8.2.1随机变量及其分布列课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，涵盖随机变量概念、分布列定义与性质、两点分布等核心知识，通过抛掷硬币、取球等实例导入，衔接概率基础，为后续数字特征学习搭建认知支架。 其亮点在于以实例驱动概念建构，通过“三步法”判定随机变量、分布列性质应用等题型，培养学生用数学眼光观察随机现象、用数学思维推理概率关系、用数学语言表达分布规律。如例1辨析随机变量，例3结合数据求分布列，帮助学生夯实基础，教师可借力题型训练提升教学实效。

8.2 离散型随机变量及其分布列 8.2.1 随机变量及其分布列 1 【课标要求】 1.通过实例,了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现象的重要性. 2.理解离散型随机变量的分布列,掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ,都有唯一的实数 与之 对应，则称为随机变量.通常用大写英文字母,,（或小写希腊字母 , , ）等表 示随机变量,而用小写英文字母,, （加上适当下标）等表示随机变量的取值. 1.离散型随机变量 取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量. 2.连续型随机变量 取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量. 4 知识点2.概率分布列 1.定义 一般地,随机变量有个不同的取值,它们分别是,, ,,且 , ,2, , ,① 称①为随机变量的概率分布列,简称为 的分布列. 2.表示 分布列可以用下表来表示. … … 我们将上表称为随机变量的概率分布表.它和①都叫作随机变量 的概率分布. 5 3.性质 （1）,,2,3, ， ; （2） . 随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率. 6 知识点3.两点分布 随机变量只取两个可能值0和1.把这一类概率分布称为 分布或两点分布,并 记为分布或 两点分布.此处“～”表示“服从”. 名师点睛 离散型随机变量分布列的意义和作用： （1）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也 能看出取每一个值的概率的大小,从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况, 是进一步研究随机试验数量特征的基础. （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】随机变量的概念 例1（1） （多选题）抛掷一枚均匀硬币一次,下列不能作为随机变量的是( ) ACD A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数 C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和 [解析] 抛掷一枚均匀硬币一次,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以某一个为标 准,如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量 , 的 取值是0,1,故B正确； 而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量; C项中,出现正面或反面的次数为1,为必然事件,不是随机变量; D项中,出现正面和反面的次数之和为1,为必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也 不是随机变量. 9 （2）（多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是( ) AB A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张,被取出的卡片的号数 B.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数 C.某林场树木最高达 ,则此林场中树木的高度 D.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 [解析] 只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,A符合离散 型随机变量的定义; 从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球,2个白球和1个黑球,1个白球和2 个黑球,3个黑球.所含白球的个数可以一一列出,B符合离散型随机变量的定义; 林场树木的高度是一个随机变量,它可以取 内的一切值,无法一一列举,C不是离 散型随机变量. 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,D不是离散型随机变量. 10 规律方法 “三步法”判定离散型随机变量 （1）依据具体情境分析变量是不是随机变量. （2）由条件求解随机变量的值域. （3）判断变量的取值是不是有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变 量;否则,不是离散型随机变量. 11 跟踪训练1 指出下列哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. （1）某人射击一次命中的环数; 解 某人射击一次,可能命中的环数是0,1, ,10,而且出现哪一个结果是随机的,因此命 中的环数是随机变量. （2）掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数. 解 掷一枚骰子一次,出现的结果是1点、2点、3点、4点、5点、6点中的一个,且出 现哪一个结果是随机的,因此出现的点数是随机变量. 12 【题型二】用随机变量表示事件的结果 例2 写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. （1）袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到 取出的球是白球为止,所需要的取球次数; 解 设所需的取球次数为,则,2,3,4, ,10,11,表示前 次取到的均是红 球,第次取到白球,这里,2,3,4, ,11. 13 （2）从分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 解 设所取卡片上的数字之和为,则,4,5, ,11. 表示“取出标有1,2的两张卡片”; 表示“取出标有1,3的两张卡片”; 表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; 表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”; 表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”; 表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”; 表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”; 表示“取出标有4,6的两张卡片”; 表示“取出标有5,6的两张卡片”. 14 规律方法 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 （1）关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个 值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. （2）注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. 15 变式探究 若本例（2）中条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量,请问 有哪 些取值？ 表示什么含义？ 解 的所有可能取值有1,2,3,4,5. 表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”. 16 跟踪训练2 一个木箱中装有6个大小相同的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现随机抽取3个 篮球,以表示取出的篮球的最大号码,则所有可能的取值为_______,其中 表示的 试验结果有___种. 3,4,5,6 3 [解析] 根据题意可知,的可能取值为3,4,5,6,其中当 时,表示取得的一球编号为4, 另两个球从1,2,3中选取,有 （种）. 17 【题型三】离散型随机变量的分布列 例3 为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素, 的含量 （单位:毫克）,测量数据如下: 微量元素 编号 1 2 3 4 5 169 178 166 177 180 75 80 77 70 81 当产品中的微量元素,满足且 时,该产品为优等品.现从上述5件产品中, 随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数 的分布列. 18 解 由题意知，5件抽测品中有2件优等品,则 的可能取值为0,1,2. , , . 优等品数 的分布列为 0 1 2 0.3 0.6 0.1 规律方法 求离散型随机变量分布列的步骤 （1）确定随机变量 的取值; （2）求出每个取值对应的概率; （3）列表对应,即为分布列. 19 跟踪训练3 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两 个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确 得分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是 ,回答第三个问题正确的概 率为 ,且各题回答正确与否相互之间没有影响,若这位挑战者回答这三个问题的总分不 低于10分就算闯关成功. （1）求至少回答对一个问题的概率； 解 依题意,设事件表示“至少回答对一个问题”,则事件的对立事件 表示“三个问题 全部回答错误”, . 20 （2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的分布列； 解 这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为 ,0,10,20,30,40, , , , , , . 所以 的分布列为 0 10 20 30 40 21 （3）求这位挑战者闯关成功的概率. 解 依题意总分不低于10分就算闯关成功, 这位挑战者闯关成功的概率 . 22 【题型四】两点分布 例4 袋中有红球10个、白球5个,从中摸出2个球,如果只关心摸出2个红球的情形,问:如 何定义随机变量,才能使满足两点分布?并求随机变量 的概率分布. 23 解 从含有10个红球、5个白球的袋中摸出2个球,其结果是随机的,可能是一红一白、两 红、两白三种情况,为此我们定义随机变量如下: 0,两球非全红 1，两球全红 显然服从两点分布,且 , . 随机变量 的概率分布为 0 1 24 规律方法 两点分布中只有两个对应的结果,因此在解答此类问题时,应先分析变量是否 满足两点分布的条件,然后借助概率的知识,给予解决. 25 跟踪训练4 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量 描述1次试验的成功次 数,则 等于( ) B A.0 B. C. D. [解析] 设失败的概率为,则成功的概率为.由,得 . . 26 【题型五】分布列的性质及其应用 例5 设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 27 求: 解 由分布列的性质知 , . 首先列表为 0 1 2 3 4 1 3 5 7 9 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 28 （1） 的分布列; 解 的分布列 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2） 的分布列. 解 的分布列 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 规律方法 离散型随机变量分布列的性质的应用 （1）通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列. （2）求对立事件的概率或判断某概率是否成立. 29 跟踪训练5 （多选题）已知离散型随机变量 的分布列为 0 1 若离散型随机变量满足 ,则下列说法正确的有( ) ABD A. B. C. D. [解析] 由,可得,所以 ,故A正确； ,故B正确； 由,可得,所以 ,故C错误； ,故D正确.故选 . 30 $