连接EB',当直线 (2)若点B(c,0),过点C作直线1平行于 EB'与直线BQ相交所成锐角为45°时，求 x轴，直线1与抛物线交于点F(不与点C 点B的坐标. 重合)，连接CP,FQ,当CP+FQ的最小 值为√65时，求点F,Q的坐标 ·172·OE=√OD-DE=√22-1z=√5， .点D的坐标为（√3,1） D'F⊥OB,DE⊥OA,OB⊥OA, .四边形OFDE是矩形， ∴.OF=DE=1,FD'=OE=√5， ∴.BF=OB-OF=6-1=5, ∴.BD'=√BF+FD=W53十（√3）2=2√7. (3)△ABP面积的最小值为号 25二次函数的综合问题 第一部分通关“中考真题” 1.解：.抛物线y=ax2一2ax十c(a,c为常数，a≠0) 经过点C(0,-1),.c=-1. (1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x2一2x 1=(x-1)2-2, 故抛物线的顶点坐标为(1，一2). (2):y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-a-1, 故点D(1,-a-1), 由DE=2√2DC,得DE=8DC, 即(0-1)2+(1+a+a+1)2=8[(1-0)2+(-a 1+1)2], 解得a=2或a= 3 故抛物线的解析式为y=2:-x一1或y—- 3 3x-1. (3)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位 得到点D'(-2,-a), 作点F关于x轴的对称点F',则点F的坐标为 (0,a-1), 当满足条件的点M落在F'D'上时，如图，由图象 的平移知DN=D'M,故此时FM十DN最小， 即FM+DN=F'M+D'M=F'D'为最小， 即F'D'=2√/I0. 则FD2=FH2+DH=(1-2a)2+4=(2√10)2， 解得a=2(舍去)或a=-号 5 则点D,F的坐标分别为(-2，)，(0，一) 76 由点D',F的坐标，得直线DF'的解析式为y= 7 一3x一2’ 当y=0时y=-3x一号=0，解得x=名=m 则a+3=是， 即点M的坐标为（一号0点N的坐标为（告，一小， 2.解：(1)①若b=-2,c=-3, 则抛物线y=ax2十bx十c=ax2-2x-3. ,抛物线y=ax2+bz十c与x轴相交于点A(-1,0), .a十2-3=0，解得a=1, .抛物线的解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2-4， .顶点P的坐标为(1，一4). ②当y=0时，x2一2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3. ∴.B(3,0). 设直线BP的解析式为y=kx十n(k≠0)， ·3+n=0,解得因 ,k=2, k+n=-4, n=-6. ∴.直线BP的解析式为y=2x一6. ,直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交 于点M,与BP相交于点G, 则点M(m,m2-2m-3),G(m,2m-6), ∴.MG=2m-6-(m2-2m-3)=-m2+4m-3= -(m-2)2+1, ∴.当m=2时，MG取得最大值1， 此时，点M(2,一3)，G(2,-2). (2).抛物线y=ax2十bx十c与x轴相交于点 A(-1,0), .a-b+c=0. 又3b=2c, .b=-2a,c=-3a(a>0), .抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, ∴.y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, .顶点P的坐标为(1，-4a). 直线x=2与抛物线相交于点N, .点N的坐标为(2，-3a). 如图，作点P关于y轴的对 y 称点P',作点N关于x轴 的对称点N', E 得点P′的坐标为（一1， -4a),点N'的坐标为 (2,3a), -H 当满足条件的点E,F落在 直线P'N'上时，PF+FE十EN取得最小值，此 时，PF+FE+EN=P'N'=5. 延长PP与直线x=2相交于点H,则PH⊥ N'H. 在Rt△P'HN'中，P'H=3,HN'=3a-(-4a)= 7a. .P'N'2=P'H2+N'H2=9+49a2=25, 解得a1=号a:=-号（不合题意，舍去）. “点P的坐标为(-1，-9)，点N的坐标为 (2). 直线PV的解析式为y=告x一器 20 点E(号0），点r(0,》。 3.解：(1)①由b=一2，c=3,得抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, .点P的坐标为(-1,4). 当y=0时，-x2-2x+3=0, 解得x1=一3，x2=1. 又点A在点B的左侧， .点A的坐标为(-3,0. ②如图①，过点M作ME⊥ x轴于点E,与直线AC相交 于点F 点A(-3,0),点C(0,3), .OA=OC,可得Rt△AOC 中，∠OAC=45°， .在Rt△AEF中， 图① EF=AE. .抛物线y=一x2一2x十3上的点M的横坐标为 m,其中-3<m-1, ∴.点M(m,-m2-2m十3)，点E(m,0), 得EF=AE=m-（一3)=m+3, 即点F(m,m+3). .FM=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m. 在Rt△FMN中，可得∠MFN=45°. .FM=√2MN. 又MN=√2，∴.FM=2, 即-m2-3m=2,解得m1=-2,m2=一1（舍去）. .点M的坐标为（一2,3）. (2)点A(-c,0)在抛物线y=一x2+bx十c上， 其中c>1, 77 .-c2-bc+c=0,解得b=1-c. .抛物线的解析式为y=一x2十(1一c)x十c, 则点M(m,-m2+(1-c)m+c), 其中-c<m<与 y=-2+1-0x+c=-(-12)+1+9, 顶点P的坐标为（号，十），对称轴为直 线：x=2 如图②，过点M作MQ⊥1于点Q, 则∠MQP=90°， 点Q2,-m+1-c0m+c: 由MP∥AC,得∠PMQ=45°，于是MQ=QP, l2-m=12-[-m+1-6m+, 4 即(c+2m)2=1, 解得c1=-2m-1,c2=-2m十1（舍去）. 同(1)，过点M作ME⊥x轴 于点E,与直线AC相交于 Pi 点F, M长 则点E(m,0),点F(m, -m-1),点Mm,t-1). E 0 .AN+3MN=AF+FN+ 3MN=√2EF+2W2FM= 图② 9√2， .√2(-m-1)+2√2(m2-1+m+1)=9√2， 即2m2+m-10=0, 解得m=二号，m2=2(舍去) 点M的坐标为（一吾》 4.解：(1)2a+b=0,a=1,∴.b=-2a=-2. 又c=-1, ∴.该抛物线的解析式为y=x2一2x一1. y=x2-2x-1=(x-1)2-2, .该抛物线顶点P的坐标为(1，一2). (2)如图①，过点M(m,1)作 y MH⊥x轴，垂足为点H,m>1, 则∠MHO=90°，HM=1,OH= m. 在Rt△MOH中， 由HM+OH=OP, 图① 0M=,得1+m=(), 解得m= 2,m=- （喻去. “点M的坐标为(，1， .2a+b=0, =1, b=-2a,即-2a ∴.抛物线y=ax2-2ax十c的对称轴为直线x=1. 对称轴与x轴相交于点D, ∴.OD=1,∠ODP=90°. 在Rt△OPD中， 由OD+PD=0P,0P=空，得1+PD= (),解得PD=(负值已舍去). 由>0，得该抛物线顶点P的坐标为(1，一) ÷该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-多。 :点M(,1)在该抛物线上， 1=a(号-1)°-是…a=10. (3)如图②，过点M(m,1)作MH⊥x轴，垂足为点 H,m>1, 则∠MHO=90°，HM=1, OH=m. ∴.DH=OH-OD=m-1. ∴.在Rt△DMH中， DM2=DH2+HM2=(m- 1)2+1. 过点N作NK⊥x轴，垂足 图② 为点K, 则∠DKN=90°， ,∠MDN=90°， '.∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH, 又DM=DN,∠DKN=∠MHD=90°， ∴.△NDK≌△DMH(AAS), ..DK=MH=1,NK=DH=m-1, 点N的坐标为(2,1一m). 在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°， MN2=DM+DN2=2DMP,即MN=√2DM. 根据题意，NE+NF=√2DM,MN=ME+NE, 得ME=NF. 在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且 NG=DM,连接GF, 得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°. 78 .△GNF≌△DME. ..GF=DE. .DE+MF=GF+MF≥GM. 当满足条件的点F落在线段GM上时，DE十MF 取得最小值，即GM=√I5. 在Rt△GMN中，GMP=NG2+MN2=3DMP, ∴.（√15）2=3DM,∴.DMP=5. .(m-1)2+1=5,解得m1=3,m2=-1(舍去). .点M的坐标为(3,1)，点N的坐标为(2，-2). 点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线y=ax2 2ax+c上， .1=9a-6a+c,-2=4a-4a+c, ∴.a=1. 5.解：(1).a=-1,b=2,c=3, ∴.该抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4, .该抛物线顶点P的坐标为(1,4). (2)①·点A(-1,0)在抛物线y=ax2十bx十c上， ∴.0=a-b十c,即c=b-a, 又.a=-2,点C(0,c), .OC=c=b+2,AO=1, .抛物线的解析式为y=一2x2+bx十b十2. 如图①，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于 点H, H A Q B 图① .∠AHD=90°， .∠HAD+∠ADH=90°. ∠CAD=90°， .∠CAO+∠HAD=90°. ∴.∠ADH=∠CAO, 又AD=AC,∠AHD=∠AOC=90°， .△ADH≌△CAO(AAS), ..DH=AO=1,AH=OC=b+2. .OH=AH-AO, .0H=b+2-1=b+1, ∴.点D的坐标为(b+1,-1). ,点D在抛物线y=一2x2十bx十b十2上， .-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2, 整理得，b2+2b-1=0, 解得b1=-1十√2，b2=-1-√2. .b>0,.b2=-1-√2不合题意，舍去， ∴.b=-1+√2， .点D的坐标为(W2,一1). ②c=b-a,a<0,b>0, ∴.c>0,m>1, 在x轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接 GC,如图②， 图② ∴.∠ACG=∠CGA,得∠CAB=2∠CGA. .∠CAB=2∠ABC,∴.∠ABC=∠CGA. ∴.CG=CB,则GO=OB. 在Rt△AOC中， 根据勾股定理，得AC=AO十OC, ∴AC=WI+c2..GA=√1+c2. ∴.GO=GA+AO=W1+c2+1. 又点B(m,0),得OB=m. ∴.√1+c2+1=m,即c2=m2-2m. 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直 线I上，得AF=BF. 又□ACEF中，AF=CE,得CE=BF. .∴.CE十CF=BF+CF>BC ∴.当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值2√6， 即BC=2√6. 在Rt△OBC中，OB2+OC=BC, .m2+c2=24. 将c2=m2-2m代入， 得m2+(m2-2m)=24 解得m1=4,m2=-3(舍去). .c=2√2 ∴.点B(4,0),C(0,2√2). 直线BC的解析式为y= 2x+2V2. 设点F的横坐标为xo, 3 则4-x=x0-（-1),得x= 点F的坐标为（是，5）， 7 ,线段CE可以看作是由线段AF经过平移得 到的， 点E的坐标为（号，18）， 第二部分详练“模拟原题” A组 1.解：1)当6=-2时，y=42-2x-5=}(红 4)2-9, ∴.抛物线的顶点坐标为(4，一9). (2)①在y=子2+bx+26-1中， 当x=0时，y=2b-1, ∴.点C的坐标为(0,2b-1). 在y=子x+6x+26-1中， 当y=0时，x1=-2,x2=2-4b, ,点C在y轴负半轴上， .2b-1<0,即6<2： 1 ∴.2-4b>0. :点A在点B的左侧， .点B的坐标为(2-4b,0). ,点M的坐标为(0,2)，点C(0,2b-1)在y轴负 半轴上， ∴.MC=2-(2b-1)=3-2b. 在Rt△BOM中，由勾股定理，得 MB2=(2-4b)2+22=(2-4b)2+4. .MB=MC,即MB2=MC, ∴.(2-4b)2+4=(3-2b)2, 解得6=2或6=-日 6安， b=-君 ②由①知点A(一2,0)，B(一4b十2,0)，C(0, 2b-1), ,点M是y轴上一点，点N为BM的中点， ∴.随着点M的运动，点N的运动轨迹为直线x= -2b+1. 如图，作点A关于直线x=一2b十1的对称点A', 连接A'C交直线x=-2b+1于点N', 则AN=A'N,此时AN+CN=A'N+CN≥A'C, 即AN+CN的最小值为A'C,即A'C=13. 由对称的性质可知，点A'的坐标为（一4b十4,0）， 点C在y轴负半轴上，.OC=1-2b. 9 在Rt△A'OC中，A'C2=OC2+OA'2, 即132=(1-2b)2+(-4b+4)2, 解得6=二2或b=5, K分，6=-2. C 2.解：(1)当m=1时，抛物线的解析式为y=一x2十 2x十c. 抛物线与x轴交于点A(一1,0)， ∴.0=-1-2十c,得c=3. .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4). (2),抛物线y=一x2+2mx十c与x轴交于点 A(-1,0), ∴.0=-1-2m+c,得c=1+2m. ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2mx+1+2m, 可得抛物线的对称轴为直线x=m,C(0,1+2m), M(m,2): 由对称性可知，点B的坐标为(2m十1,0). MB=子+(m+1)2,MCe=m2+(2m+号)， .MB=MC, “+(m+12=m2+(2m+2）), 解得m=名，m:=一号（会去）. ∴.抛物线的解析式为y=一x2+x十2. (3)由点C(0,1+2m),点P(√3m,1-m), 得直线CP的解析式为y=-√3x十1+2m. 设直线CP与抛物线的对称轴相交于点T, 则T(m,2m-√3m+1). 如图，作点D关于直线l的对称点D', 则D'(m,2-2m),.TD'=4m-√3m-1. 过点D作D'N⊥CP,垂足为点N,与直线l相交 于点Q,连接DQ, DN\B E D'k ·80 此时DQ+QN=D'Q+QN=D'N取得最小值，即 DN=10-3V3 4 在Rt△CEP中，PE=√3m,CE=3m, 由1an∠PCE=器-9，得∠PCE=30 在Rt△TD'N中，∠D'TN=30°， 有DN=TD. ÷24m5m-1)=1038, 4 郁得m=多。 3.解：(1)把A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx十c, 得/a+6+4=0, 16a+4b+4=0, 解得01， b=-5. .该抛物线的解析式为y=x2-5x十4. (2)如图①，当x=0时，y=4, 点C(0,4), ∴.OC=4. M 图① 设直线BC的解析式为y=kx十4，将点B(4,0), 代入，得0=4k十4，解得k=-1. ∴.直线BC的解析式为y=-x十4. 由题意知M(m,m2-5m十4)，点N(m,-m+4), ∴.MN=-m2+4m. MN=OC,.-m2+4m=4,解得m=2. ∴.点M的坐标为(2，一2) (3).D为OC的中点，C(0,4),.D(0,2). ①当点M在DB上方时，如图②， \M 图② .∠MDB=∠DBO,∴.DM∥OB. 解得x1=一4，x2=1. 由m2-5m+4=2,解得m=5±☑ 又点A在B左侧，.A(一4,0) 2 (2),b=2,.抛物线的解析式为y=x2+2x十c, 点M的坐标为5+，2)或(5厘，2)， 顶点P(-1,c-1), 当y=0时，x2+2x-c=0, ②当点M在DB下方时，如图③，设DM与x轴 解得x1=-1+√1-c,x2=-1-√1-c(1-c>0), 交于点E, ∴.A(-1-1-c,0),B(-1+√1-c,0), .AB=2√I-c; 由抛物线对称性可知：PA=PB. AB=PA,.△ABP为等边三角形， .∠PAB=60°. 设抛物线对称轴与x轴的交点为T, M 则AT=7AB=V-G,PT=1-G 图③ ,∠MDB=∠DBO,∴.DE=BE. 在R△APT中，器=1an60 设E(t,0),则DE=BE=4-t. ∴.1-c=√3√1-c, 在Rt△OED中，DE2=OE2+OD, 解得c1=1(舍去)，c2=-2, .(4-t)2=t+4, .P(-1,-3). 解得=多（受o) (3)设G(m,m-1), 则H(m,m2+bm-1)(1≤m≤3)， 设直线DE的解析式为y=k1x十6，将E(号，0）， 当c=-1时，y=x2+bx-1, D(0,2)代人， 令x2+bx-1=x-1, 解得x1=0,x2=1-b. 3+6=0… k1= 得 解得 3 b≤-2，.x2=1-b≥3， b1=2, b1=2, .点G在H的上方（如图①）， 小直线DE的解析式为y=一号 3x十2， 4 -3m+2=m2-5m+4, -b 2 解得m=3或m=3 H 当m=3时，y= 号×3+2=-2： 图① 设GH=t,故t=-m2+(1-b)m, 当m=号时y=-×号+2=9 9, 其对称轴为直线m之，且≥ 2 ∴点M的坐标为(3，-2)或（号，9） 分以下两种情况： 综上所述，点M的坐标为(3，-2)或（号，9）或 ①当号<1≤3，即-5<-2时， 由图②可知： (+亚2)(2). 4.解：(1).b=3,c=-4, y=2+3x-4=(x+)-25, P(-含) 当y=0时，x2+3x-4=0, 图② ·81 当m=1时，：取得最大值》=4， 4 獬得b=-3或b=5(舍去). ②当3时，得K-5,由图⑤可知： t个 图③ 当m=3时，t取得最大值-9十3一3b=4, 解得6=碧（会去）. 综上所述，b的值为一3. 5.解：(1)①，抛物线y=ax2十bx十c过点C( -3), ∴.c=-3,即y=ax2+b.x-3. .抛物线过点A(1,0),且b+4a=0, 0=a+b-3, 解得 1a=-1, 得 b+4a=0, b=4, .y=-x2+4x-3. .y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, .该抛物线顶点D的坐标为(2,1). ②把y=0代入抛物线y=一x2+4x一3， 解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0). .C(0,-3), ∴.OA=1,OC=3,OB=3. .点M在y轴负半轴上，∠MBO=∠ACO, ∴.在Rt△MBO中，∠MOB=90°， OM=OB·tan∠MBO=3tan∠MBO. .在Rt△ACO中，∠AOC=90°， am∠Ac0-82-3 ∴tan∠MB0=tan∠AC0=, ÷0M-3×号-1M0,-1). (2)由c-3a=0,b+4a=0, 得c=3a,b=-4a, 代入y=ax2+bx+c, 得y=ax2-4ax+3a, ∴y=a(x-2)2-a, ∴.y=a(x2-4x+3)=a(x-1)(x-3), ∴.A(1,0),B(3,0),C(0,3a),D(2,-a). 由点M在y轴负半轴上，∠MBO=∠ACO, 在Rt△MBO中，∠MOB=90°， OM=OB·tan∠MBO=3tan∠MBO, 在Rt△ACO中， ∠A0C-=90,an∠Ac0-9A- 1 0C=-3a ∴.OM=- a≠0. 1 ·抛物线与y轴负半轴相交于点C, 3a<0,即a<0M(0,）, 如图，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H, 0 M 在Rt△DHB中， ∠DHB=90°，tan∠BDH=BH=-1 HD 连接MA,在Rt△MAO中， ∠M0A=90,tan∠MA0=OM=- OA a, ∴.∠BDH=∠MAO, ∴.DH=BD·cos∠BDH=BD·cos∠MAO= BD·AO MA MA=号BD,∴BD=2MA, ∴DH=2MA·器-2A0, D(2,-a),A(1,0), DH=-a,AO=1,.a=-2 6.解：(1①：对称箱为直线x=2,-合-2， 解得b=一4. :点C的坐标为(0,3)，.c=3, ∴.抛物线解析式为y=x2-4x十3. 把x=2代入可得y=-1,.D(2,-1). ②如图①，过点N作NP⊥x轴，交x轴于点P, OA P/B 图① 当y=0时，可得0=x2-4x十3， 82· 解得x1=1,x2=3,∴.A(1,0),B(3,0). :OC=OB=3,.∠CBO=45° .AM⊥BC,./NAB=45°， ..AN=BN. NP⊥x轴，AP=PB=1,.P(2,0). 设直线BC的解析式为y=kx十b, (0=3k+b, 把(3,0)，(0,3)代入可得 3=b, k=一1， 解得 b=3, 直线BC的解析式为y=一x十3. 当x=2时，y=1,.N(2,1). 设直线AN的解析式为y=mx十n, 10=m+n, 把A(1,0),N(2,1)代人可得 1=2m+n, 解得/n=1, n=一1， .直线AN的解析式为y=x一1. 由x一1=x2-4x十3， 解得x1=1,x2=4, 当x=4时，y=3,.M(4,3). (2)如图②，过点M作y轴的平行线，交BC于 E,过点D作y轴的平行线，交BC于点F, M D 图② 把A(1,0)代入抛物线可得0=1+b+c, .b=-1-c, 故抛物线的解析式为y=x2一(c+1)x+c, 当y=0时， 0=x2-(c+1)x+c=(x-1)(x-c), 解得x1=1,x2=c, 故B(c,0),C(0,c). 设直线BC的解析式为y='x十b, 0='c+b, 把B(c,0),C(0,c)代入可得 b=c; k'=-1, 解得{ b'=c, ∴.直线BC的解析式为y=一x十c, 抛物线的对称轴为直线x=十1， 2 (,c+2） 4 过点M作y轴的平行线，交BC于点E,过点D 作y轴的平行线，交BC于点F, .ME∥DF BC∥MD, ∴.四边形EMDF为平行四边形， ∴.ME=DF :△COB为等腰直角三角形， ∴.∠CBO=45°，∴.∠MEB=45°. MN⊥BC,.ME=√2MN=√2BC, ∴.DF=√2BC 把x=生代入y=一+e 可得y=,1, 2 (岁， ..DF=c-1 _-c2+2c-1=c2-1 2 4 则可得分=②X2c, 解得c1=4+√17，c2=4-√17（舍去）， 点 .c=4+√17. 7.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx十c, -1-b+c=0, b=2, 得{ 解得 -9+3b十c=0,rc=3, ∴.该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. (2)①·y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=0时，y=一x2+2x十3=3， ∴.点C的坐标为(0,3) 设点P的坐标为(1，t)(t>0),则 PB2=(1-3)2+(t-0)2=t2+4, PC2=(1-0)2+(t-3)2=t2-6t+10, BC2=(3-0)2+(0-3)2=18, 当PB=BC时，PB2=BC, 则t2+4=18, 解得t=√14或t=一√14（不合题意，舍去）； 当PC=BC时，PC=BC, 则t2-6t十10=18， 解得t=3十√17或t=3-√17（不合题意，舍去）； 当PB=PC时，PB2=PC, 则t+4=t2-6t+10,解得t=1. 综上可知，点P的坐标为(1，√14)或(1,3十√17) 或(1,1). 83· ②如图，以OC,OB为邻边作正方形OBDC,分别 以点D,O为圆心，以OB的长为半径画圆分别交 直线x=1于点P2,P1,连接P1C,PB,P2B, P2C,根据圆周角定理可知，得到∠BPC= ∠BP2C=45°，即为所求的角. 如图，连接P1O,P2D. 由题意可知，P2D=3,ND=3-1=2, 在Rt△P2ND中，P2N=√32-22=√5， ∴.P2M=P2N+MN=√5+3， .P2(1,w√5+3)， 在Rt△PMO中，PM=√W32-1产=22， .P1(1,-2√2)， 综上可知，点P的坐标为(1W5+3)或(1，一2√2). 8.解：(1)①当b=-2,c=-3时， 抛物线的解析式为y=x2-2x一3=(x一1)2-4. ∴.顶点P的坐标为(1，-4). 令y=0,得x2-2x-3=0. 解得x=一1或x=3. ,点A在点B的左侧， ∴.点B的坐标为(3,0). ②根据题意，点M的坐标为(m,m一2m一3)，其 中1<m<3. 当x=0时，y=一3， ∴.点C的坐标为(0，-3)，.OB=OC=3. .MB=MC,∴.OM垂直平分BC, ∴.∠COM=∠BOM=45°， 即点M在第二、四象限的角平分线上， ∴.m2-2m-3=-m. 解得m=1一√3（舍去），m=1+√图 2 2 (2):点B的坐标为（一c,0), ∴.c2-bc+c=0. c<-1,∴.c-b+1=0,c=b-1, ∴.抛物线解析式为y=x2十bx+b一1， ·抛物线的对称轴为直线x=一名，点M的坐标 ·84 为(m,m2+bm+b-1). 在y=x2+bx十b-1中， 当x=0时，y=b-1=c, 点C的坐标为(0，c), 设直线BC的解析式为y=kx十b', ÷c+6=0,、jk=1, ”b=c, b'=c, .直线BC的解析式为y=x十c=x十b-1. 如图，过点M作ME⊥x轴，与BC相交于点E,则 点E的坐标为(m,m十b-1). ,OC=OB=-c,∠BOC=90°，∴.∠OCB=45. .ME⊥x轴，.ME∥OC, ∴.∠MED=∠OCB=45. ,MD⊥BC, MD .∴.ME= sin∠DEM=V2MD. -<m<-c, .'.ME=(m+b-1)-(m2+bm+b-1)=-m2+ (1-b)m. .MN⊥y轴， ∴MN=2[m-(-合)]=2m+6, ∴.w2MN+2DM=√2(MN+√2DM)=√2(MN+ ME). ∴W2MN+2DM=√2[-m2+(3-b)m+b] =[-(m32+8+6 “当m=3时， V2MN+2DM取得最大值②[3》+]， 》+6]=1vE 即b-2b-35=0. 解得b=7(舍去)或b=一5. m=3-（9-5)=4. 2 B组 9.解：(1).抛物线顶点P的坐标为(1，一1)， ∴.抛物线的解析式为y=a(x一1)2一1. 抛物线经过坐标原点， ∴.0=a(0-1)2-1, 解得a=1. ∴.抛物线的解析式为y=x2一2x. 当y=0时，x2-2x=0, 解得x1=0,x2=2. 点A的坐标为(2,0). (2)如图①，过点D作DC⊥x轴，垂足为点C,与 直线y=x一4相交于点B. 图① 点D在抛物线上， ∴.设点D的坐标为(t,t一2t), 则点B的坐标为(t,t一4). ∴.DB=t-2t-(t-4)=t-3t+4. 在直线y=x一4中，当y=0时，x一4=0， 解得x=4. 当x=0时，y=-4. .直线y=x一4与坐标轴的交点为M(4,0) N(0,-4). ∴.ON=OM=4. ,∠MON=90°， ∴.∠OMN=∠ONM=45°， .DC⊥x轴，ON⊥x轴，.DC∥ON, ∴.∠DBE=∠ONM=45°. 在R△DEB中，sn∠DBE-B器， DE 4√2 DB=sm∠DBE-sin4行=8， 则t2-3t十4=8，解得1=-1，t2=4. ∴.点D的坐标为(-1,3)或(4,8). (3)如图②，过点H作HI⊥FG于点I,过点K作 KL⊥FG于点L. 图② 点G是点F(1,0)关于点P(1,-1)的对称点， .点G的坐标为(1，-2). .OF=1,FG=2. .∠OFG=90°，∴.OG=√OF+FG=√5， ∴在R△0FG中，sm∠0GF-8E-5 ,点O和点A关于对称轴对称， .OG=AG=5,∠OGF=∠AGF ,直线1：y=kx十m(k,b为常数，k|<2)与抛物 线只有一个公共点， ∴.x2一2x=kx十m有两个相等的实数根. ∴.△=0，即(-2-k)2-4×1×(-m)=0, 解得m=一子2+识， “直线L的解析式为y=红一(2+. 设直线OG的解析式为y=1x, 把G(1,一2)代入，解得1=-2. .直线OG的解析式为y=-2x. 令-2x=kx-是(2+k, 解得a=子+2》. :在Rt△HIG中，sin∠OGF=H积 HG HI HG-sin2OGF-5(1-m). 设直线AG的解析式为y=k2x十b2, 把G(1,-2),A(2,0)代入， 得：+6=-2， 解得 k2=2, 2k2+b2=0, b2=-4. ∴.直线AG的解析式为y=2x一4. 令2x-4=红-子(2+2， 解得xx=子（十6）. :在Rt△KLG中，sin∠AGF= KG KL kG-sin∠AcF=v5(x-1D. ..HG+KG =√5(1-xH)+√5(xK-1) =5(1-xH十xK-1)=5(-xH十xK) =同[-子k+2)+4(k+6)】 -9(-6246+60 =√5. 85· 10.解：(1)①由b=一2，c=3,得抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. ,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.点P的坐标为(1,4). 当y=0时，-x2+2x十3=0， 解得x1=一1，x2=3. .点B的坐标为(3,0) ②如图①， P x=m D B 图① 当x=0时，y=3. .点C的坐标为(0,3). 设直线BC的解析式为y=kx十t,将B(3,0), C(0,3)代入， 3k+t=0, (k=-1, 得 解得 t=3. t=3. ∴.直线BC的解析式为y=一x十3. ,直线x=m与抛物线相交于点M,与BC相交 于点E, .点M的坐标为(m,-m2十2m十3)，点E的坐 标为(m,-m十3). ∴.ME=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, 其中0<m<3且m≠1. ,抛物线的对称轴与BC相交于点D, ∴.点D的坐标为(1,2) .PD=ME=2,即-m2+3m=2, 解得m1=1(舍去)，m2=2. ∴.m的值为2. (2)如图②，设抛物线的对称轴与x轴的交点为 点Q,过点M作MG⊥PQ,垂足为点G. 之 图② ,点B(c,0)在抛物线y=一x2一bx十c上，其中 c>0, ·86 .-c2-bc+c=0,得b=1-c. .抛物线的解析式为y=一x2+(c一1)x十c. .点M(m,-m2+cm-m+c),其中0<m<c且 n关1 2 顶点P的坐标为(2,2++）. 4 ∴.MH=-m2+(c-1)m+c. 当x=0时，y=c. 点C的坐标为(0，c). ..OB=OC=c, ∴.在Rt△BOC中，∠OBC=∠OCB=45°. ,NF⊥x轴，ME⊥x轴， .ME∥NF. 又.ME=NF, ∴.四边形MEFN是平行四边形. ∴.EF∥MN. ,MN⊥BC,即∠MNE=90°， ∴.∠MNE=∠NEF=90. ∴.在Rt△BEF中，∠EFB=∠OBC=45°， ..EF=EB. 又，ME⊥x轴， ∴.HF=HB=c-m,∠FEH=∠HEB=45. ∴在R△BEF中，EH=HF=HB=BF=G一m, ∴.FB=2FH=2c-2m. NF⊥x轴， ∴.在Rt△NFB中，∠FNB=∠OBC=45°. ∴.NF=FB=2c-2m, 即ME=NF=FB=2c-2m. .'ME-MH-EH, ∴.2c-2m=-m2+(c-1)m+c-(c-m), 即m2-(2+c)m+2c=0, 解得m1=2,m2=c(舍去). .点M的坐标为(2,3c-6). EF∥MN,∴.∠FEH=∠NME=45. .ME⊥x轴，PQ⊥x轴，∴.ME∥PQ. ∴.∠MPG=∠NME=45°. 在R△MPG中，an∠MPG-瓷-L MG=PG号-2- 4 -(3c-6), 即c2-12c+35=0, 解得c1=5(舍去)，c2=7. .抛物线的解析式为y=一x2十6x十7. 1.解：(1)：抛物线y=x2+mx-4m经过点A(2, 0), ∴.0=4十2m-4m,解得m=2. .抛物线的解析式为y=x2十2x一8. .y=x2+2x-8=(x十1)2-9， .顶点P的坐标为(-1，-9). (2)抛物线y=x2+mx一4m的顶点P的坐标为 (-受-子m-4m: 由点A(2,0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方， ∠AOP=60°，知点P在第四象限 记抛物线的对称轴与x轴的交点为Q,如图①. 图① 则tan60°-PQ QO :顶点P的坐标为(-空-m-4m, :意+4 1 =3, 2 解得m=-16-2√3或m=0(舍去). (3)由y=x2十mx-4m=x2+(x-4)m可知， 当x=4时，无论m取何值，y=16, 得点H的坐标为(4,16). 过点A作AD⊥AH,交射线HP于点D,分别过 点D,H作x轴的垂线，垂足分别为E,G,如图 ②，则∠DEA=∠AGH=90°. 0 G D 图② .∠DAH=90°，∠AHD=45°， ∴.∠ADH=45°，∴.AH=AD. ,∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°， ∴.∠DAE=∠AHG, ·87 .△ADE≌△HAG(AAS). ∴.DE=AG=2,AE=HG=16. .点D的坐标为(18，-2). 设直线DH为y=mx+e,将D(18,-2),H(4, 16)代入， 得 18m+e=-2, 解得 -, 4m+e=16, 7 ∴直线DH的解析式为y=一号z+18 7 :点P(-受，-子m-4m)在直线y=-号z+ 4上. -号×(-婴)+4s=-m-4m, 整理得7m2+130m+592=0, 解得m=一74m:=一8， 当m2=一8时，点P与点D,H不共线，舍去， 74 如图③，同理可得D(一14,2)， H 图③ 9x+116 同理可得直线DH的解析式为y= 9 :点P(-罗，-子m-m在直线y=名x十 g上. “号×(-罗)+6-子m-4m, 整理得9m2+130m十464=0， 解得m=-8(舍去)，m2=-58 91 m=-58 9 综上，m=-华或m=一的 2.解：(1)①将a=一1，c=3代入y=ax2-2ax十c, 得y=-x2+2x+3,即y=-（x-1)2十4， 其顶点D的坐标为(1,4) 令x=0,得y=3,即C(0,3), 令y=0,得0=-x2+2x+3, 解得x1=-1,x2=3,即A(-1,0),B(3,0). ②点P在第一象限，如图①， ∴.设P(m,-m2+2m+3),其中0<m<3. 图① 由①得D(1,4),A(-1,0),B(3,0),C(0,3), 则M(1,0),即MO=1. :点N在y轴正半轴上，∠NMO=60°， .在Rt△NMO中， NO=MO·tan∠NMO=3,即N(0,W3). 设直线MN的解析式为y=kx十b, 代入M(1,0),N(0W3), 0=k十b', 得 k=一√3， 6=3, 解得 b=√3， 故直线MN的解析式为y=-√3x十√3. 由PH⊥MN于点H,PE⊥x轴于点E,交MN 于点F, .F(m,-√3m十3)，E(m,0), ∠HFP=∠EFM=90°-∠FME=30°. 在Rt△PHF中，PF=2PH=2√3. :点P在第一象限， ∴.PF=-m2+2m+3-(-√3m+√3)， 即-m2+2m+3-(-√3m十√3)=2√3， 解得m1=√3-1，m2=3(舍去). 故E(W3-1,0). (2)由c=-3a(a<-1),点P与点C关于抛物 线的对称轴对称，得y=ax2一2ax一3a,对称轴 为直线x=1,C(0,-3a),P(2,-3a). y=a.x2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, ∴.顶点D的坐标为(1，一4a. 如图②，同(1)可得，在Rt△CGN中，∠GNC= 30°， '.GN= NC_2NC. cos∠GNC3 ·88 图② 2NC+√3MF=7√3， .GF-GN+NM+MF-(NC+5MP)+ 2OM=9. 在Rt△GPF中， PF=GF·cos∠GFP=GF·cos∠GNC=9y3, 2, 在Rt△MNO中，ON=OM·tan∠NMO=√3， 由P(2,-3a), 点F在直线MN:y=一√3x十√上， 则F(2,-3),PF=-3a-(-)=95, 2, 解得a=-73 6 :D1,一4a),顶点D的坐标为(1,45)。 3.解：(1)①把点A(3,0),点B(0,3)坐标代入y= -x2+bx+c, -9+36+c=0, b=2, 则{ 解得 c=3, c=3. .抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. ②由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4得点G的 坐标为(1,4). 设直线AB的解析式为y=x十， 把A(3,0),B(0,3)分别代入y=kx+m, 得/3论+m=0, k=-1, 解得{ m=3, m=3. .直线AB的解析式为y=一x十3. 由GH∥AB可设直线GH的解析式为y=一x十n. 把点G(1,4)代入y=-x+n, 解得n=5. .直线GH的解析式为y=一x+5. 由-x2+2x十3=-x十5， 解得x1=1,x2=2. 故点H的坐标为(2,3). .GH=√(2-1)2+(3-4)2=√2. (2)由c=3+ P(1,号》 得y+x+(3+)=-(x-)+ 1 当y=0时，2x+x+4=0, (3+0. 解得x1=一2，x2=4. 点A在点B的左侧， 故点c(台3+)， .A(-2,0). ②如图①，过点M作MH⊥x轴，垂足为H,交 直线1的解析式为y=3+b, BC于点Q, 把点A(3,0)向右平移1个单位，再向上平移3 个单位，得到点A'(4,3). 连接AA',则AA'∥BP,且AA'=BP. GM∥BP,GQ=BP, .AA'∥GQ,AA'=GQ. 0 如图，连接AQ,A'G,则四边形AA'GQ为平行四 图① 边形， 由①知B(4,0), ..AQ=A'G. 当x=0时，y=4, ∴.C(0,4),.OC=OB=4. ∠COB=90°，∴.∠CBO=45°， .在Rt△QHB中， ∠QBH=∠BQH=45°， B(N)- -A' ∴.BH=QH. 点M的横坐标为m, 作点O关于直线1的对称点O', Mm,-7m+m+4到，Hm,0, 则0(，6+品)： .BH=QH=4-m,.Q(m,4-m), 连接OG,则OG=OG. MQ=-号m+m+4-4-m)= 2m2+2m. .OG+AQ=OG+A'G≥OA', 在Rt△MNQ中， 即当点O,A',G共线时，OG+AQ的值最小，最 ∠MQN=∠BQH=45°， 小值为线段OA'的长. MQ-V2MN-/2x3_3 过点A'作A'N⊥y轴，垂足为N, 42 则AN=4,0N=3+ m+2m=号， 由勾股定理知ON+A'N2=OA'2, 解得m=1或m=3, 即(3+品)+4-(V丽 M1,2)或M(3,) (2)点B的坐标为(2c,0), 解得6=96s=190 7 ∴.-2c2+2cb+c=0, b>0,∴b2应舍去. 6=2c1 2 “抛物线的解析式为y=一x十 155 72 49 ∴地物线的解析式为)=一名r+2十。 14.解：(1)①b=1,c=4, B(2c,0),D(0,-2c)(c>0), 抛物线的解析式为y= 2x2+x+4= ∴.OB=OD=2c. 2x-1)+号 ∠BOD=90°， ∴.∠ODB=∠OBD=45°， ·89- BD=√OB2+OD=√(2c)2+(2c)2=2√2c. .MB⊥BD, ∴.∠OBM=45°. 如图，过点M作MG⊥OB,垂足为G, 则MG=BG, -r+2经 2m+c=2c-m, 解得m1=1,m2=2c, .M(1,2c-1). 过点D作DK⊥MD,使BM=DK,连接FK, MK. ∠BMD+∠BDM=90°， ∠KDF+∠BDM=90°， ∴.∠BMD=∠KDF. 又，'ME=DF,BM=DK, '.△BME≌△KDF(SAS), .BE=FK, '.BE+MF=FK+MF≥MK, ∴当点M,F,K共线时，BE十MF有最小值，最 小值为2√17，即MK=2√17， ..MK2=DK2+MD2=2BM2+BD2=68. .BM=√2MG, ∴.4MG+BD2=68, ..4(2c-1)2+8c2=68, 解得6=2,6=一号 .c>0,.c=2,∴.M(1,3). 15.解：(1)①当a=1,c=一3时，抛物线的解析式为 y=x2+b.x-3, 将A(一1,0)代入抛物线的解析式， 得1-b-3=0. .b=-2. .抛物线的解析式为y=x2一2x-3. y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线顶点P的坐标为(1，一4). ②如图所示，过点M分别作x轴和y轴的平行 线，分别交直线BC于点E,F. ·90 C E 之二才M 将y=0代入y=x2-2x-3, 得x=一1或x=3. .B(3,0). 将x=0代入y=x2-2x-3,得y=-3. .C(0,-3),∴.OB=OC .∠OBC=45°. ,EM∥x轴，MF∥y轴， ∴.∠FEM=45°， ∴.△OBC,△EMF都是等腰直角三角形. .EF=√2FM,BC=√2OB=3√2. EF-号BC./FM=-号BC=2E. 3 ∴.FM=2. 设直线BC的解析式为y=kx十n, 把B(3,0),C(0,-3)代入上式， 3+=0 1k=1, 得 n=-3, n=-3, y=x-3. .M(m,yw)(m>1), 把x=m代入y=x2-2x-3, 得yM=m2-2m-3, .M(m,m2-2m-3). .F(m,m-3). ∴.FM=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m. .-m2+3m=2. 解得m=1或m=2. ,m>1,.M(2,-3). (2)把A(-1,0)代入抛物线y=ax2+bx十c, 得a-b+c=0. 1b=-2a, c+3a=0,. c=-3a, .y=ax2-2a.x-3a. 将y=0代入y=ax2-2ax-3a, 得x=-1或x=3. .B(3,0). 将x=0代入y=ax2-2ax-3a=-3a, .C(0,-3a). “抛物线的对称轴1为z=一2受。=1。 .顶点P的坐标为(1，-4a). .NG⊥直线l,∴.NG=1. 作点B关于y轴的对称点B'(一3,0)，将B向右 平移1个单位(NG的长度)，如图， 得到点B(一2,0)，连接NB,GB". M .BB"∥NG且B'B"=NG, ∴.四边形BB"NG为平行四边形 ..GB"=NB'=NB. ∴.NB+GM=BG+MG≥B"M, 当B,G,M三点共线时，NB十GM的值最小，最 小值为BM的长. .M(m,yMw)(m>1), 把x=m代入y=ax2-2a.x-3a, 得yM=am2-2am-3a, ∴.M(m,am2-2am-3a). 过M作MQ⊥直线I于点Q, ∴.OB∥QM. ,MP∥BC,OB∥QM, ∴.∠OBC=∠QMP. tan∠OBC=tan∠QMP.OB-. ,QP=(am2-2am-3a)-（-4a)=am2-2am+ a,QM=m-1, 3aami2ama(d>0), 3 m-1 .m=1或m=2. .m>1,.m=2..M(2,-3a). 过点M作MR⊥OB,垂足为R, 在Rt△RB"M中， BMP=BR2+RP=42+(3a)2=(2√5)2， :a>0,a=g.M(2,-2). 3· 16.解：(1)①若b=-2,c=3, 则抛物线y=a.x2+bx十c=ax2-2x十3. 抛物线y=ax2+bx十c与x轴相交于点B(1, 0), ·91 ∴.a-2十3=0，解得a=-1. .抛物线的解析式为y=一x2一2x十3=一（x十 1)2+4. .顶点P的坐标为（一1,4） ②当y=0时，-x2-2x十3=0， 解得x1=1,x2=-3, ∴.A(-3,0) 设直线AP的解析式为y=x十m, 将A(-3,0),P(-1,4)代入， |-3k+m=0, k=2, 得一k十m=4, 解得 m=6, ∴.直线AP的解析式为y=2x十6. ,M为直线AP上方的抛物线上的动点，过点M 作MG⊥x轴与AP相交于点G,如图①， ◆y XG 图① .设点M(t,-t2-2t+3)(-3<t<-1), 则G(t,2t十6). ∴.MG=-t2-2t+3-2t-6=-t-4t-3= -(t+2)2+1. .当t=一2时，MG取得最大值1. .点M的坐标为(-2,3)，点G的坐标为（一2,2）. (2).A(-3m,0),B(m,0), 对称轴为x=一30十m=一m. 2 ∴.点Q的坐标为(-m,0)..AQ=2m. EF⊥AP, ∴.∠PDF=∠PDE=90° ∴.∠PAB+∠APQ=∠PFD+∠APQ=90°， ∴∠PFD=∠PAB=90°-∠APQ=60°. 过点E作EH⊥PQ于点H,如图②. 图② .∠EHF=90°，EH=AQ=2m, 在Rt△EHF中， sin∠EFH=EH EF,tan∠EFH=EH FH' ..EF= EH=43, sin60° 3m, FH- EH_2√5 tan60° 3. 如图@，把线段AF向上平移2m个单位长度， 向左平移2m个单位长度，得到线段RE,点F与 点E重合. AF=RE,点R的坐标为（一5m,2gm）。 在R△PAQ中，ian∠PAB-8 .PQ=AQ·tan60°=2√3m. .点P的坐标为(-m,2√3m). 当点P,E,R在同一条直线上时，PE十EF十AF 取得最小值， ..PE+EF+AF=PR+EF=12. .PR十EF= V(-5m+m+(2gm-25m+4g。 3 m V4m+(gm)+45 3m+43 8 =4√3m. 可得4√3m=12, 解得m=√3. ∴.点P的坐标为（一√3,6），点B的坐标为(3,0) 设抛物线的解析式为y=a(x十√3)2+6， 把B(W3,0)代入， 解得a=一2 ∴a的值为- 17.解：(1)①，a=1,2a十b=0, .b=-2, 则抛物线的解析式为y=x2一2x十c, 把A(-1,0)代入上式得c=-3, ∴.抛物线解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， 则点P的坐标为(1，一4) 令x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴点B的坐标为(3,0) ·92 ②.B(3,0),C(0,-3), .设直线BC的解析式为y=x一3， 把B(3,0)代入，得k=1, .直线BC的解析式为y=x一3. 如图①，设点D的坐标为(m,m2一2m一3)， 则点E为(m,m一3)，F为(m,0), 则DE=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m, EF=-m十3， D 图① Sam=号×3X(-m2+3m)=- 2n2+9 2 .OB=OC=3, ∴.∠OBC=45°，则BF=EF=-m+3, Sa=号（-m+3)=m2-3m+号， S1-S2=SAcD=S△Er=一2m十2m9、 2 -2m-g)'+2 当m=号时，S-S取得最大值， 故当S,-5,取最大值时，点D的横坐标为号 (2)如图②，作QH⊥x轴于点H,MN⊥x轴于 点N,取点G(-1,-4),连接GM,AG,PM. 图② ,∠QAH+∠AQH=90°， ∠QAH+∠MAN=90°， .∠AQH=∠MAN. 又∠AHQ=∠MNA=90°，AQ=AM, .△AHQ≌△MNA(AAS), ∴.QH=AN=3,AH=MN, ∴.N(2,0). ∴点M在直线x=2上运动. ,'AB=AG=4,∠GAM=∠BAQ,AM=AQ, ∴.△AGM≌△ABQ(SAS), ∴.GM=BQ, 则BQ+PM的最小值即是GM+PM的最小值. 作点G关于直线MN的对称点G(5,一4). 当P,M,G三点共线时，GM+PM的值最小. 即PG'=4√2. 由题意可得，y=ax2-2ax-3a, ∴.顶点P为(1，-4a), 则(5-1)2+(-4+4a)2=(4√2)2， 解得a=2,a=0(舍)， 则P(1,-8). 设直线PG的解析式为y=ex十n, /e+n=-8, l5e+n=-4, 解得e=1, n=-9, .直线PG解析式为y=x一9. 令x=2,则M(2,-7). .AH=MN=7, .0H=7-1=6.∴.Q(6,3). .M(2,-7),Q(6,3). 18.解：(1)把点B(4,0),C(0,2)代入y=-22+ bx+c, -8+4b+c=0, b 、3 可得{ 解得 2 c=2, (c=2. “抛物线的解析式为y=一方十号： T2x+2. (2)如图①， 图① 设直线CB的解析式为y=kx十n, 把B(4,0),C(0,2)分别代入y=x十n, 得+n=0,】 解得 n=2, (n=2. 直线CB的解析式为y=一2x+2. 设点P(m,-名m2+是m+2), 1 则点D(m,-2m+2), ·93 2m2+3 则PQ=-1m m+2, DQ-- 1 2m+2. 当PQ=3DQ时， 有-m+m+2=3(-m+2, 解得m1=2,m2=4(此时点P与点B重合，不满 足点P在第一象限，舍去) 当PQ=3PD时，即DQ=号PQ 有-名m+2=号（-m+2m+2, 1 解得m=2,m=4(此时点P与点B重合，不 满足点P在第一象限，舍去). ∴.当点D是线段PQ的一个三等分点时，m的值 为2或7 (3)如图②，过点E作EH⊥FE,并截取EH= FB,点H在第四象限，连接NH, 则∠BEH+∠FEB=90°. ---H 图② 由∠FBE=90°，有∠EFB+∠FEB=90°， ∴∠BEH=∠EFB. 又.EH=FB,EN=FM, ∴.△ENH≌△FMB(SAS), ..BM=NH, ∴.BM+FN=NH+FN≥FH, 即当点F,N,H共线时，BM+FN的值最小， 如图③，连接FH. A G M 图③ ,OE=OB=4,∠BOE=90°， .BE=4√2，∠OBE=45°. 设点F(,-r++2),过点F作FG1轴， 垂足为G, 则FG=-2+多+2. :∠OBE=45°，∠FBE=90°， ∴.∠FBG=45°， ∴.BG=FG, 即4-=一26+2+2. 解得t1=1,t2=4(不合题意，舍去)， F(1,3), ..BG=FG=3,FB=EH=32. 在Rt△EFB中， EF=√FB2+BE=5√2. 在Rt△EFH中， FH=√EF2+EH产=2√I7, 即BM+FN的最小值是2√17. 19.解：(1)①.a=-1,2a十b=0, .-2十b=0,解得b=2, .抛物线的解析式为y=一x2十2x十c. 将A(一1,0)代入抛物线解析式， 得-(-1)2+2×(-1)+c=0,解得c=3, .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3， 顶点横坐标为2=一品一2X2-D1, 2 此时y=4,P(1,4). 当y=0时，-x2十2x+3=0, 解得x=3或x=一1， ∴.B(3,0),.P(1,4),B(3,0). ②如图①，过点M作直线k∥PB,由题意知，当 直线k与抛物线相切时，MN的值最大. 345 图① 设直线PB的解析式为y=kx十m, k十m=4,解 则有3k十m=0, k=-2, (m=6, .直线PB的解析式为y=一2x十6， ∴.可设直线的解析式为y=一2x十n, 联立 y=-2x+n, y=-x2+2x+3, 整理得x2-4x十n-3=0, .△=42-4(n-3)=0,解得n=7, 代入方程，得x2-4x十4=0，解得x=2, .M的横坐标为2， 即m=2. (2)如图②： 5 G A IDAB -210 .12345x 图② 由题意知，抛物线的解析式为y=ax2-2ax十c. A(-1,0), ∴.有a十2a十c=0,解得c=-3a, ∴.抛物线解析式为y=ax2-2ax一3a=a(x2 2x-3)=a(x+1)(x-3), .B(3,0),P(1,-4a),D(1,0),PD=-4a. 过点P作PG⊥PE,且PG-PD=-4a, ∴.G(1-4a,-4a). 在△GPE和△PDF中， (GP=PD, ∠GPE=∠PDF=90°， PE=DF, ∴.△GPE≌△PDF(SAS), ∴GE=PF .EA=EB, ∴.BE+PF=AE+EG, 当A,E,G三点共线时，AE十EG最小，最小值为 AG的长. A(-1,0),G(1-4a,-4a), .AG=√(-1-1+4a)2+(0+4a) =√(-2+4a)2+(4a) =√32a2-16a+4 =√32(a2-2a+g =√32(a-)+2 当√32(a-)+2=2v5时， 94 解得a=1或a=- 2 :a<0, a= 0 20.解：(1)①b=2, ∴.抛物线解析式为y=一x2十2x十c, 图① 将A(-1,0)代入，得-1-2+c=0, ,将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段 解得c=3, MN, .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3=一(x .MN=MB,∠BMN=90°， 1)2+4. .△BMN是等腰直角三角形，∠MBN=45°， 抛物线的顶点为D, 鼢 ∴点D的坐标为(1,4). EF⊥BE,EF=BE, ②令y=0,则-x2+2x十3=0， .△BEF是等腰直角三角形， 解得x1=一1，x2=3, .B(3,0). ∠EBF=46,8能=E, 令x=0,则y=3,.C(0,3). ∠MN=∠EBr8器-， ,抛物线y=一(x一1)2+4的对称轴为直线x= ∴.∠MBN-∠MBF=∠EBF-∠MBF, 1, 即∠NBF=∠MBE, .E(1,0). ∴.△BFN∽△BEM, 设直线BD的解析式为y=kx十n, .FN BF 将B(3,0),D(1,4)代人， ·EMBE =√2，∴.FN=√2EM=2. 得/36+n=0,】 十n=4,解得 k=一2， n=6, ENCEF+-FN,EN≤+2. .直线BD的解析式为y=-2x十6. 即EN, 点P是线段BD上一点， .设P(t,-2t+6)(1≤t≤3). ·当E,F,N三点共线时，EN取得最大值十5 , .PE=PC,..PE2=PC2, 此时N(2,告) .(t-1)2+(-2t+6)2=t+(-2t+6-3)2, 过点M作MH⊥x轴于点H,作NG⊥MH于点 解得t=2, G,如图②. 点P的坐标为(2,2) (2)将A(一1,0)代入抛物线的解析式， G 得-1-b+c=0,.b=c-1, ∴.抛物线的解析式为y=一x2+(c一1)x十c, …抛物线的对称轴为x=。 2 E(22,o). 图② .MH⊥x轴，NG⊥MH, 令y=0,则-x2+(c-1)x十c=0, ∴.∠MHB=∠G=90°， 解得x1=-1,x2=c, ∴.∠BMH+∠MBH=90°. .B(c,0), ,'∠BMH+∠NMG=90°， BE=c号=安 ∴.∠MBH=∠NMG. 又，BM=MN, 如图，过点E作EF⊥BE,使得EF=BE,连接 ∴.△BMH≌△MNG(AAS), BF,BN,FN,如图①. ∴.BH=MG,MH=NG. ·95- 设BH=MG=m,MH=NG=n, m+n=c+5 2’ 由坐标系可得 m-n-ct1 2 解得 /n十 2’M23,1: n=1, 又，点M恰好落在抛物线y=一x2+(c一1)x十 c上， ·-(23)+c-1).23+=1, 2 整理得c2+2c-7=0, 解得c1=2√2-1，c2=-2√2-1（舍去）， .c的值为2√2-1. 21.解：(1)①.c=3, ∴.点A的坐标为（一3,0），抛物线的解析式为y= ax2+6x+3. .2a-b=0,.b=2a..y=ax2+2ax+3. 抛物线与x轴相交于点A, .9a-6a十3=0，解得a=-1. .抛物线的解析式为y=一x2一2x十3. ②.抛物线与y轴相交于点C, .当x=0时，y=3. ∴点C的坐标为(0,3) 如图①，过点C作CG⊥DM,与DM相交于点G. 0 B 图① ,S1=S2, .S△cHM+S△AHM=S△cDH+S△ADH. 2HM·CG+2HM·AM=合DH·CG+ 2DH·AM, HM(CG+AM)-DH(CG+AM). 2 ∴.HM=DH 点H为DM的中点. 设直线AC的解析式为y=x十3，将A(一3,0) 代入， 得-3k十3=0，解得k=1. ·96 .直线AC的解析式为y=x十3. ,点M的横坐标为m,MD⊥x轴，与抛物线相交 于点D, ∴.点M(m,0)(-3<m<0), D(m,-m2-2m+3),H(m,m+3). 可得m+3=一m2-2m十3+0 2 解得m=-1,m2=-3(舍去). .点M的坐标为(-1,0). (2)如图②，在AC右侧作等边三角形ACQ,CQ 与x轴相交于点T,连接MQ,NQ. B x 图② ∴.AQ=AC=QC,∠AQC=60° :点A(-G,0,点C06,点B(停0， ∴0A=c,0C=c,OB=3。 . ∴在R△0BC中，an∠CB0-S%=5, .∠CBO=60°. .∠QTB=∠QAM+∠AQC=∠QCN+∠CBO, ∴.∠QAM=∠QCN. 又.'AM=CN, ∴.△AMQ≌△CNQ(SAS), '.QM=QN,∠AQM=∠CQN, ∴.∠MQN=∠CQN+∠MQC=∠AQM+ ∠MQC=∠AQC=60°， '.△MQN是等边三角形， ..MQ-MN-QN, ∴.CM+MN=CM+MQ≥CQ. 当点C,M,Q在同一条直线上时，如图③， CM+MN取得最小值3√2，即CQ=3√2. y 图③ .AC=CQ=3√2. 在Rt△AOC中， AC=V√OA2+OC=√2c. √2c=3√2，獬得c=3, .A(-3,0),B(W3,0),C(0,3). 设抛物线的解析式为y=a(x十3)(x一√3)， 心把C(0,3)代入，解得a=- 3 a的值为-5 3 C组 22.解：(1).顶点D(1,-4), 二1， a=1, 解得 (a+b-3=-4, b=-2, ∴.抛物线的解析式为y=x2一2x一3， 令x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, .点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0). (2),抛物线y=a.x2+bx-3与y轴交于点C, .点C的坐标为(0，一3). 点A的横坐标为一1， .b=a-3, “点B的坐标为日0）以 ,点E为线段BC的中点， “点E的坐标为（层，）】， 由题意可得，直线AC的解析式为y=一3x一3， 直线EF的解析式为y=-3z十》多， 进而得点F的坐标为（县司0）： ,EF∥AC, Sc=S6Aer=2·(8+2）·8=6, 解得a=司 (3)点B的横坐标为3， ∴.b=1-3a, .抛物线的解析式为y=ax2+(1一3a)x-3, “对称轴为直线x=3a,一] 2a 点C的坐标为(0，一3)， ∴.OC=OB, .∠OCB=∠OBC=45°. ∴.直线BC的解析式为y=x一3. 。9 过点P作PE'⊥x轴交直线BC于点E',如图， D 设点P的坐标为(m,am2十(1一3a)m一3)， (<m<3) 则点E的坐标为(m,m一3)， 则Q2(a-。, 号rE=PE=-m+， PQ+号PE=-m+a生m3a。1 2 a m-(+”+24 8a 当m-号+名时，PQ+号PE取得最大值为 a 2 4 解得a-4或a-号（合去）。 .a的值为4. 23.解：(1)①抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c为常 数，a≠0，b<0)的对称轴为直线x=b,且b= -1, 1=-1,解得a=一 2a 2 y=一 2x2-x+c. 1 把A(2,0)代入，得0=-号×22-2+c, 解得c=4,y=一名-x十4 :抛物线与x轴相交于点A和点B,且对称轴为 直线x=-1,A(2,0), :十2=-1，解得xB=一4， 2 .B(-4,0). ②2b-2<m<0,且b=-1, .-4<m<0. :抛物线y=一名x-x十4与y轴相交于点C, .C(0,4), ..OB=OC=4. 如图①，设PM,BC交于点Q, ∴.c=2-2b. ,点Q(2b-3,ya)在抛物线上， 0=-号(26-3)1+6(26-3)+c=3动-号十 c=36- +2-26=6-8， Q(2b-3,6-8) 图① ∠BOC=90°， b0,2630,6号<0， ∠0BC-2180-∠B00)=46. ∴.点Q在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方， 如图②，将QM绕点Q逆时针旋转90°得到QN, .PM∥y轴，PN⊥BC, .∠MPN=45°，∠PNB=90°， 过点Q作QH⊥MN于点H,则∠NQM=90°， I V .PQ=√2PN. 设BC的解析式为y=kx+b1,把B(一4,0)， C(0,4)代入， 0=-4k+b1, k=1, 得 解得〈 4=b1, b1=4, 0 ∴.BC的解析式为y=x十4. 图② :P(m,-2m-m+4, 由旋转的性质得QM=QN, 则Q(m,m+4), ÷∠QMN=∠QNM=2×(180°-∠NQM0= ∴PQ-(←-m2-m+4)-(m+)= 2n2 45°， 2m. '.MN=√2QM,△MNQ是等腰直角三角形， M(m,0),A(2,0),.AM=2-m, .'QH⊥MN, :J/2PN+AM-PQ+AM--Tm-2m+2- ÷∠NQH=∠MQH=2∠NQM=45,NH= m3m+2m+3) MH, 21 ∴QH=NH-MH-号-b, -7<0 :点A和点B关于x=b对称， 当m=一3时W2PN+AM有最大值为号， .xB=2b-2,B(2b-2,0) 当MN与x轴重合时，即M,N,A三点共线， 此时，-m2-m十4=-号×(-3)-(-3)十 此时，MN+AM有最小值， 即√2QM+AM有最小值. P(-3,) Q(2b-3,6-8）H26-3,0. .M(m,0), (2),抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠ ∴.MH=m-(2b-3)=3+m-2b, 0,b<0)的对称轴为直线x=b, 1 3+m-26=号-6， ∴抛物线的解析式为y=一 2*+bx+c. 即6}+m A(2,0), “VEQM+AM的最小值为职， 则0=-号×2+26+6=0， NH+MH+AM-39 41 ·98· ,A(2,0),.AM=2-m, ∴号-6+号-6+2-m-2。 4 即6=一-名-7m -号7m=+m, 解得m=一， 则6=2+(-)=-是 24.解：(1)，点E(1,1)在抛物线y=x2+bx+c上， 且c=-1, .1=12+b×1-1, 解得b=1, .抛物线的解析式为y=x2十x一1. ,·抛物线的顶点为P,且抛物线的对称轴为直线 1 1 x=-2X=-2' “把x=-2代入y=2+x-1, 得y=(2》-名+1=--1=-， 即P(-合-) 抛物线与y轴相交于点C,且抛物线的解析式 为y=x2+x-1, 令x=0,则y=一1， 即点C的坐标为(0，一1). ,点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，且抛 物线的对称轴为直线x=一合， -3-[0-(-2]=-1, 点D(-1,-1). (2),点E(1,1)在抛物线y=x2十bx十c上， ∴.1=12+b×1+c,.1=1+b+c, 解得b=一c, .抛物线的解析式为y=x2一cx十c, 此时抛物线的对称轴为直线x=一2X1=2: 抛物线的顶点为P, 把x=号代入y=x2-cx十c, 得y(》-cx+=+e, 即P(台-+d: ,抛物线与y轴相交于点C,且抛物线的解析式 ·99 为y=x2-cx十c, 令x=0,则y=c,即C点的坐标为(0，c). :点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，且抛 物线的对称轴为直线x=乞， 气-(0-)=c,点Dc,c. CP∥OD,∴.kr=kD. P(台，一+)，De,0,0为坐标原点，C0, c), c2 则kcp= 4十c-c -0 4 2 kw-8-1 :km=m-号=1，解得c=-2, 号1 、c2+c=一二22兰+(-2)=-3， 4 即P(-1,-3), .C(0,-2), 则CP=√(-1-0)2+[-3-(-2)]2=W1+1= √2. (3):点E(1,1)在抛物线y=x2+bx十c上， .1=12+b×1+c,.1=1+b+c, 解得b=-c, .抛物线的解析式为y=x2一cx十c, 此时抛物线的对称轴为直线x=一2一分· ,抛物线的顶点为P, “把x=台代入y=x2-cx十c, 得)=(》-e×号+=学+， 即P(台-+e: ,抛物线与y轴相交于C点，且抛物线的解析式 为y=x2-cx十c, 令x=0,则y=c,即C点的坐标为(0，c). ,点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，且抛 物线的对称轴为直线工=乞， “气-(0-)=c,点Dc,, a如-8-1 ,抛物线上点M的横坐标为m,且抛物线的解析 .-8c2-16c+64=0, 式为y=x2-cx十c, 整理得c2+2c-8=(c-2)(c+4)=0, ..M(m,m2-cm+c). 解得C1=2,c2=-4. .PM∥OD, c<0,.c=-4, -m+c一(-+ 则2c-2+9-4)--1, 2 2 .kvp= =kD=1, m-号 4+4c-c2=4+4X(-4)-（-4)2=-7, 4 4 则m-m+c-(-+)=m-台， .M(-1,-7). 25.解：(1)2a十b=0,a=1, b=-2. 整理得(m-)°=m一气 六该抛物线的对称轴为=品-1 c=-1, <m<0,m-=1， .该抛物线的解析式为y=x2一2x一1， .顶点P的坐标为(1，-2). m=1+登 (2),OB=OC,C(0,c),且抛物线与y轴的负半 m2-cm+c=(1+)”-c(1+)+c=1+ 轴交于点C,故c<0. .点B的坐标为（一c,0),得BC的解析式为y= c--4+C, 4 x-+c. ∴.点B关于对称轴直线x=1的对称点A(2十c,0). 即M2告，牛巴). 4 “点E在BC:y=x十c上，且点E的横坐标为一令， Dc,eP(台，-+c, “点E的坐标为-台，) Dp=(c-)}°+[e-(-+c)] 4c2+c AE=√(--2-d)‘+(5-0)=25, 16 8 解得G=-4,c2= Mm=(2告-》'+[-(-台+] 1+1=2, 00.ia=8合去 点E的坐标为(2，一2). Mm-(2空-)+[+-]-2+ (3).2a+b=0, 4-c22_4(2-c)2+(4-c2)2 16 16 “该抛物线的对称轴为=一品-1。 连接DP,如图， .OC=√3OB, ∴.设点B(t,0),则点C(0,一√3t),t>0. :点A,B关于对称轴x=1对称， .AB的中点D的坐标为(1,0). 连接DH,如图， .DM⊥PM, '.在Rt△DPM中，DP2=DMP+PMP, 即4c2+c=4(2-c)2+(4-c2)+2, 16 16 整理得4c2+c4=4(2-c)2+(4-c2)2+32, 则4c2+c4=4(4-4c+2)+(16-8c2+c4)+32, ∴.4c2+c=16-16c+4c2+16-8c2+c4+32, ·100· ,H是弦MN的中点，DH⊥MN于H. 点H在以DG为直径的圆上， 则该圆的圆心F的坐标为中1,2+9)， 2 ∴.F(0w3), 且半径r=DF=√(0-1)2+(W3-0)2=2, 连接CF交⊙F于点H', 即可得CH的最小值=CF-r=4√3-2. .CF=4√5-2+r=45. √3-(-√3t)=4√3， 解得t=3. .B(3,0),A(-1,0),C(0,-33). 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x一3)， 将点C(0,-3√3)代入， 得-3√3=a(0+1)(0-3), ∴.a=√3. ∴.y=√3(x+1)(x-3)=√3x2-2√3x-3√3. .顶点P的坐标为(1，一4√3). 26.解：(1)当b=1时，抛物线y=-x2+bx十c的解 析式为y=一x2十x十c, 将点A(-1,0)代入可得0=-1-1+c, 解得c=-2, .抛物线的解析式为y=一x2十x十2. “y=-2+x+2=-(x-2)°+是 “点P的坐标为分，）： (2)将A(-1,0)代人抛物线y=一x2+bx十c可 得0=-1-b+c, ∴.c=b+1, ∴.抛物线解析式为y=一x2十bx十b+1, 当x=0时，y=b+1,即C(0,b+1). y=-x2+bx+(b+1)=-(x+1)[x-(b+ 1)], ∴.当y=0时，x=-1或x=b+1, .B(b+1,0), ∴该抛物线的对称轴为x=一1+6十1=点 2 2, 即顶点P的横坐标为名， “顶点P的纵坐标为y=-()+b·台十6十 10=+6+1, P(会，客+叶) ·101 设直线PC的表达式为y=kx十m, 〔m=b+1, 则多十m-十61郎得园 (m=b+1, “直线PC的表达式为y=名+6+1. 当y=0时，0-名x+6+1, 解得x=-2(6+1) b D(-2h.o). cD-√[0+2。]++1-0. CB=√(b+1-0)2+[0-(b+1)]=√2(b+1). .CB=CD, V[0+26]+6+1-0=26+1, 解得b=2. (3).B(b+1,0),C(0,b+1), ..OB=OC=6+1, 即∠OCB=∠CBO=45°. 如图，过点B作直线BE与y轴的正半轴相交于 点E,且∠CBE=30°. .∠EBO=∠CBO-∠CBE=15°. y C M B x 过点M作MQ⊥BE,垂足为Q, 可得MQ-号MB, :.2PM+MB-2(PM+>MB)-2(PM+MQ. ∴.当点P,M,Q共线时，2PM+MB取得最小值. ∠PQB=∠PFB=90°， ∴.∠QPF=∠EBO=15. .∠MPB=∠OBC=45°， .∠FPB=∠MPB-∠QPF=30°. 在R△PFB中，am∠FPB-票， 得PF=√3BF, 营+b6+1=(+1-》, 即（台+1）°=（名+： 6>0,台+1≠0， 合+1=6=25-2 27.解：(1)x1,2是x2-2x一3=0的两个根， .x1=-1,x2=3, A(-1,0),B(3,0). ,抛物线y=ax2十bx十3与x轴相交于A, 两点， /a-6+3=0, 解得 a=-1, 9a+3b+3=0, b=2, .抛物线的表达式为y=一x2十2x十3=一(x 1)2+4, 则该抛物线顶点P的坐标为(1,4). 【(2)5a=-1,c=46 y=-2+证+4-=-(x-2)}'+4, “抛物线的顶点坐标是（会4） 6>0,且名-1≤2≤b+1, y最大值为4， 6+1)-引-（合-）-=>0， ∴.当x=b+1时， y取得最小值为一。-b十3. 该二次函数的最大值与最小值之差为9， 4-(-年-6计3)=9， .b=一8（舍去）或b=4, .b=4. (3)x1+x2=-2,x1·x2=-3, 可得y=ax2+2ax-3a, ∴.b=2a,c=-3a, A(-3,0),C(0,-3a). 当a>0时，如图， 将△AOD绕点O顺时针旋转60°至△A'OD',道 接A'C,作A'E⊥CO于E, .OD'=OD,A'D'=AD,∠DOD'=60°， .△DOD'是等边三角形， .DD'=OD, ∴.AD+OD+CD=A'D'+DD'+CD≥A'C, .当C,D,A'共线时，AD十OD十CD最小. 在Rt△A'OE中， ∠A'OE=30°，OA'=AO=3, AE=号，0E=5A0-39, 21 .CE2+AE2=A'C2, (3a+3}产+()-(363)， a1=1,a2=-(W3+1)(舍去)，a=1. 当a<0时，如图， 将△AOD绕点O逆时针旋转60°至△A'OD',连 接A'C,作A'F⊥CO于F, ∴.OD'=OD,A'D'=AD,∠DOD'=60°， ∴.△DOD是等边三角形， ∴.DD'=OD, ..AD+OD+CD=A'D'+DD'+CD>A'C, .当C,D,A'共线时，AD十OD十CD最小. 在Rt△A'OF中， ∠A'OF=30°，OA'=A0=3, Ar=2,0r-9A0-35 2 .CF2+A'F2=A'C2, (-a+3￥9)+(》-(3632)， ∴.a1=-1,a2=√3+1（舍去）， ∴a=-1. 综上，a=1或-1. 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)抛物线经过点A(-2,0)和点M(0,4), 10 ∴.4a-2b+c=0,c=4. 102· b=3, ..4a-6+4=0, 1 .a=2' 抛物线的解析式为y=2x+3x十4， x=-b=-3,w=4ac-=- 2 ∴顶点D的坐标为(-3，-) (2).点D在直线y=x十2上， .设抛物线的顶点D的坐标为(xp,xp十2)， y ①·D(xp,xD+2),M(0,4),A(-2,0), ∴.DM=x品+(xD-2)2=2x品-4xD+4, DA2=(xD+2)2+(xD十2)2=2x品+8xn+8. DM=DA,即DMP=DA2, ∴.2x品-4xD+4=2x品+8xD十8， 解得0=一号则0十2=号 ∴点D的坐标为（一日，）： 则抛物线的解析式为y=a(c+)》'+ 3 把A(-2,0)代人解析式，可得a=一是， 51 ②D(1,3). 2.解：(1)抛物线y=x2+bx十c过点A(0,1),B(2, -1),且a=1, 1b=一3， …4+26+c=-1 解得 c=1. .抛物线的解析式为y=x2一3x十1. y=x-3z+1=(x-)-是， “抛物线的顶点坐标为（受，一）， (2):抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,1), B(2,-1),且a=1, /1, 4a+2b+c=-1, 得b=-2a-1(a>0). .y=ax2-(2a+1)x+1(a>0). 10 在1≤x≤3范围内，y的最大值只可能在x=1或 x=3处取得. 当x=1时，y1=一a;当x=3时，y2=3a-2. ①若为≤%，即-a≤3a-2,则>≥2， 3a-2=2,得a=号； ②若h≥%，即-a≥3a-2,得0<a≤2， .-a=2,得a=-2(舍去). 综上a的值为学 (3)由A(0,1),B(2,一1)，得射线BA的解析式为 y=-x十1(x≤2)，而抛物线y=a.x2十bx十c十3a -1=ax2-(2a+1)x+3a. :射线BA与抛物线在x≤2范围内仅有一个公 共点， .令a.x2-(2a+1)x+3a=-x+1. 整理，得ax2-2ax十3a-1=0. 由题意，该方程在x≤2的范围内仅有一个根或者 有两个相等的实数根. ①当方程ax2-2a.x十3a一1=0有两个相等的实 数根时，△=0， 得4a2-4a(3a-1)=0, 1 解得a1=0(舍去)，a2=2 ②当△>0时，开口向上且对称轴为直线x=1的 抛物线y=ax2-2ax十3a一1在x≤2的范围内与 x轴仅有一个公共点时，只需当x=2对应的函数 值小于0即可. 即当x=2时，4a-4a十3a-1<0,得a<号 又a>0,∴0<a<3 综上，a的取值范围是0<a<号或a=2 1 3.解：(1)把A(-2,-1D,B0,-3)代人y-2+ bx+c,得 1-1=2-2b+c”解得 b=0, -3=c, c=-3, 抛物线的解析式为y一弓女-3。 (20y=分x-3, ∴.顶点坐标为(0，一3)，即点B是原抛物线的 顶点. 平移抛物线使得新抛物线的顶点为P(m,n) 03 (m>0), .抛物线向右平移了m个单位长度， “Sam8=7X3m=3, .∴.m=2, ∴.新抛物线的对称轴为直线x=2,且开口向上. ,在直线x=的右侧，两抛物线都上升，原抛物 线的对称轴为y轴，开口向上， .k≥2. @把P(m,m代入y=号2-3，得n=2m-3, P(m,2m-3). 根据题意，得新抛物线的解析式为y=号（红一m2十 n-g:-mzxtne-3 ∴.Q(0,m2-3). B(0,-3), BQ=m2,BP2=m2+(2m2-3+3'=m2十 7m,P0=m+[(分m-3)-(m-3)]f m+m, ..BP=PQ. 如图，过点P作PCLy轴于点C,则PC=m. .BP=PQ,PC⊥BQ, ∠BPC-=2∠BPQ=2X120°=60， tan∠BPC-tan60°=BC_zm PC m =√3， 解得m=2√3， m=m-3=3 故点P的坐标为(2√3,3). 4.解：(1)根据题意，得当x=0时，y=c=3. b=2,∴.抛物线的解析式为y=x2+2x十3. y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ∴.抛物线的顶点坐标为（一1,2） 10 (2)由(1)可知c=3, ∴.抛物线的解析式为y=x2十bx十3. y=+x+3-(+号)+3-客， 一抛物线的顶点坐标为（一合3一） ,将抛物线向右平移2个单位长度， ∴抛物线的顶点也向右平移2个单位长度， 六新抛物线的顶点坐标为(2-合，3一)。 m=2-m=8-， :4n-2m=-8+6+8=-(6-号)+8子≤ 4n2m的最大值为8子 (3)如图，在OC上取一点E,使得CE=MN,连接 DE,EN,DE与抛物线的对称轴交于点F, 2 ,M,N为抛物线对称轴上的两个动点， .MN∥y轴，即CE∥MN. .CE=MN=1, .四边形CENM是平行四边形， ..CM=EN, ..CM+MN+ND-EN+1+ND. 结合图形可知：EN+ND≥ED,当且仅当E,N,D 三点共线时取等号， ∴.当E,N,D三点共线时，EN+ND有最小值，最 小值为ED,此时点N与点F重合. C(0,3),.OC=3, .OE=OC-CE=2,∴.E(0,2). .D(4,0), .设直线ED的解析式为y=x十t(≠0)，将 E(0,2),D(4,0)代入， 得/2， 。解得 =- (4k十t=0, (t=2. “直线ED的解析式为y=-合x十2. 抛物线的对称轴为直线x=2, 点F的横坐标为2. 在y=-2x+2中，当x=2时y=1,即F2,1. .点N与点F重合，.N(2,1) 抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经 过点N, .点N(2,1)为新抛物线的顶点， .新抛物线的解析式为y=(x一2)2十1=x2一 4x+5. 5.解：(1)，抛物线y=ax2-2ax十2经过点A(-1,0), a+2a+2=0,解得a=2, “该抛物线的解析式为y一一号女十 3x+2= 号x-1+8, “顶点P的坐标为(1，) (②)曲-号r+专+2=0可得B(30),连接BC, ①当点K在BC上方时，如图①， 图① ∠KCB=∠ABC,∴.CK∥AB,即CK∥x轴， ∴.点K与点C关于抛物线的对称轴对称. 由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=1, .C(0,2),K(2,2) ②当点K在BC下方时，如图②，设CK交x轴于 点D(m,0),则OD=m,DB=3-m. 图② .∠KCB=∠ABC,∴.CD=BD=3-m. 在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2, ∴2+m=(3-m),解得m=吾D(8,0）, 设直线CD的解析式为y=kx十d(k≠0)， 将D(,0),C0,2)代入， （5k+d=0, 得61 k=-12 解得 d=2, d=2. ·10 “直线CD的解析式为y=一x+2, 3x+2=1 . x+2, 28 x25' 解得 x10 (舍去) y1=2, y2= 286 25’ K(9》 综上所述，点K的坐标为(2,2)或( 28286 5，- 25/· (3)EM+EN的值为定值. 由抛物线y=一号2+号x十2的对称轴为直线 x=1,.E(1,0). 设Qe,-号+学+2，且-1<4<3， 设直线AQ的解析式为y=ex+f(e≠0)， f-e+f=0, e+f=-号++2， 则 e=-+2, 31 解得 2 f=一 t+2. :直线AQ的解析式为y一（一号计2）x一号十2 当x=1时y=-专+4，M1,-子+4： 同理可得直线BQ的解析式为y=(-号-)x+ 2t+2, 当x=1时y=+号N1,+》 EM=一专十4，EN-号计号， EM+EN=专+4+号+告-9 31 故EM+EN的值是定值，为9 6.解：(1)当a=1时， 抛物线的解析式为y=x2一2x十c. ,抛物线经过点C(0,一1)， ∴.0-0十c=-1,解得c=-1. .抛物线的解析式为y=x2一2x一1. ,y=x2-2x-1=(x-1)2-2, .抛物线的顶点坐标为(1，一2). (2)当a>0时， 由抛物线y=ax2一2ax十c经过点C(0,一1)， 可知c=一1. .抛物线的解析式为y=ax2-2ax-1. 可得抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=1时，y=-a-1. .抛物线的顶点D的坐标为(1，一a一1). 过点D作DG⊥y轴于点G, 在Rt△DEG中， DG=1,EG=1+a-(-a-1)=2a+2, ∴.DE2=DG2+EG=1+(2a+2)2. 在Rt△DCG中， DG=1,CG=-1-(-a-1)=a, ∴.DC2=DG+CG=1+a2. .DE=5DC,即DE2=5DC, ∴.1+(2a+2)2=5(1+a2). 解得a1=0(舍去)，a2=8. ∴.抛物线的解析式为y=8x2一16x一1. (3)当a<-1时， 如图，将点D(1,一a一1)向左平移2个单位长度， 向上平移1个单位长度得点D'(一1，一a). 作点F关于x轴的对称点F',得点F的坐标为 (0,a-1).连接MN,DN,DD',D'M. .M(m,0),N(m+2,-1), ∴.点N到点M的平移方式和点D到点D'的平移 方式相同， ∴.NM=DD',NM∥DD', .四边形MNDD为平行四边形， .DN-DM. 由对称轴的性质得FM=FM, ∴.FM+DM=F'M+D'M, ∴.当D',M,F三点共线时，FM+D'M最小， 即FM+DM最小， 此时，FM+DN=FD'=5√2. 过点D作D'H⊥y轴于点H. 在Rt△FD'H中，D'H=1, FH=-a-(a-1)=1-2a, .FD'2=F'H2+D'H2=(1-2a)2+1. 又F'D'2=50, 即(1-2a)2+1=50. 106 解得a1=一3，a2=4(舍去). .a=-3. 9a-3b-3=0, 7.解：(1)由题意，得 116a+4b-3=0, a=， 解得 该抛物线的解析式为y--名一3。 (2)①如图①，设直线AC的解析式为y=kx十m (k≠0). 图① 点A(-3,0),点C(0,4)在直线AC上， :/厂36+m=0, (m=4, k= .4 解得 3 (m=4. 直线AC的解析式为y一青十4. 设点D的坐标为，号十4)，其中一3<1<0， 点D与点D关于x轴对称， 点D,-子-4： :点D在抛物线上子-一3=-号-4， 解得t=-3(舍去)或t=-4」 3· 点D的坐标为(-专). ②如图②，过点C作CF∥x轴，且CF=AC,连接 DF,有∠FCA=∠CAE. 0 图② 又CD=AE,CF=AC, ∴.△FCD≌△CAE(SAS). .'FD=CE,.'.CE+BD=FD+BD ∴当F,D,B三点共线时，CE十BD取得最小值. 点A(-3,0),C(0,4),.0A=3,OC=4. 在Rt△OAC中，AC=√OA2+OC=5, ∴.点F(-5,4). 设直线FB的解析式为y=px十q(p≠O), 将F(-5,4),B(4,0)代入， 4 9 得 /-5p+q=4, 解得 4p十q=0, 16 ·直线FB的解析式为y=一4x+16 9 y=、4 5 , 4 联立 916 解得 4 y=3x+4, 2 y一3 “点D的坐标为(-是，3)： 8.解：(1)当b=2时， 抛物线的解析式为y=一x2十2x十c. 抛物线经过点A(一1,0)， .-1-2+c=0,解得c=3. ∴.抛物线的解析式为y=一x2+2x+3. y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4). (2).抛物线y=-x2+bx十c经过点A(一1,0)， ∴.0=-1-b+c,.c=b+1, ∴.y=-x2+bx+b+1. 当x=b时，yE=-b2+b2+b+1=b+1, .点E的坐标为(b,b十1). AP=5-(-1)=6,AP=AE, ∴.AE2=AP2=36,2(b+1)2=36, 即(b+1)2=18, ∴.b=士3√2-1. E在第一象限内， ∴.b>0,.b=3√2-1. (3)如图，过点Q作QM⊥x轴于点M,交BC于 点N, 由(1)知y=-x2+2x+3, 将y=0代入y=一x2+2x+3, 10 则-x2+2x十3=0. 解得x1=-1,x2=3. B(3,0) 将x=0代人y=-x2+2x+3,得y=3, .C(0,3),∴.OB=OC, .∠OBC=∠OCB=45. QM⊥x轴， ∴.∠BNM=∠QNC=45. 又.QF⊥BC, ·sin∠QNC=QF QN, .QN=√2QF, .当QN最大时，QF最大. 设直线BC的解析式为y=mx十n(m≠0)， 将B(3,0),C(0,3)代入，得 3m十n=0, /m=-1, 解得 n=3, n=3. 直线BC的解析式为y=一x十3. 设点Q的坐标为(t,-t+2t十3)，其中0<t<3, 则点N的坐标为(t,-t十3)， QN=-f+2+3+1-3=-(6-2)+是 .-1<0,且0<t<3, “当=号时，QN取得最大值，此时QF最大， (受，)， 000M+oM-√g)'+(T-3Y四 4 9.解：(1).b=4,c=3, 则抛物线的解析式为y=a.x2+4x十3. :抛物线与x轴相交于点A(一1,0)， ∴.a-4十3=0，解得a=1, .抛物线的解析式为y=x2+4x十3. y=x2+4x+3=(x+2)2-1, .顶点P的坐标为（一2，一1）. (2)①，抛物线y=ax2+bx十c与x轴相交于点 B(4,0),A(-1,0), 116a+4b+c=0, 1b=-3a, 解得 la-b+c=0, c=-4a, ∴.y=ax2-3ax-4a,∴.C(0,-4a),n=14a. 设直线BQ的解析式为y=kx十m(k≠0)， 将B(4,0),Q(-3,14a)代入， 4k十m=0,,解得 k=-2a, 得 -3k+m=14a, m=8a, ∴.直线BQ的解析式为y=一2ax十8a, 07 .D(0,8a). .n<0,∴.a<0,∴.OD=-8a, 1 .SABCD= ×4×(OC+OD)=2×(-12a)=12, 2 解得a= 2心n=-7. 1 ②如图①，当点B'在第一象限时，过点B作 B'H⊥x轴于点H, 图① 设直线BC的解析式为y='x十b(k'≠0)， 将B(4,0),C在(0,2)代人， 14k'+b'=0, k'= 得 解得 2 b=2, 6=2. 直线BC的解析式为y= 2x+2. 设，+2， 0H=,EH=-z+2. D(0,-4),B(4,0), ∴.OB=OD,∴.∠ODB=45°. ,直线EB与直线BQ相交所成锐角为45°， .EB'∥CD 由对称可知，OB'=BO=4,BE=B'E, 在Rt△OHB中，B'H=√I6-t, BE=V16-7-(-2+2)=V16-F+2-2, BE=V16-F+2-2. 在Rt△BHE中，BE=BH+EH, 即(6-平+2-2)°=(4-0+(-2+2)°， 解得=土45 5 0≤K4,t=4⑤ 5 (5,8). 如图②，连接B'O,当点B在第二象限，∠BGB'= 45°时， 108 Q 图② ∠ABQ=45°，∴.B'G∥x轴. 点B关于直线OE的对称点为点B', ∴.BE=B'E,OB=OB',∠BOE=∠B'OE, .∠B'OE=∠B'EO,.B'E=B'O, ..B'E=BO=BE=B'O, .四边形B'OBE是菱形， BE=4B'(2-4,-+2). 由BE=0B,得√4-)2+(-2+2'=4， 解得4=4+8成1二485 5 0≤≤4，t=4-85 5 B(-85,45). 综上所述，点的坐标为(4,8)或 (-8y5,45 5’5) 10.解：(1)①，抛物线y=ax2十bx十c与x轴相交 于点A(1,0), ∴.a+b+c=0. 又a=1,c=-3,.b=2. .抛物线的解析式为y=x2十2x一3. ,y=x2+2x-3=(x+1)2-4, .点D的坐标为(-1，一4). ②当y=0时，x2+2x一3=0， 解得x1=1,x2=一3. 点B的坐标为（一3,0） 动点P和Q以相同的速度从坐标原点O同时 出发， ∴.OP=OQ. ∴.矩形OQEP是正方形. .PE=EQ=OQ=OP. 设点P的坐标为(t,0)(-3≤t≤0)， 则点Q的坐标为(0，t), 点E的坐标为(t,t). ,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E, .将点E(t,t)代人y=x2+2x-3, 得t=t2+2t-3, 解得，=-1,13,2=-1+3（舍去） 2 2 六点E的坐标为(12正1。画)， (2),抛物线y=ax2十bx十c经过点A(1,0)和 B(c,0),c0, ∴.a+b+c=0,ac2+bc+c=0,即ac+b+1=0, .a=1,b=-c-1. .抛物线的解析式为y=x2-(c十1)x十c. 根据题意，得点C(0,c),点F(c+1,c), ,∴.OB=OC. 又.OP=OQ,∠BOQ=∠COP=90°， ∴.△BOQ≌△COP(SAS). .BQ=CP. 当c<-1时，点F在y轴左侧， 如图①，作点B关于y轴的对称点B',得点B'的 坐标为(-c,0), R 图① ∴.BQ=B'Q ∴.BQ=B'Q=CP. 当满足条件的点Q落在直线B'F上时，CP+FQ 取得最小值， 此时，CP+FQ=B'F=√65. 过点F作FM⊥x轴于点M,由点F(c十1，c), 得点M(c+1,0). 在Rt△FMB'中，B'M=-2c-1,FM=-c, .B'F2=B'M2+FMP=(-2c-1)2+(-c)2= 65,解得a=-4,6:=9(含去)。 点F的坐标为(-3，-4)， 点B的坐标为(4,0). 可得直线B'F的解析式为y= “点Q的坐标为(0，-9）. 当c=一1时，点F和点C重合，舍去. 当一1<c<0时，点F在y轴右侧， 当满足条件的点Q落在直线BF上时， CP+FQ取得最小值， 10 此时，CP+FQ=BF=√65. 如图②，过点F作FM'⊥x轴于点M', PM' CF 图② 由点F(c+1,c),得点M(c+1,0). 在Rt△FMB中，BM=1,FM=-c, ∴.BF2=BM2+FM2=12+(-c)2=65, 解得c1=一8，c2=8,均不合题意，舍去. 综上，点F(-3,-40,点Q(0,-9)。 2026天津中考数学模拟试卷（一） 1.D2.D3.C4.A5.B6.C7.A8.B 9.D10.B11.B12.B 13.2 14.a315.4-2V5 16,y=x十1（答案不唯一） 1.分 18.(1)4√2 (2)取格点I,连接MI交AB于点P,点P即为 所求作. 19.解：(1)x≥-2(2)x≤2 (3)数轴表示如图： 3201 3 (4)-2≤x≤2 20.解：(1)16,20. (2)·种植3棵的人数为8人，数量最多， 众数是3； ,经排序位于中间的数是3， .中位数是3. (3)1X4+2×6+3X8+45+5X2×100= 4+6+8+5+2 280(棵). 答：估计该校100名学生在这次植树活动中共植 树280棵. 9