第10章三角恒等变换章末模拟测试卷-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换单元，融合数学文化（如刘徽割圆术、黄金三角形）与创新应用（新定义“余弦方差”），适配单元复习，全面考查运算能力、推理意识及数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|两角和差公式（第1题）、函数周期（第2题）|基础巩固，结合终边定义| |多选|4/20|公式逆用（第9题）、三角函数性质（第11题）|多角度辨析，考查推理能力| |填空|4/20|规律探究（第15题三角恒等式）、文化应用（第16题黄金三角形求sin126°）|情境创新，体现数学眼光| |解答|6/70|三角形综合（第20题）、新定义“余弦方差”（第22题）|综合应用，考查数学语言表达|

第10章　三角恒等变换 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名： 考号： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 角α的终边过点A(1,),则cos(α+)=(　　) A.- B.0 C. D. 2.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是(　　) A.6π B.2π C. D. 3. (2025如东质检)已知450°<α<540°,则的化简结果为(　　) A.-sin B.cos C.sin D.-cos 4.(2025通州期中)我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图,☉O的半径为1,用圆的内接正六边形近似估计,则☉O的面积近似为,若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形,以此估计,☉O的面积近似为(　　) A. B. C.3() D.3() 5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 6.(2025淮安月考)化简sinsin可得(　　) A.-cos B.-sin C.cos D.sin 7.已知sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　) A. B. C. D. 8.设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　) A. B.- C. D.- 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列各式中,值为的是(　　) A.sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42° B.cos2sin2 C. D.2tan 15°cos215° 10.若cos,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　　) A.cos α= B.sin α= C.cos=- D.cos=- 11.已知向量a=sinx-,sin x,b=cosx-,-sin x,函数f(x)=a·b+,x∈R,则下列结论正确的为(　　) A.f-x=-f+x B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最大值为 D.f(x)的图象关于直线x=对称 12.(2025盐城月考)以下式子均有意义,则下列等式恒成立的是(　　) A.cos αsin β= B. C. D.=2cos(α+β)+ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2025镇江期中)已知tan α=2,则=　　　　.  14.已知tan(α+β)=,tanβ-=-2,则tanα+=　　　　,tan(α+2β)=　　 　. 15.(2025常州月考)观察下列几个三角恒等式: ①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°·tan 10°=1; ②tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°·tan 13°=1; ③tan 5°tan 100°+tan 100°tan+tantan 5°=1; ④tantan+tan·tan 272°+tan 272°tan=1. 一般地,若tan α,tan β,tan γ都有意义,你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为  　.  16.现有如下信息: (1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为; (2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形; (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin 126°=　　　　　.  四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1). (1)求sin 2α的值. (2)角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β=2; ②锐角β的终边在直线y=2x上; ③角β的终边与角π的终边相同. 请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值. 18.(12分)(2025南京期中)已知tan α=,α∈. (1)求sin α的值; (2)求cos的值. 19.(12分)(2025苏州月考)(1)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-,求的值. (2)已知α,β∈,且tan,tan β=-,求2α-β的值. 20.(12分)在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B. (1)求证:A+B=. (2)求sin A+sin B的取值范围. (3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围. 21.(12分)已知函数f(x)=sin xcos x-sin2x+. (1)若x∈-,求函数f(x)的值域; (2)设α∈,π,若f=,求cos α的值. 22.(12分)(2025徐州期中)对于集合A=和常数θ0,定义:μ=为集合A相对θ0的“余弦方差”. (1)若集合A=,θ0=0,求集合A相对θ0的“余弦方差”; (2)判断集合A=相对任何常数θ0的“余弦方差”是否为一个与θ0无关的定值,并说明理由; (3)若集合A=,α∈[0,π),β∈[π,2π),相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值,求出α,β. 参考答案 1.B　由题意得sin α=,cos α=,所以coscos α-sin α==0. 故选B. 2.C　y=sin 3x+cos 3x=sin 3x+cos 3x=sin3x+,可知该函数的最小正周期T=.故选C. 3.A　因为450°<α<540°,所以α为第二象限角, 为第三象限角. 原式==-sin.故选A. 4.C　sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,圆内接正二十四边形的面积为24××12×sin 15°=12×=3().故选C. 5.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-, ∴sin α=,sin(α+β)=, ∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.故选A. 6.D　sinsin=sinsin =sincossin 2= sin.故选D. 7.D　因为sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,所以0°<α+2β<180°. 又cos 2β=2cos2β-1=-<0,所以90°<2β<180°. 所以90°<α+2β<180°.由同角三角函数关系, 可得cos(α+2β)=-,sin β=, 所以sin(α+β)=sin [(α+2β)-β] =sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β =--×.故选D. 8.A　因为sin 20°=m,cos 20°=n, 所以.故选A. 9.ACD　sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=,故A满足条件; cos2sin2,故B不满足条件; tan 45°=,故C满足条件; 2tan 15°cos215°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故D满足条件. 故选ACD. 10.BD　因为α∈(0,π),所以. 若cos,则cos α=2cos2-1=2×-1=-,故A错误; sin α=,故B正确; cos=cos,故C错误; cos=-sin=-=-=-,故D正确. 故选BD. 11.ABD　由题意,f(x)=a·b+ =sinx-cosx--sin2x+ =sin2x--(1-cos 2x)+ =sin 2xcos -cos 2xsin +cos 2x =sin 2x+cos 2x=sin2x+. 对于A,f-x=sin2-x+=sin(π-2x)=sin 2x, f+x=sin2+x+=sin(π+2x)=-sin 2x, 所以f-x=-f+x,故A正确; 对于B,T==π,故B正确; 对于C,因为-1≤sin2x+≤1,所以f(x)的最大值为,故C不正确; 对于D,f(x)=sin2x+图象的对称轴满足2x+=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,当k=0时,x=, 所以直线x=为f(x)的图象的对称轴,故D正确. 故选ABD. 12.BCD　对于A,因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 所以sin αcos β=,故选项A错误; 对于B,因为sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α), 所以,故选项B正确; 对于C,, =, 所以,故选项C正确; 对于D,-2cos(α+β)=-2cos(α+β)=-2cos(α+β) =-cos(α+β) = =, 所以=2cos(α+β)+,故选项D正确. 故选BCD. 13.　因为tan α=2,所以.故答案为. 14.-8　　tanα+=tan(α+β)-β-==-8. tanβ-==-2,tan β=-. tan(α+2β)=. 15.当α+β+γ=90°时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1 对于①式,10°+20°+60°=90°; 对于②式,13°+35°+42°=90°; 对于③式,5°+100°+=90°; 对于④式,+272°=90°. 观察①②③④中等式的结构,可得出以下结论: 当α+β+γ=90°时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1. 理由如下: ①当α+β≠90°且γ≠0°时, 若tan α,tan β,tan γ都有意义,则由两角和的正切公式可得tan, 所以tan α+tan β=tan, tan γ= =, 因此,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α =tan αtan β+tan γ =tan αtan β+=1; ②若α+β=90°且γ=0°时,则tan β=, 可得tan αtan β=1,此时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1. 综上所述,当α+β+γ=90°,且tan α,tan β,tan γ都有意义时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1. 故答案为当α+β+γ=90°时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1. 16.　 如图,等腰三角形ABC,∠ABC=36°,设AB=BC=a,AC=b,取AC的中点D,连接BD. 由题意得,sin, 所以cos∠ABC=1-2sin2=1-2×2= , 所以cos 36°=,所以sin 126°=sin(90°+36°)=cos 36°=.故答案为. 17.解 (1)已知角α的始边与x轴非负半轴重合,顶点与原点重合,且角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1), 则sin α==-,cos α=, 可得sin 2α=2sin αcos α=2×-×=-1. (2)若选①,锐角β满足tan β==2, 可得sin2β+cos2β=(2cos β)2+cos2β=5cos2β=1,解得cos β=,sin β=, 可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+-×=-. 若选②,锐角β的终边在直线y=2x上, 可得tan β=2,同①,可得cos(α-β)=-. 若选③,角β的终边与角π的终边相同, 可得sin β=sinπ=sin673π+=-sin=-, cos β=cosπ=cos673π+=-cos=-, 可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+-×-=. 18.解 (1)∵tan α=,sin2α+cos2α=1, ∴5sin2α=1,又α∈,∴sin α=. (2)∵α∈,sin α=,∴cos α=, ∴sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=2cos2α-1=, ∴cos=cos 2αcos+sin 2αsin. 19.解 (1)由sin(π+x)-cos x=-,可得-sin x-cos x=-,即sin x+cos x=, 所以,即1+2sin xcos x=, 所以sin xcos x=-<0. 因为-π<x<0,所以-<x<0,可得sin x<0,cos x>0, 所以=1-2sin xcos x=1-2×. 因为sin x-cos x<0,所以sin x-cos x=-. 由 解得所以tan x==-, 所以=-. (2)因为tan,tan β=-, 所以tan α=tan, 又因为α∈,所以α∈, 所以tan=tan=1. 因为β∈,tan β=->-,所以β∈. 因为2α∈,-β∈, 所以-π<2α-β<-, 所以2α-β=-. 20.(1)证明 因为sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B, 解得2A=2B或2A+2B=π, 即A=B或A+B=. 又A≠B,所以A+B=. (2)解 由(1)可知A+B=, 故sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A= sin. 由题意可知0<A<,所以<A+, 所以1<sin, 故sin A+sin B的取值范围是(1,]. (3)解 由题意可知sin Asin B≠0, 所以x=, 设sin A+cos A=t∈(1,], 则t2=1+2sin Acos A, 故sin Acos A=,代入得x==2, 故实数x的取值范围为[2,+∞). 21.解 (1)f(x)=sin xcos x-sin2x+ =sin 2x-(1-cos 2x)+ =sin 2x+cos 2x=sin2x+. 因为x∈-,-≤2x+, 则-≤sin2x+≤1, 所以函数f(x)在-上的值域为-,1. (2)f=sin2+=sinα+=, 又因为α∈,π,则<α+,所以cosα+=-=-, 所以cos α=cosα+-=cosα++ sinα+=. 22.解 (1)因为集合A=,θ0=0, 所以μ=. (2)由“余弦方差”的定义得 μ=+coscos θ0+sinsin θ02+=+cos2θ0=. 所以μ=是与θ0无关的定值. (3)由“余弦方差”的定义得 μ= =+(cos αcos θ0+sin αsin θ0)2+ = 2cos βcos θ0sin βsin θ0+sin2βsin2θ0 = =· = = , 要使μ是一个与θ0无关的定值,则 因为cos 2α=-cos 2β,所以2α与2β的终边关于y轴对称或关于原点对称, 又sin 2α+sin 2β=-1, 所以2α与2β的终边只能关于y轴对称, 所以 因为α∈[0,π),β∈[π,2π), 当2α=时,2β=, 当2α=时,2β=, 所以当α=,β=或α=,β=时,相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值. 学科网（北京）股份有限公司 $