8.1.2 全概率公式课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，从古典概型切入，先以条件概率为基础，通过“由原因推结果”引出全概率公式，再过渡到“由结果推原因”的贝叶斯公式，构建连贯的知识学习支架。 其亮点是结合班级女生调查、元件次品率等生活实例，运用“化整为零”等规律方法，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。题型设计兼顾基础与应用，助力学生提升解题能力，也为教师提供清晰的教学流程和实例支撑。

8.1 条件概率 8.1.2 全概率公式 1 【课标要求】 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.全概率公式 若事件,, ,两两互斥,且它们的和 ,,,2, , ,则对 于 中的任意事件,有 . 这个公式称为全概率公式. 名师点睛 把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式,每个原因对结果的发生有一定的作用, 结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关,全概率公式就表达了它们之间的关系. 4 知识点2.贝叶斯公式 若事件,, ,两两互斥,且 ,,,2, , ,则 对于 中的任意事件,,有 . 因此 . 再由全概率公式得 . 这个公式称为贝叶斯公式. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】全概率公式的简单应用 例1 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活 动的甲、乙两班的人数之比为,其中甲班中女生占,乙班中女生占 .求该社区居民遇 到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解 如果用事件表示“居民所遇到的这位同学是甲班的”,事件 表示“居民所遇到的 这位同学是乙班的”,事件表示“居民所遇到的这位同学是女生”,则,且 , 互斥, , 由题意可知,, , 且, . 由全概率公式可知 . 7 规律方法 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如,（或与 ）. （2）计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. （3）求和:所求事件的概率 . 8 跟踪训练1 （多选题）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个 白球和2个黑球,先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,分别以事件,, 表示由甲罐 取出的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件 表示由乙罐取出 的球是红球,下列结论正确的是( ) ABD A.事件与事件不相互独立 B.,, 是两两互斥的事件 C. D. [解析] 对于A,由题意可知,事件发生与否影响事件B的发生,故事件B与事件 不相 互独立,故A正确;对于B,，， 两两不可能同时发生,故B正确；对于C, ,故C不正确；对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙 罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件 发生的条件下,事件B发生的概 率为,故D正确.故选 . 9 【题型二】多个事件的全概率问题 例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录,有如 下表所示的数据: 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机取 一只元件,求它是次品的概率. 10 解 设事件表示“所取到的产品是由第家元件制造厂提供的”,事件 表示 “取到的是一件次品”.其中,,两两互斥,由题可得,且 , , 两两互斥,运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式得 . 因此,在仓库中随机取一只元件,它是次品的概率为 . 11 规律方法 “化整为零”求多事件的全概率问题 （1）如图, . （2）已知事件的发生有各种可能的情形,事件 发生的可能性, 就是各种可能情形发生的可能性与已知在发生的条件下事件 发生的可能性的乘 积之和. 12 跟踪训练2 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和优质率的信息如下表所示: 类别 甲 乙 丙 百分率 优质率 在生产的产品中任取一件,求取到的产品是优质品的概率. 解 用事件,,分别表示取到的是甲、乙、丙产品,事件 表示该产品是优质品, 由已知得,, , 且,, . 因此由全概率公式有 . 13 跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率; 解从甲箱中任取2个产品包含的事件数为 ,这2个产品都是次品的事件数 为 , 从甲箱中任取2个产品，这2个产品都是次品的概率为 . 14 （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这 个产品是正品的概率. 解 设事件为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件 为“从甲箱中取出的2个产 品都是正品”,事件为“从甲箱中取出1个正品、1个次品”,事件 为“从甲箱中取出的2 个产品都是次品”,则事件、事件、事件 彼此互斥. ,, , ,, , . 15 【题型三】贝叶斯公式的应用 例3 为倡导公益环保理念,培养学生社会实践能力,某中学开展了旧物义卖活动,所得善 款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与,1 000余件物品待出售.摄 影社从中选取了20件物品,用于拍照宣传,这些物品中,最引人注目的当属优秀毕业生们 的笔记本,已知高三1,2,3班分别有,, 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为 . 16 现从三个班中随机抽取一位同学： （1）求该同学有购买意向的概率; 解 设事件“该同学有购买意向”,事件“该同学来自班” .由全概率公 式可得 . 17 （2）如果该同学有购买意向,求此人来自2班的概率. 解 由贝叶斯公式可得 . 规律方法 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验的具体结果怎样 未知,那么（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;（2）若 第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的 概率,则一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可 以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确、高效. 18 跟踪训练4 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ,货车中途停车修理的概率 为 ,客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车 的概率. 解 设表示事件“中途停车修理”,表示事件“经过的是货车”, 表示事件“经过的是客 车”, 则 ,由贝叶斯公式得 . 19 $