8.2.2 离散型随机变量的数字特征（第1课时 离散型随机变量的均值）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，从概率分布表切入，结合具体实例解析均值定义，通过名师点睛深化其含义、来源及单位，衔接前期概率知识，为后续数字特征学习搭建支架。 其亮点在于以投球得分、取球试验等实例培养数学眼光观察现实，题型分析中均值性质应用训练数学思维推理，产品利润计算等问题强化数学语言表达。规律方法总结助学生结构化学习，能提升学生解决实际问题能力，也为教师提供清晰教学路径。

8.2.2 离散型随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 1 【课标要求】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的均值. 2.能计算简单离散型随机变量的均值. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 离散型随机变量的均值 随机变量 的概率分布如表所示, … 概率 … 其中,,2, ,,,将 称为随 机变量的均值或数学期望,记为或 . 4 名师点睛 对离散型随机变量的均值的几点说明. （1）含义:均值是离散型随机变量的一个重要特征数,反映或刻画的是随机变量取 值的平均水平. （2）来源:均值不是通过一次或多次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中 表现出来的相对稳定的值. （3）单位:随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】求离散型随机变量的均值 例1 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与 ,投中得1分,投不中得0分.已知乙 投球两次均未命中的概率为 . （1）甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少有一次命中的概率; 解 记“这四次投球中至少有一次命中”为事件 , 则“这四次投球均未命中”是事件 的对立事件, 则 . 7 （2）甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的均值. 解 依题意,,则 , 记“甲投一次命中”为事件,“乙投一次命中”为事件 ,则 ,,, , 甲、乙两人得分之和 的可能取值为0,1,2, , , , 两人得分之和的均值为 . 8 规律方法 求离散型随机变量的均值的步骤 （1）确定离散型随机变量 的取值. （2）写出分布列,并检查分布列正确与否. （3）根据公式求出均值. 9 跟踪训练1 （多选题）袋内装有大小、形状完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放 回地随机取球,每次任取1个,直至取到白球后停止取球,则( ) BCD A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球3次的概率为 D.取球次数 的期望为 10 [解析] 对于选项A,抽取2次后停止取球的概率为 ,故选项A错误； 对于选项B,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为 ,故选项B正 确； 对于选项C、选项D,由 为停止取球后取出球的个数, 则,, , 则期望,故选项C、选项D正确.故选 . 11 【题型二】离散型随机变量的均值的性质 例2 已知随机变量 的分布列为 0 1 2 若,则 ___. [解析] 由分布列的性质,得,解得 , 故 . 由,得 . 规律方法 若给出的随机变量 与的关系为,, 为实数.一般思路是先求出 ,再利用公式求出 . 12 跟踪训练2 已知,,,且,记随机变量 为,, 中的最大值,则 ____. 17 [解析] 由题意可得 的可能取值为4,5,6,7,8, 用隔板法可求得事件总情况为 （种）. 若,三个正整数为3,3,4或2,4,4,则有（种）,故 ； 若,三个正整数为1,4,5或2,3,5,则有（种）,故 ； 若,三个正整数为1,3,6或2,2,6,则有（种）,故 ； 若,三个正整数为1,2,7,则有（种）,故 ； 若,三个正整数为1,1,8,则有（种）,故 . 故 的分布列为 13 4 5 6 7 8 故 . 所以 . 14 【题型三】均值的简单应用 例3 有9张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机抽取3张. （1）求抽取的3张卡片上的数字中任意2个均不在下表的同一行,且不在同一列的概率; 解 从9张卡片中抽取3张卡片共有 （种）结果, 3个数字均不在同一行,也不在同一列共有 （种）结果, 故所求概率为 . 15 （2）若抽取的3张卡片上的3个数字均为奇数或均为偶数记为情况①;若3个数字位于 下表的同一行或同一列或同一对角线上记为情况②.同时满足①②两种情况得3分;仅满 足情况①得2分;仅满足情况②得1分;其他情况得0分.求得分的分布列及均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 解 设得分为,则 的所有可能取值为0,1,2,3, 3个数字均为奇数有种结果,均为偶数有 种结果,故共有14种结果, 3个数字在同一行或同一列或同一对角线上共有8种结果, 以上两种情况同时满足的,共有2种结果, 故 , , , , 故 的分布列为 17 0 1 2 3 故 . 规律方法 解答应用类问题时,首先把问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析 相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应概率. 跟踪训练3 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、 三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、 1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润（单位:万元）为 . （1）求 的分布列; 解 的所有可能取值有6,2,1, , , , , . 故 的分布列为 6 2 1 0.63 0.25 0.1 0.02 19 （2）求1件产品的平均利润（即 的均值）; 解 （万元）. （3）经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为 .若此 时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？ 解 设技术革新后的三等品率为 ,则此时1件产品的平均利润为 , 依题意知,,即 , 解得,所以三等品率最多为 . 21 $