精品解析：新疆和田地区墨玉县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

墨玉县2025—2026学年第二学期期中考试 高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章（8.1、8.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中不是向量的是（ ） A. 位移 B. 重力 C. 速度 D. 温度 2. 复数的实部与虚部的和是（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. （ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ） A. （1）（2） B. （2）（3） C. （3）（4） D. （1）（4） 6. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 7. 如图，三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 200米 8. 在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B. 所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱 C. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D. 直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为锐角 B. 若，则 C. 方向上的单位向量为 D. 若，则向量在上的投影为 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数的共轭复数是_______. 13. 如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 14. 平面向量满足，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数； 16. 已知平面向量，，，且， （1）求的值． （2）若，求的值． 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 18. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 19. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 墨玉县2025—2026学年第二学期期中考试 高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章（8.1、8.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中不是向量的是（ ） A. 位移 B. 重力 C. 速度 D. 温度 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的定义直接判断即可. 【详解】位移、重力、速度，它们既有大小、又有方向，因此位移、重力、速度都是向量， 而温度只有大小，不是向量. 故选：D 2. 复数的实部与虚部的和是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 4. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】在中，由，得，则， 所以. 故选：A 5. 如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ） A. （1）（2） B. （2）（3） C. （3）（4） D. （1）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，即可得出答案． 【详解】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； （2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； （3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； （4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； 综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）． 故选：B． 6. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示以及模长公式一一判断求解. 【详解】对于A，若，则有，所以，A错误； 对于B，若，则有，所以，B正确； 对于C，，所以， 解得或，C错误； 若与的夹角为钝角，则，即， 且与不能共线且反向， 由A选项可知，当时，， 此时与共线且反向， 所以若与的夹角为钝角，则且，D错误， 故选:B. 7. 如图，三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 200米 【答案】C 【解析】 【分析】在中表示出AC，再在中，利用正弦定理求解. 【详解】解：设山高AB， 在中，， 在中，由正弦定理得， 即， 解得. 故选：C 8. 在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2. 设M(a,2－a)，则0<a<1，N(a＋1,1－a)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2， ∵0<a<1，∴当a＝时，取得最小值，又<2，故的取值范围为. 答案：C 点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B. 所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱 C. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D. 直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可. 【详解】对于A，底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱，故A错误； 对于B，所有棱长相等的棱柱不一定是直棱柱，不满足直棱柱的定义，故B错误； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，满足多面体的定义，故C正确； 对于D，直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，故D错误. 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为锐角 B. 若，则 C. 方向上的单位向量为 D. 若，则向量在上的投影为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出判断A，根据向量模的坐标表示得到方程，求出t的值，即可判断B，由方向上的单位向量为判断C，根据数量积的几何意义求出投影，即可判断D. 【详解】对于A：当时，因为，所以与不共线， 又因为，所以向量与的夹角为锐角，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以方向上的单位向量为， 即方向上的单位向量为，显然向量不是方向上的单位向量，故C错误； 对于D：当时，所以，， 所以向量在上的投影为，故D正确. 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数的共轭复数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简计算，然后可得其共轭复数. 【详解】，所以可得的共轭复数为. 故答案为： 13. 如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图面积与原面积关系即可得到答案. 【详解】由图易知为等腰直角三角形，则， 根据面积比关系得原图形的面积等于. 故答案为： 14. 平面向量满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量垂直数量积为0求出的值，再根据向量的平方等于模长的平方即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 又因为， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数； 【答案】（1）或 ； （2）且； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数分别表示实数、虚数、纯虚数的充要条件列式计算即得. 【小问1详解】 复数是实数，则， 所以或 . 【小问2详解】 复数是虚数，则， 所以且. 【小问3详解】 复数是纯虚数，则， 所以. 16. 已知平面向量，，，且， （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解. （2）利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】（1）∵平面向量，，， ∴，∵， ∴，解得． （2），因为，， 所以，解得． 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 18. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【小问1详解】 ，由题意得， 所以． 【小问2详解】 由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 19. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问3详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $