精品解析：河南商丘市柘城县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试卷

2026年春八年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】二次根式的定义为：形如 的式子叫做二次根式， 选项A中，被开方数，无意义，故A选项不是二次根式； 选项B中，的根指数为3，不是2，故B选项不是二次根式； 选项C中，当时，，无意义，故C选项不是二次根式； 选项D中，对任意实数，都有，可得，且根指数为2，满足二次根式的定义，故D选项是二次根式． 2. 使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴ ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加法、乘除法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故该选项计算错误，不符合题意； B、2和不能相加，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 5. 在中，，，所对的边分别为，，，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、C，根据勾股定理的逆定理可判断B、D． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴可设， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 6. 已知的三边分别为，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形． 7. 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 30 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】连接，形成两个三角形，分别利用勾股定理和逆定理求得为直角三角形，再利用四边形面积等于两个直角三角形的面积差即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ． 8. ，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算、，相加即可． 【详解】解：， ∴， 9. 我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 10. 如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 12. 若，则代数式的值为_____ 【答案】2026 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 13. 已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为， 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， 底边的一半长 底边长 等腰三角形的周长． 14. 如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______． 【答案】20°##20度 【解析】 【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=40°，可得∠E度数． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 15. 如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等及正方形性质证得，再结合点H是的中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求得的长度为解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴, , 在和中， , ∴, ∴, 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴由对顶角性质可得：, ∵在中，点H是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、正方形以及直角三角形斜边中线，解题关键是熟练掌握相关定理． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，值为5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 先根据分式的四则运算法则对式子进行化简，再将，代入求解即可． 【详解】解：， , ， ； ∵ 则原式． 18. 如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． （1）求线段的长 （2）求的度数 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理逆定理可得，根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴， 又∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，； 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴， 又∵，，且， 即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴． 19. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，理并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， ∵， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 20. 仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； （2）图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的性质等： （1）连接和，得到一交点，将E，F分别与该交点连接并延长，交于点G，交于点H，连接，，即可； （2）将点C向左平移4个单位长度，得到点D，连接，则得四边形为平行四边形；连接，与相交，得到一交点，将P与该交点连接并延长，交于点Q即可． 【小问1详解】 解：矩形如答图①所示． 【小问2详解】 解：如答图②，点和点即为所求． 21. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 23. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （2）证，得，再由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，再次利用勾股定理，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【小问3详解】 图，延长交于S，      由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，所对的边分别为，，，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. D. 6. 已知的三边分别为，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 7. 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 30 B. 12 C. 24 D. 36 8. ，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 12. 若，则代数式的值为_____ 13. 已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 14. 如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______． 15. 如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． （1）求线段的长 （2）求的度数 19. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 20. 仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； （2）图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 21. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 23. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $