8.2.2离散型随机变量的数字特征 第2课时——方差与标准差（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

8.2.2离散型随机变量的数字特征 第2课时——方差与标准差 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 第8章概率 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.离散型随机变量的均值、方差和标准差的概念和计算公式。 2.运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题的方法和步骤。 难点 3 1.透彻理解离散型随机变量的数字特征的意义和作用，尤其是如何通过这些数字特征评估随机变量的集中趋势和离散程度。 2.针对复杂的实际问题，准确地计算离散型随机变量的数字特征，并运用这些特征进行合理的决策。 1.使学生理解离散型随机变量的数字特征（均值、方差、标准差）的概念和意义。 2.学生能够掌握离散型随机变量的均值、方差和标准差的计算公式，并能根据具体问题求解这些数字特征。 3.学生能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，如比较不同方案的优劣、评估风险等。 新课导入 1、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值 或数学期望，记为E(X)或μ，即 2、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 (1) E(c) ＝c； (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b。 新课导入 3、两点分布的均值(数学期望) 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 4、离散型随机变量的概率分布列的性质 (1) pi ≥0， i＝1，2，···，n； (2) 。 5、求离散型随机变量的概率分布列的步骤 (1)确定随机变量X的可能取值xi(i＝1，2，···)； (2)求出相应的概率P(X ＝xi)＝pi； (3)列成表格的形式。 新课讲授 新课讲授 新课讲授 1、离散型随机变量的方差与标准差 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 则(xi－ μ)2 (μ＝E(X))描述了xi (i＝1，2，···，n) 相对于均值μ的偏离程度，故 (x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋···＋(xn－μ)2pn (其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1)刻画随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2 ，即 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差， X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即 新课讲授 新课讲授 2、离散型随机变量的方差的变形公式 ★随机变量的方差与标准差都反映了随机变量的取值 偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，随机 变量偏离于均值的平均程度就越小。 随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 新课讲授 典例分析 例3、已知随机变量X的概率分布如下表所示，求X的方差 D(X)和标准差σ。 X 0 1 P 1－p p 解：因为μ＝0×(1－p)＋ 1×p＝p 所以 D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p) 新课讲授 典例分析 3、两点分布的方差和标准差 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 (1)方差： (2)标准差： 新课讲授 典例分析 4、离散型随机变量的均值(数学期望)与方差(标准差)的性质 (1) E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b ； (2) D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)。 一般地, 若 X 是随机变量， Y=aX+b (a，b是常数)也是 随机变量，则 新课讲授 典例分析 例4、设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X， Y的概率分布如下表所示， 类型二 离散型随机变量方差和标准差的应用 X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 解：两批原棉纤维长度的均值分别为 E(X)＝25×0.1＋24×0.2＋23×0.3＋22×0.1＋ 21×0.1＋20×0.2＝22.5 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ E(Y)＝25×0.05＋24×0.2＋23×0.25＋22×0.3＋ 21×0.1＋20×0.1＝22.5 这两批原棉的纤维平均长度相等。 新课讲授 典例分析 例4、设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X， Y的概率分布如下表所示， X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 两批原棉纤维长度的方差分别为 D(X)＝(25－22.5)2×0.1＋(24－22.5)2×0.2＋ (23－22.5)2×0.3＋(22－22.5)2×0.1＋ (21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.2＝2.65 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地原棉的要好一些。 D(Y)＝(25－22.5)2×0.05＋(24－22.5)2×0.2＋ (23－22.5)2×0.25＋(22－22.5)2×0.3＋ (21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.1＝1.75 题后小结 规律方法　1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 理解X的意义,写出X可能取的全部值 ↓ 求出X取每个值时的概率 ↓ 列出X的分布列 ↓ 由均值的定义求出E(X) ↓ 利用公式D(X)= (xi-E(X))2pi求出D(X) 2.已知随机变量η=aξ+b求D(η)时,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用,这样既可以避免求随机变量η的分布列,又能避免复杂的计算,可简化计算过程. 新课讲授 学后总结 规律方法　离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定. 新课讲授 学以致用 解析 答案 新课讲授 学以致用 答案 新课讲授 学以致用 解析 新课讲授 学以致用 解析 答案 新课讲授 学以致用 解析 新课讲授 学以致用 解析 学以致用 5.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：求各单位的均值与方差， E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1 =1400 D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+ (1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1 =160000 E(X1)=E(X2)，平均工资相等， D(X1)<D(X2)，第一家工资级差小于第二家， 如果希望工资差距小一些, 就选择第一家。 22 学以致用 6.甲、乙两名射手在同一条件下射击, 所得环数 X1，X2 的分布列为 0.18 0.1 0.42 0.14 0.16 P 10 9 8 7 6 X1 0.17 0.28 0.12 0.24 0.19 P 10 9 8 7 6 X2 根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平。 解：E(X1)=60.16+70.14+80.42+90.1+100.18 =8 D(X1)=(6-8)20.16+(7-8)20.14+(8-8)20.42+ (9-8)20.1+(10-8)20.18 =1.6 23 学以致用 7.甲、乙两名射手在同一条件下射击, 所得环数 X1，X2 的分布列为 0.18 0.1 0.42 0.14 0.16 P 10 9 8 7 6 X1 0.17 0.28 0.12 0.24 0.19 P 10 9 8 7 6 X2 根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平。 E(X2)=60.19+70.24+80.12+90.28+100.17 =8 D(X2)=(6-8)20.19+(7-8)20.24+(8-8)20.12+(9-8)20.28+ (10-8)20.17 =1.96 两名射手的平均成绩相同，第一名射手相对较为稳定， 获得 8 环左右的把握性要大一些。 E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)， 24 学以致用 8.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：求各单位的均值与方差， E(X1)=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1 =1400 D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+ (1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1 =40000 25 新课讲授 学以致用 9.已知随机变量 X 的分布列为 X －2 1 3 P 0.16 0.44 0.40 求 E(2X＋5)，D(2X＋5)。 法二：E(2X＋5)=2E(X)＋5＝21.32＋5＝7.64 D(2X＋5)＝22D(X) ＝4×2.9376 ＝11.7504 0.40 0.44 0.16 P 11 7 1 2X+5 解：已知随机变量 2X+5 的分布列为 D(2X＋5)＝(1－7.64)2×0.16＋(7－7.64)2×0.44＋ (11－7.64)2×0.40＝11.7504 E(2X＋5)＝1×0.16＋7×0.44＋11×0.40＝7.64 学以致用 10.已知随机变量 X 的分布列为 X －2 1 3 P 0.16 0.44 0.40 解：E(X)＝(－2)×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32 D(X)＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋ (3－1.32)2×0.40＝2.9376 ≈1.7139 求 E(X)，D(X)， 。 课堂小结 1、离散型随机变量的方差与标准差 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 则 课堂小结 2、两点分布的方差和标准差 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 (1)方差： (2)标准差： 3、离散型随机变量的均值(数学期望)与方差(标准差)的性质 (1) E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b ； (2) D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)。 一般地, 若 X 是随机变量， Y=aX+b (a，b是常数)也是 随机变量，则 29 课堂小结 1、离散型随机变量的方差与标准差 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 则 30 课堂小结 2、两点分布的方差和标准差 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 (1)方差： (2)标准差： 3、离散型随机变量的均值(数学期望)与方差(标准差)的性质 (1) E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b ； (2) D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)。 一般地, 若 X 是随机变量， Y=aX+b (a，b是常数)也是 随机变量，则 31 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 感谢聆听 甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下， 他们生产10件产品所出的不合格品数分别用 ， 表示， ， 的概率分布如表所示 X1 0 1 2 3 Pk 0.6 0.2 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 Pk 0.5 0.3 0.2 0 从均值看， 都是0．7， 那么甲、乙两名工人哪个的技术稳定性更好一些？ 我们知道，当样本平均数相差不大时， 可以利用样本方差考察样本数据与样本平均数的偏离程度． 能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 【解析】 由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，故①正确；D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)，故②不正确，③显然正确． 1. 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 则下列式子：①E(X)＝－eq \f(1,3)；②D(X)＝eq \f(23,27)；③P(X＝0)＝eq \f(1,3).其中正确的个数是(　　) A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3 2. 设a，b，c∈(0,1)，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P a b c 若E(ξ)＝eq \f(4,3)，D(ξ)＝eq \f(5,9)，则a，b的值分别为(　　) A. a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,6)　　 B. a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3) C. a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,3)　　 D. a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,2) 【解析】 由分布列可知a＋b＋c＝1①，E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×c＝eq \f(4,3)②，D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)))2×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))2×b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,3)))2×c＝eq \f(5,9)，即16a＋b＋4c＝5③，联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(1,2).)) 【解析】 由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq \f(a,2)＋eq \f(a,3)＋eq \f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq \f(5,6)，故A正确；E(ξ)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋5×eq \f(1,6)＝2，则E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B正确；D(ξ)＝eq \f(1,2)×(1－2)2＋eq \f(1,3)×(2－2)2＋eq \f(1,6)×(5－2)2＝2，故C正确；D(3ξ＋1)＝9D(ξ)＝18，故D不正确．故选ABC. 3. (多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(a,k＋1)(k＝1, 2, 5)，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论中正确的是(　　) A. P(0<ξ<3.5)＝eq \f(5,6)　　 B. E(3ξ＋1)＝7 C. D(ξ)＝2　　 D. D(3ξ＋1)＝6 【解析】 由题意，得ξ的所有可能取值为1,3,4,6. 当ξ＝1时，直接从1号通道走出，则P(ξ＝1)＝eq \f(1,3)， 当ξ＝3时，先走2通道，再走1通道，则P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)， 当ξ＝4时，先走3通道，再走1通道，则P(ξ＝4)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)， 4.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1 h走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2 h、3 h返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列、均值和方差． 当ξ＝6时，先走2通道，再走3通道，最后再走1通道，或者先走3通道，再走2通道，最后再走1通道，则P(ξ＝6)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(1,3)， 所以ξ的分布列为 ξ 1 3 4 6 P eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,3) 所以E(ξ)＝1×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,6)＋6×eq \f(1,3)＝eq \f(7,2)(h)， D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,2)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(7,2)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(17,4). $$