精品解析：新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （考试时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，若向量与平行，则实数的值为( ) A. B. C. D. 5. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 11. 如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案记录在答题卡上） 12. 已知，，则在方向上的投影为________. 13. 已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为__________. 14. 在中，分别是角的对边，的面积为，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 17. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). （1）当时，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 19. 如图，在棱长为的正方体中， 分别是的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （考试时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，即可得虚部. 【详解】因为复数，则虚部为. 故选：D 2. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式. 【详解】由，得 ， 故选：C. 3. 设a，b是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，若，，，则或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，故B错误； 对于C，若，，，，则或与相交，故C错误； 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知向量，若向量与平行，则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出向量与的坐标，然后根据向量平行，列出方程求解即可. 【详解】由题意知，，若向量与平行， 则，解得. 故选:B 5. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点， 连接，则分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，， 则， 所以正四棱台的体积. 故选：A 6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 故选：A. 8. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 11. 如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行. 【详解】对A：如图： 连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以， 平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：如图： 因为是正方体棱的中点，所以，，， 所以， 同理：，. 所以5点共面，所以平面不成立.故B错误； 对C：如图： 因为是正方体棱的中点，所以，，所以. 平面，平面，所以平面.故C正确； 对D：如图： 因为为正方体棱的中点，连接交于，连接， 则为的中位线，所以， 平面，平面，所以平面.故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案记录在答题卡上） 12. 已知，，则在方向上的投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由投影的定义计算． 【详解】由题意，所以在方向的投影为． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，掌握数量积的定义是解题关键． 13. 已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用球的表面积公式及圆锥的侧面积公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，依题意，，解得， 所以圆锥的底面半径为1. 故答案为：1 14. 在中，分别是角的对边，的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，求得，在利用余弦定理求得，结合，即可求解. 【详解】由，可得， 即，解得， 又由余弦定理得，解得， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据模的计算公式直接求解； （2）利用复数的除法进行计算； （3）设，根据条件列方程求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 设， 则，所以① ， 因为是纯虚数，所以② 由①②联立，解得 或 所以或． 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 【答案】（1）； （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由，可得，即有，，即可得结论. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，且， 所以， 所以， 所以或（舍）， 当时，， 所以为直角三角形． 17. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). （1）当时，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 【答案】（1）＋ （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可； （2）用向量，表示向量，应用数量积运算先求的最小值，即可求出. 【小问1详解】 解：因为当时，＝， 所以＝ (＋) ＝ [(－)＋(＋)] ＝ ＝＋ 【小问2详解】 因为＝(＋) ＝[(－)＋(＋)] ＝ ＝ ＝＋， 由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2， ∴||2＝2＋2＋ ＝＝， 因为，所以当λ＝时，||2有最小值， 即||有最小值. 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 19. 如图，在棱长为的正方体中， 分别是的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：. 【答案】 （1）证明：法一 如图，连接. 分别是 的中点， ∴. 又， ， ∴. 法二 取的中点 ，连接， 则有，且 ， ∴. 又，∴ . （2）； （3）证明：法一 取的中点 ， 连接，则有 . 又， ∴. ∴四边形为平行四边形，∴ ， 又， ∴. 法二 取的中点 ，连接， 则有，且 ， ∴. 又，∴ . 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用中位线，证明即可证得 ；（2）由（1）知；（3）利用中位线，证明 且，所以四边形 为平行四边形，故,所以 . 试题解析： （1）略 （2）由（1）易知. （3）略 考点：证明线面平行. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $