8.2.2 离散型随机变量的数字特征（第2课时 离散型随机变量的方差与标准差）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差与标准差，涵盖定义、计算公式及线性变换性质，通过回顾均值概念引入方差，搭建从平均水平到波动程度的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是结合投篮命中率、股票投资等实例培养数学眼光，通过公式推导和性质应用发展数学思维，用分布列规范表达强化数学语言。题型分类清晰且规律总结到位，助力学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

8.2.2 离散型随机变量的数字特征 第2课时 离散型随机变量的方差与标准差 1 【课标要求】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差及标准差,并能解决一些实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 离散型随机变量的方差与标准差 1.离散型随机变量的方差、标准差 （1）若离散型随机变量 的概率分布如表所示. … … 其中,,,2, ,,,则 描述了 相对于均值 的偏离程度,故 （其中,,2, , , ）刻画了随机变量与其均值 的平均偏离程度,我们将其称为 离散型随机变量的方差,记为或 ，即 . 4 （2）方差也可用公式 计算. （3）随机变量的方差也称为的概率分布的方差,的方差 的算术平方根称 为的标准差,即 . 名师点睛 （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. （2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 的取值的稳定性和波动、集 中与离散程度. （3）越小,随机变量 的取值越稳定,波动越小. 5 2.几个常见的结论 设的分布列为,,2, , ,则 （1） . （2） . （3）若服从两点分布,则, . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】求离散型随机变量的方差 例1（1） 设离散型随机变量 的概率分布列为 1 2 3 4 则 等于( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意知, ,故 . 8 （2）若某运动员投篮命中率,则该运动员在一次投篮中命中次数 的方差为_____. 0.16 [解析] 依题意知， 服从两点分布, 所以 . 9 规律方法 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 （1）已知分布列（非两点分布）:直接利用定义求解,先求均值,再求方差. （2）已知分布列是两点分布:直接套用公式 求解. （3）未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,然后转化成 （1）中的情况. 10 跟踪训练1 在一个口袋中装有编号为1,2,3的3个红球和编号为1,2的2个白球,这些球除 颜色和编号外完全相同.现从袋中随机地摸出两个球. （1）在已知摸出两球编号之和大于3的条件下,求两球颜色相同的概率； 解 记“两球编号之和大于3”为事件,记“两球颜色相同”为事件 , 则 中包含的基本事件共有5个:（红1,红3）,（红2,红3）,（红2,白2）,（红3,白1）, （红3,白2）. AB中包含的基本事件共有2个:（红1,红3）,（红2,红3）. 故 , 即在已知摸出两球编号之和大于3的条件下,两球颜色相同的概率为 . 11 （2）记摸出的两个球编号之和为,求随机变量 的分布列、数学期望和方差. 解 由题意, 的可能取值有2,3,4,5. ， , , , 所以 的分布列为 2 3 4 5 的期望 . 的方差 . 12 【题型二】均值与方差性质的应用 例2 设随机变量 的概率分布列为 0 1 若,则 等于( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意知, ,故 , . 13 规律方法 与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路 （1）若给出的随机变量与的关系为,, 为常数,一般思路是先求出 ,再利用公式求；也可以利用的分布列得到 的分布 列,关键是由的取值计算的取值,对应的概率相等,再由定义法求得 . （2）求随机变量的方差,一种方法是先求 的分布列,再求其均值,最后 求方差;另一种方法是应用公式 求解. 14 跟踪训练2 已知随机变量 的概率分布列为 0 1 若 . （1）求 的值; 解 由概率分布列的性质,得,解得. , . . 15 （2）若,求 的值. 解 , , . 【题型三】均值与方差的综合应用 例3 投资甲、乙两种股票,每股收益（单位：元）分别如下表： 甲种股票收益分布列 收益 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙种股票收益分布列 收益 0 1 2 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是( ) C A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 17 [解析] 甲收益的期望 , 方差 . 乙收益的期望 , 方差 . 所以, ,则投资股票甲、乙的期望收益相等,投资股票甲比投 资股票乙的风险高. 18 规律方法（1）均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值 往往是不恰当的,还需比较它们取值的离散程度,即通过比较方差,才能准确地得出更恰 当的判断. （2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系,利用题目中 所给出的条件,合理地列出方程或方程组求解,同时也应注意合理选择公式,简化问题的 解答过程. 跟踪训练3 为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名 射手在一次射击中的环数为两个相互独立的随机变量, ,甲、乙两名射手在每次射击 中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为,,, ,乙射中10,9,8环 的概率分别为,, . 19 （1）求, 的分布列; 解 依题意,,解得 . 乙射中10,9,8环的概率分别为,, , 乙射中7环的概率为 , , 的概率分布分别为 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 20 （2）求, 的均值与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 解 由（1）可得 , , , . 由于 ,说明甲平均射中的环数比乙高, 又因为 ,说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定, 所以甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加奥运会. 21 $