精品解析：河南郑州市第五十一中学2025—2026学年下学期期中学情调研八年级数学试题卷

2025-2026学年下学期期中学情调研八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 若成立，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、给两边都减去1，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； B、给两边都加上x，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； C、给两边都除以2，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； D、给两边都乘以﹣3，不等号的方向要改变，故本选项不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，注意不等号的方向是解答的关键． 3. 用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与c相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即 【详解】用反证法时应假设结论不成立，即假设的对立面a与c相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 4. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 通过检查每个选项是否能进行因式分解，使用提公因式法或公式法（如平方差、完全平方公式），判断出选项C不能因式分解． 【详解】A．，能因式分解； B．，能因式分解； C． 没有公因式，且不符合平方差或完全平方公式，不能因式分解； D．，能因式分解． 故选：C． 5. 下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆命题的定义交换原命题条件和结论得到各命题的逆命题，再逐一判断即可． 【详解】解:（1）原命题逆命题为：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行．这是平行线的判定定理，是真命题． （2）原命题逆命题为：相等的角是对顶角．它是假命题，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角． （3）原命题逆命题为：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形．因为三角形内角和为，则第三个角为，即三角形是直角三角形，故逆命题是真命题． （4）原命题逆命题为：对应角相等的两个三角形全等．它是假命题，例如边长为1和边长为2的等边三角形，对应角相等但不全等． （5）原命题逆命题为：角平分线上的点到角的两边距离相等．这是角平分线的性质定理，是真命题． 综上，逆命题为真命题的共3个． 6. 一个多边形的外角和的3倍与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为，n边形的内角和等于．首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设此多边形是n边形， ∵多边形的外角和为， ∴， 解得：． ∴这个多边形是八边形． 故选：C． 7. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分得到，因此，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是14． 8. 某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该卫衣打折销售，先明确打x折的实际售价计算方法，再根据利润=实际售价-进价，结合利润率是利润占进价的百分比，根据利润率不低于的要求列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与角平分线的性质，解题的关键是发现旋转后是的角平分线．先由旋转角度关系证得，再过点作于点，由角平分线性质得到，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：在中， ， ， 由旋转的性质得，， 绕点旋转得到， ， ， ，即是的角平分线， 过点作于点， ， ， 是的角平分线，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ，即． 故选：C． 10. 中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤的最小值为．当在内绕旋转时（点不与、重合），则上述结论始终正确的有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②④；由，，比较两者大小即可判定③⑤． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，，，， ∴； ∵， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 故①②正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故③错误． ∵ ； 故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤，共4个． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ，解得， 则实数x的取值范围是． 12. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点O，若，则__________°． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由垂直平分线的性质可得，，根据“等边对等角”可得，，从而，根据三角形的内角和定理求得，从而得到，根据可求得． 【详解】连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可解答． 【详解】解∶∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线和的交点为， 由图象可得，不等式的解集为． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长是12．若，，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，再由得到，根据三角形外角的性质得到，，因此，从而，结合勾股定理即可求得，，过点作的垂线，交于点，可求得的长度，进而可得的面积． 【详解】解∶∵为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ∴，， ∵ ∴． ∵，， ∴，． ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得 ∴，． 过点作的垂线，交于点． ∵，即 ∴． ∴． 15. 如图，在正方形中，，点在边上（不与端点重合），将沿折叠，使点落在点处，连接，当是等腰三角形时，的长等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，分和两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，在上取一点，使， ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于，于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长等于或． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上：； （2）分解因式：； （3）分解因式：． 【答案】（1），数轴见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出解集即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可求出答案； （3）利用平方差公式分解后，提取公因式，化简即可得到结果． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如图： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，据此作图即可，再根据平移的方式，结合勾股定理即可求出平移的距离； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 18. 如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合角平分线的性质进行计算是解题的关键． （1）连接，，根据已知条件证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据已知数值计算即可； 【小问1详解】 连接，， 平分，，， ，， ，且平分， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ， ． 19. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； （2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算． 【答案】（1）y1=15x+80（x≥0）；y2=30x（x≥0）；（2）当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法求得y1，y2关于x的函数表达式即可； （2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1>y2时，15x+80>30x，当y1<y2时，15x+80<30x，分别求解即可． 【详解】（1）设y1=k1x+80， 把点（1，95）代入，可得 95=k1+80， 解得k1=15， ∴y1=15x+80（x≥0）； 设y2=k2x， 把（1，30）代入，可得 30=k2，即k2=30， ∴y2=30x（x≥0）； （2）当y1=y2时，15x+80=30x， 解得x=； 当y1＞y2时，15x+80＞30x， 解得x＜； 当y1＜y2时，15x+80＜30x， 解得x＞； ∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算． 【点睛】此题考查了用待定系数法求一次函数关系式以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并列式． 20. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据高的定义得到，再由三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 21. “一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 28 ■ 共4190 2 B款 件 30 ■ 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．” 【建立模型】 请你解决下列问题． （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A款文创产品的进货单价是80元，B款文创产品的进货单价是65元 （2）购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是2600元 【解析】 【分析】（1）设A款文创产品的进货单价是x元，B款文创产品的进货单价是y元，根据“进货单里的总金额4190元”，“B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元”列出方程组，求解即可； （2）设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元，由题意得，可得．根据题意列出W关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款文创产品的进货单价是x元，B款文创产品的进货单价是y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A款文创产品的进货单价是80元，A款文创产品的进货单价是65元． 【小问2详解】 解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元， 根据题意，得， 解得． 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，W的最大值为， 此时， 答：购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是2600元． 22. 【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：______； （2）若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； （3）多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 【答案】（1）； （2）； （3），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了“试根法”分解因式，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，按照材料中提供的解题思路进行解答． 因为，根据多项式乘以多项式的法则把等号左面的展开，可得：，因为两个多项式相等，所以这两个多项中同类项的系数相等，可得：； 因为多项式分解因式后，有一个因式是，所以方程有一个根是，把代入方程即可得到； 因为当时，，所以，所以可得：，根据多项式乘以多项式的法则把等号右边的展开，可得：，根据两个多项式相等，这两个多项中同类项的系数相等，可得：，． 【小问1详解】 解：当时， ， 多项式中有因式， 设， 则有， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：多项式分解因式后，有一个因式是， 方程有一个根是， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， ， ， ，， 解得：，，． 23. 几何探究题 (1)发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b． 当点A在线段BC上时(如图1)，线段AB的长取得最小值，最小值为　 　； 当点A在线段BC延长线上时(如图2)，线段AB的长取得最大值，最大值为　 　． (2)应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE． ①证明：CD＝BE； ②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为　 　． (3)拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)a﹣b； a+b；(2)①证明见解析；②4；(3)满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+3． 【解析】 【分析】（1）根据点A位于线段BC上时，线段AB的长取得最小值，根据点A位于BC的延长线上时，线段AB的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE； ②由于线段CD长的最大值＝线段BE的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果； （3）将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：(1)∵当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为BC﹣AC， ∵BC＝a，AC＝b， ∴BC﹣AC＝a﹣b， 当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为BC+AC， ∵BC＝a，AC＝b， ∴BC+AC＝a+b， 故答案为：a﹣b，a+b； (2)①∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ACD和△AEB中， ， ∴△ACD≌△AEB(SAS)， ∴CD＝BE； ②∵线段CD的最大值＝线段BE长的最大值， 由(1)知，当线段BE的长取得最大值时，点E在BC的延长线上， ∴最大值为BC+CE＝BC+AC＝4， 故答案为：4； (3)∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN， 则△APN是等腰直角三角形， ∴PN＝PA＝2，BN＝AM， ∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB＝5， ∴AB＝3， ∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值， ∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值＝AB+AN， ∵AN＝AP＝2， ∴最大值为2+3； 如图2，过P作PE⊥x轴于E，连接BE， ∵△APN是等腰直角三角形， ∴PE＝AE＝， ∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣， ∴P(2﹣，)． 如图3中，根据对称性可知，当点P在第四象限时，P(2﹣，﹣)时，也满足条件． 综上述，满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+3． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中学情调研八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 若成立，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与c相交 4. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 一个多边形的外角和的3倍与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 7. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 8. 某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤的最小值为．当在内绕旋转时（点不与、重合），则上述结论始终正确的有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点O，若，则__________°． 13. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长是12．若，，则的面积为____． 15. 如图，在正方形中，，点在边上（不与端点重合），将沿折叠，使点落在点处，连接，当是等腰三角形时，的长等于______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上：； （2）分解因式：； （3）分解因式：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 18. 如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 19. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； （2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算． 20. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； （2）在（1）的条件下，求的度数． 21. “一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 28 ■ 共4190 2 B款 件 30 ■ 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．” 【建立模型】 请你解决下列问题． （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：______； （2）若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； （3）多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 23. 几何探究题 (1)发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b． 当点A在线段BC上时(如图1)，线段AB的长取得最小值，最小值为　 　； 当点A在线段BC延长线上时(如图2)，线段AB的长取得最大值，最大值为　 　． (2)应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE． ①证明：CD＝BE； ②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为　 　． (3)拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $