第10章 三角恒等变换 午练半小时-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

午练3　几个三角恒等式 1.已知sin α=-,α是第三象限角,则tan=(　　) A.±2 B.± C.-2 D.- 2.函数f(x)=cos xsin(x+)的最小正周期为(　　) A.4π B.2π C.π D. 3.已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则(　　) A.tan(α+β)=3tan(α-β) B.tan(α+β)=2tan(α-β) C.3tan(α+β)=tan(α-β) D.3tan(α+β)=2tan(α-β) 4.已知cos θ=-,θ∈(-π,0),则sin+cos=(　　) A.- B.- C. D. 5.(多选题)已知3π≤θ≤4π,且,则θ=(　　) A. B. C. D. 6.已知sin(+α)=,则cos2()=　　　　.  7.化简:(-π<α<0)=　　　　.  8.(1)若α为第三象限角,sin α=-,求tan; (2)若tan α=2,求sin2(π-α)+2sin(+α)cos(+α)的值. 9.已知0<α<,0<β<,且3sin β=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求证:α+β=. 参考答案 1.C　因为sin α=-,α是第三象限角,所以cos α=-,由半角公式得tan=-2.故选C. 2.C　由积化和差公式可以得到函数f(x)=[sin(2x+)-sin(-)]=sin(2x+)+,其最小正周期为T==π.故选C. 3.A　因为sin 2α=2sin 2β,所以=3,即tan(α+β)=3tan(α-β).故选A. 4.B　因为cos θ=-,且θ∈(-π,0),所以sin θ=-,所以cos θ=cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)=-<0,其中cos-sin>0, 所以cos+sin<0,易得=1+sin θ=1-,所以cos+sin=-故选B. 5.CD　∵3π≤θ≤4π,2π, ∴cos>0,sin<0, 则=cos-sincos,∴cos, +2kπ或=-+2kπ,k∈Z, 即θ=-+4kπ或θ=-+4kπ,k∈Z. ∵3π≤θ≤4π,∴θ=故选CD. 6　因为cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=, 所以cos2()= 7.cos α　原式= = = 因为-π<α<0,所以-<0,所以sin<0, 所以原式==cos α.故答案为cos α. 8.解 (1)∵sin α=-,sin2α+cos2α=1,∴cos2α=, 由α为第三象限角,则cos α=-,∴tan=-5. (2)sin2(π-α)+2sin(+α)cos(+α)=sin2α+2sin αcos α= 9.证明 ∵3sin β=sin(2α+β), 即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α), ∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α. ∵4tan=1-tan2,∴tan α=, ∴tan(α+β)=2tan α=1. ∵α+,∴α+β= 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 午练1　两角和与差的三角函数 1.若sin αsin β=1,则cos(α-β)=(　　) A.0 B.1 C.±1 D.-1 2.与相等的是(　　) A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21° 3.在△ABC中,sin A=,cos B=,则cos C=(　　) A. B.-或- C.- D. 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB,且射线OA和射线OB关于x轴对称,射线OA与单位圆的交点为A,则cos(β-α)的值是(　　) A.- B. C. D.- 5.(多选题)化简cos α-sin α的结果可以是(　　) A.cos B.2cos C.sin D.2sin 6.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值(记为m)也可以表示为m=2sin 18°.若m2+n=4,则=　 　. 7.已知α∈(-,0),β∈(0,),cos α=,且cos(α-β)=,则sin(α+)=　　　　,cos β=　　　　. 8.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-. (1)求sin(α-β)和cos(α+β); (2)求角α. 9.在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状. 参考答案 1.B　由sin αsin β=1,可知sin α=1,sin β=1或sin α=-1,sin β=-1,此时均有cos α=cos β=0,从而cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B. 2.B　原式==tan(45°-21°)=tan 24°. 故选B. 3.D　依题意得sin B=,sin B>sin A,∴B>A, ∵cos B>0,即B为锐角,∴A为锐角. 又∵sin A=,∴cos A=, ∴cos C=cos [π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-故选D. 4.D　由任意角的三角函数的定义可得,cos α=-,sin α= 因为A,且射线OA和射线OB关于x轴对称, 所以射线OB与单位圆的交点为B,于是得cos β=-,sin β=-, 因此,cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-=-, 所以cos(β-α)的值是-故选D. 5.BD　cos α-sin α=2 =2 =2cos=2sin故选BD. 6.-2　因为m=2sin 18°,m2+n=4, 所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°, 所以=-2 故答案为-2 7　因为α为第四象限角,cos α=,所以sin α=-=- 所以sin(α+)=sin α+cos α=(-)+ 因为α∈(-,0),β∈(0,), 所以α-β∈(-π,0). 又因为cos(α-β)=, 所以sin(α-β)=-=- 所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=+(-)×(-)= 8.解 (1)由<β<α<,得0<α-β<,sin(α-β)>0, 所以sin(α-β)=, 又因为π<α+β<,所以cos(α+β)<0, 所以cos(α+β)=-=- (2)sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-+(-)=-, 因为π<2α<,所以2α=,得α= 9.解 tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)==-, 因为0°<A<180°,所以A=120°. tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=, 因为0°<C<180°,所以C=30°. 所以B=180°-120°-30°=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 午练2　二倍角的三角函数 1.计算:1-2cos267.5°=(　　) A.- B.- C.- D. 2.已知x∈,cos x=,则tan 2x=(　　) A. B.- C. D.- 3.已知cos α=,α∈,则sin=(　　) A. B.- C. D. 4.(多选题)下列各式的值为的是(　　) A.sin B.sincos C.cos2-sin2 D. 5.若tan θ=-2,则=(　　) A.- B.- C. D. 6.已知cos(-x)=,则sin 2x=　　　　.  7.=　　　　.  8.已知函数f(x)=cos2sin x-.若f(α)=,则sin(2α+)=　　　　.  9.已知函数f(x)=2cos,x∈R. (1)求f(π)的值; (2)若f,α∈,求f(2α)的值. 10.已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 参考答案 1.D　由余弦的倍角公式,可得1-2cos267.5°=-cos(2×67.5°)=-cos 135°=故选D. 2.D　由cos x=,x,得sin x=-,所以tan x=-,所以tan 2x==-故选D. 3.A　,,∴sin故选A. 4.AD　对于A,sin=sin=sin=sin,符合题意; 对于B,sincossinsin,不符合题意; 对于C,cos2-sin2=cos=cos,不符合题意; 对于D,tantan,符合题意.故选AD. 5.C　因为tan θ=-2, 所以=sin θ·(sin θ+cos θ)= 故选C. 6.-　因为sin 2x=cos(-2x)=cos[2(-x)]=2cos2(-x)-1, 所以sin 2x=2×()2-1=-1=- 7.1　=1. 8.-　f(x)=sin x-sin x+cos x=sin(x+), 因为f(α)=,所以sin(α+)=, 所以cos(2α+)=1-2sin2(α+)=, 又2α++(2α+),所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]=-cos(2α+)=- 9.解 (1)f(π)=2cos=-2cos=-2=- (2)因为f=2cos=-2sin α=, 所以sin α=-又, 所以cos α=, 所以sin 2α=2sin αcos α=2=-, cos 2α=2cos2α-1=2-1=, 所以f(2α)=2cos =2cos 2αcos+2sin 2αsin =2+2 10.解 (1)因为tan α=, 所以sin α=cos α. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=, 所以cos 2α=2cos2α-1=- (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)=, 所以tan(α+β)=-2. 因为tan α=,所以tan 2α==-, 所以tan(α-β)=tan [2α-(α+β)]==- 3 学科网（北京）股份有限公司 $