8.2.2离散型随机变量的数字特征 第1课时——离散型随机变量的均值（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

8.2.2离散型随机变量的数字特征 第1课时 ——离散型随机变量的均值 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 第8章概率 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.离散型随机变量的均值、方差和标准差的概念和计算公式。 2.运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题的方法和步骤。 难点 3 1.透彻理解离散型随机变量的数字特征的意义和作用，尤其是如何通过这些数字特征评估随机变量的集中趋势和离散程度。 2.针对复杂的实际问题，准确地计算离散型随机变量的数字特征，并运用这些特征进行合理的决策。 1.使学生理解离散型随机变量的数字特征（均值、方差、标准差）的概念和意义。 2.学生能够掌握离散型随机变量的均值、方差和标准差的计算公式，并能根据具体问题求解这些数字特征。 3.学生能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，如比较不同方案的优劣、评估风险等。 新课讲授 新课讲授 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的取值规律，但在实际问题中往往不容易求出精确的分布规律，而对于很多此类问题，并不需要了解这个规律的全貌，只要知道能揭示其分布特征的某些重要数字就够了． 问题1：离散型随机变量有哪些数字特征呢? 某种福利彩票每张彩票1元，购买者每买张彩票随机可重复地从0，1，2，…，9这十个数字中选择3个数字．当所选3个数字与随机摇出的获奖3位号码数字及顺序均相同时，可以获得500元奖金． 问题2：如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？ 新课导入 某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2， ···，9这十个数字中选择3个数字(可以重复)，当所选数字与随机摇出的开奖号码及数字顺序均相同时，可以获得500元奖金，如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？ 分析：要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的前提下，平均每张彩票的收益金额。 因为从0，1，2，···，9这10个数字中抽取3个数字(可以重复抽取)，共有1000种抽法，所以购买一张彩票的获奖概率为0.001。 根据条件可知，若设随机 变量X为购买1张彩票时的 中奖金额，则其概率分布 如下表所示。 X 0 500 P 0.999 0.001 新课讲授 新课讲授 情境2：某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2， ···，9这十个数字中选择3个数字(可以重复)，当 所选数字与随机摇出的开奖号码及数字顺序均相 同时，可以获得500元奖金，如果你长期购买这种 彩票，那么你的收益状况如何？ 也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来 说，每1000张彩票中有且只有1张中奖，即中奖总 金额为500元，因此，平均每张彩票的中奖金额为 500÷1000＝0.5元，我们将0.5称为购买一张彩票 收益均值或(数学期望)。 这里的0.5页可以由下面的式子 0×0.999＋500×0.001 求得。 新课讲授 新课讲授 问题：在数学《必修第二册》中，我们学习过样本平均数， 与这里的数学期望是相同概念吗？ 说说你的认识？ 1、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值 或数学期望，记为E(X)或μ，即 ★均值(或数学期望)反映了离散型随机变量取值的平均水平。 新课讲授 新课讲授 2、数学期望与样本平均数比较 实际统计数 规律数 (概率p) 样本平 均情况 变量平 均情况 估计总体 平均情况 推测结果 平均情况 频率p 样本平 均情况 估计总体 平均情况 数学期望 样本平均数 样本平均数 计算公式 数据来源 反映特征 实际意义 新课讲授 典例分析 数学练习 1、若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)=1，求 a 和 b。 2、抛掷一枚骰子，设向上一面的点数为X，求随机变量X 的数学期望。 变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，记为变量Y， 即Y＝2X＋1，试求Y的数学期望。 新课讲授 典例分析 3、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 (1) E(c) ＝c； (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b。 4、两点分布的均值(数学期望) 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 新课讲授 典例分析 例1、 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，设工地上有一台大型设备， 为保护设备有以下三种方案， 方案1：运走设备，此时需花费3800元； 方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法 防止大洪水，当大洪水来临时，设备受损， 损失60000元； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水 来临损失60000元，小洪水来临损失10000元， 试从方案的花费与期望损失的和最小的角度比较哪一 种方案较好。 解：对于方案1：花费3800元，损失为0元，花费与 损失之和为3800元； 新课讲授 典例分析 例1、 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，设工地上有一台大型设备， 为保护设备有以下三种方案， 方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法 防止大洪水，当大洪水来临时，设备受损， 损失60000元； 解：对于方案2：花费为2000元，损失费的概率分布 如下表所示： 损失费/元 60000 0 概率 0.01 0.99 期望损失为60000×0.01＋0×0.99＝600(元)，所 以花费与期望损失之和为2000＋600＝2600(元)； 典例分析 例1、 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，设工地上有一台大型设备， 为保护设备有以下三种方案， 方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法 防止大洪水，当大洪水来临时，设备受损， 损失60000元； 解：对于方案2：花费为2000元，损失费的概率分布 如下表所示： 损失费/元 60000 0 概率 0.01 0.99 期望损失为60000×0.01＋0×0.99＝600(元)，所 以花费与期望损失之和为2000＋600＝2600(元)； 典例分析 例1、 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，设工地上有一台大型设备， 为保护设备有以下三种方案， 方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水 来临损失60000元，小洪水来临损失10000元， 解：对于方案3：花费为0元，损失费的概率分布如 下表所示： 损失费/元 60000 10000 0 概率 0.01 0.25 0.74 期望损失为 60000×0.01＋10000×0.25 ＋0×0.74 ＝3100(元)，所以花费与期望损失之和为3100(元)； 比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与 期望损失的和最小，故方案2较好。 13 典例分析 例4、在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知 道，该地区居民得此病的概率为0.1%，现有1000人 去验血，给出下面两种化验方法， 方法1：对1000人逐一进行化验； 方法2：将1000人分为100组，每组10人，对于每个组 现将10人的血各取出部分，并混合在一起进 行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定 这10人无此疾病，如果结果呈阳性，那么再 逐一化验， 试问：那种方法较好？ 解：第1种方法化验的次数为1000， 第2种方法：如果某组的混合血液结果呈阴性， 就可以断定这10人均无此疾病，那么对这10人 只化验1次；如果结果呈阴性，那么必须对这10 人再逐一化验，这时共需进行11次化验，因为对 14 典例分析 例1、在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知 道，该地区居民得此病的概率为0.1%，现有1000人 去验血，给出下面两种化验方法， 方法2：将1000人分为100组，每组10人，对于每个组 现将10人的血各取出部分，并混合在一起进 行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定 这10人无此疾病，如果结果呈阳性，那么再 逐一化验， 所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而 且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的 化验次数X的概率分布如下表所示， 15 典例分析 数学应用 例2、在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知 道，该地区居民得此病的概率为0.1%，现有1000人 去验血，给出下面两种化验方法， 方法2：将1000人分为100组，每组10人，对于每个组 现将10人的血各取出部分，并混合在一起进 行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定 这10人无此疾病，如果结果呈阳性，那么再 逐一化验， 所以1000人化验次数的均值为 因此，方法2远好于方法1。 因为每个人化验次数X的均值为 16 学以致用 规律方法　求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值. (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否. (3)根据公式求出均值. 17 学以致用 解析 答案 18 学以致用 答案 19 学以致用 解析 20 学以致用 解析 答案 21 学以致用 变式训练3 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 22 学以致用 故X的分布列为 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元). 23 学以致用 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29), 依题意,知E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%. 24 学以致用 25 新课讲授 典例分析 现要发行 10000 张彩票，其中中奖金额为 2 元的彩票1000 张，10 元的彩票 300 张，50 元的彩票 100 张，100 元的彩 票 50 张，1000 元的彩票 5 张，求1 张彩票可能中奖金额的均值是多少？ X 2 10 50 100 1000 P 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 解：设中奖金额为 X，其分布列如下： E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005 ＋1000×0.0005＝2 学以致用 27 课堂小结 1、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值 或数学期望，记为E(X)或μ，即 2、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 (1) E(c) ＝c； (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b。 课堂小结 3、两点分布的均值(数学期望) 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 4、离散型随机变量的概率分布列的性质 (1) pi ≥0， i＝1，2，···，n； (2) 。 5、求离散型随机变量的概率分布列的步骤 (1)确定随机变量X的可能取值xi(i＝1，2，···)； (2)求出相应的概率P(X ＝xi)＝pi； (3)列成表格的形式。 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 感谢聆听 【解析】 由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，故①正确；D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)，故②不正确，③显然正确． 1. 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 则下列式子：①E(X)＝－eq \f(1,3)；②D(X)＝eq \f(23,27)；③P(X＝0)＝eq \f(1,3).其中正确的个数是(　　) A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3 2. 设a，b，c∈(0,1)，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P a b c 若E(ξ)＝eq \f(4,3)，D(ξ)＝eq \f(5,9)，则a，b的值分别为(　　) A. a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,6)　　 B. a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3) C. a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,3)　　 D. a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,2) 【解析】 由分布列可知a＋b＋c＝1①，E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×c＝eq \f(4,3)②，D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)))2×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))2×b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,3)))2×c＝eq \f(5,9)，即16a＋b＋4c＝5③，联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(1,2).)) 【解析】 由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq \f(a,2)＋eq \f(a,3)＋eq \f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq \f(5,6)，故A正确；E(ξ)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋5×eq \f(1,6)＝2，则E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B正确；D(ξ)＝eq \f(1,2)×(1－2)2＋eq \f(1,3)×(2－2)2＋eq \f(1,6)×(5－2)2＝2，故C正确；D(3ξ＋1)＝9D(ξ)＝18，故D不正确．故选ABC. 3. (多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(a,k＋1)(k＝1, 2, 5)，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论中正确的是(　　) A. P(0<ξ<3.5)＝eq \f(5,6)　　 B. E(3ξ＋1)＝7 C. D(ξ)＝2　　 D. D(3ξ＋1)＝6 解 (1)X的所有可能取值有6,2,1,-2, P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25, P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02. $$