8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

8.1　条件概率 8.1.2　全概率公式 8.1.3　贝叶斯公式 第8章　概率 [学习目标]　1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.　2.了解贝叶斯公式. [素养目标]　水平一:利用全概率公式计算概率.(数学运算) 水平二:全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形理解.(逻辑推理) 学习引语 狼来了这个故事大家都听过,那么从心理学角度分析,这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢?我们可以通过特殊概率公式来解读. 设A为事件“小孩说谎”,B为“村民觉得小孩可信”;不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1,而不可信的小孩说谎的概率为0.5,经过第一次说谎,第二次说谎后,狼真的来了,小孩第三次呼救的时候,村民都不再相信这是真的,觉得这是谁家熊孩子真气人,没人再上山救他.于是,狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后,成功在第三次抓走小孩,而且无人打扰,由此可见心理学结合概率统计学很重要! 探究活动1　全概率公式 内容索引 探究活动2　贝叶斯公式的应用 课时作业 巩固提升 探究活动3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　全概率公式 问题　有三个箱子,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同,某人从中随机取一箱,再从中任意取出一球,求取得红球的概率. 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得红球”,其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一同时发生,即A=(B1A)∪(B2A)∪(B3A),且B1A,B2A,B3A两两互斥,运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 因此,取得红球的概率为. 一般地,若事件A1,A2,…,An两两　　　,且它们的和Ai=　　, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,有P(B)=P(Ai)·P(B|Ai).这个公式称为全概率公式.  知识生成 互斥 Ω 温馨提醒　如图所示,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中,当某一事件的概率难以求得时,可转化为一系列条件下发生的概率的和. [例1]　已知某仓库中有10箱同样型号的零件,其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为,,,现从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一个零件,则取得的零件是次品的概率为(　　) A.0.08　　　　　　　　　 B.0.1 C.0.15 D.0.2 知识应用 A [解析]　以A1,A2,A3分别表示取得的零件是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的零件为次品, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, 则由全概率公式,所求概率为 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×= 0.08. 1.全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 2.多个原因导致同一个结果,求结果发生的概率就用全概率公式. 反思感悟 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率. 跟踪训练 解:设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”, A1=“提出的一台是第1车间生产的产品”,A2=“提出的一台是第2车间生产的产品”,则Ω=A1∪A2,且A1与A2互斥,则有B=A1B∪A2B, 由题意P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88, 由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.85+×0.88=0.868. 探究活动2　贝叶斯公式的应用 问题　如果已知某事件已发生,要求样本空间中导致该事件发生的某一事件的概率,应选择什么公式求解? 提示　贝叶斯公式. 一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)P(B)=　　　　　　　　　, 因此P(Ai|B)=, 再由全概率公式得 P(Ai|B)=. 这个公式称为贝叶斯公式. 知识生成 P(B|Ai)P(Ai) 温馨提醒　1.公式P(Ai|B)==反映了P(AiB),P(Ai),P(B),P(Ai|B),P(B|Ai)之间的互化关系. 2.P(Ai)称为先验概率,P(Ai|B)称为后验概率,其反映了事件Ai发生的可能在各种可能原因中的比重. [例2]　在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0,已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0,求发送的信号为1的概率. 知识应用 [解]　设事件A表示“发送的信号为0”,事件B表示“接收的信号为0”,则表示“发送的信号为1”,表示“接收的信号为1”.由题意得, P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.8, P(|A)=0.2,P(B|)=0.1,P(|)=0.9. 由贝叶斯公式有P(|B) = ==. 故已知接收的信号为0,则发送的信号为1的概率为. 此类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生的可能性大小. 反思感悟 2.电报发射台发出“·”和“-”的比例为5∶3,由于干扰,传送“·”时失真的概率为,传送“-”时失真的概率为,则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的 概率为　　　　.  跟踪训练 解析:设事件A:收到“·”,事件B:发出“·”, 由贝叶斯公式得 P(B|A)= ==. 探究活动3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [例3]　一位教授去参加学术会议,他乘坐飞机、火车和客车的概率分别为0.2,0.5,0.3,现在知道他乘坐飞机、火车和客车迟到的概率分别为,,. (1)求这位教授迟到的概率; (2)现在已经知道他迟到了,求他乘坐的是飞机的概率. 知识应用 [解]　设事件A表示“迟到”;事件B1表示“乘飞机”;事件B2表示“乘火车”;事件B3表示“乘客车”. (1)所求概率为P(A),由全概率公式得: P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =×+×+×=. 故这位教授迟到的概率为. (2)所求概率为P(B1|A),由贝叶斯公式得: P(B1|A)====. 故若已知该教授迟到了,则他乘坐飞机的概率为. P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识,当有了新的信息(知道B发生)时,人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)(i=1,2,…,n)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化. 反思感悟 3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率. (2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大? 跟踪训练 解:设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产, 则P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. (1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi) =0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. 答:从中任取一件,此产品为正品的概率为0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)==≈0.220 9, P(B2|A)==≈0.314 0, P(B3|A)==≈0.465 1. 故由丙厂生产的可能性大. 课堂小结 1．知识清单 (1)全概率公式． (2)贝叶斯公式． 2．方法归纳 化整为零、转化化归． 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知P(BA)=0.4,P(B)=0.2,则P(B)的值为(　　) A.0.08　　　　　　　　 B.0.8 C.0.6 D.0.5 C 解析:因为P(BA)=P(A)P(B|A), P(B)=P()P(B|), 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6. 2.盒中有a个红球,b个黑球,若随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率是(　　) A. B. C. D. C 解析:设事件A表示“第一次抽出的是黑球”,事件B表示“第二次抽出的是黑球”,则B=AB+B,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 由题意得P(A)=,P(B|A)=,P()=,P(B|)=,所以P(B)=+=. 3.甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔,乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒,然后再从乙文具盒 中任取两支,则最后取出的两支笔都为黑色笔的概率为　　　　　.  解析:设事件Ai表示“从甲文具盒中取出i支黑色笔放入乙文具盒中”(i=0,1,2),事件B表示“最后取出的两支笔都为黑色笔”,则P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==.而P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==.由全概率公式得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3,0.5,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6,0.8,则甲正点到达目的地的概率为(　　) A.0.62　　　　　　　　　 B.0.64 C.0.58 D.0.68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:设事件A表示甲正点到达目的地,事件B表示甲乘动车到达目的地,事件C表示甲乘汽车到达目的地, 由题意知P=0.5,P=0.3,P=0.8,P=0.6. 由全概率公式得P=PP+PP=0.5×0.8+0.3×0.6=0.4+0.18=0.58. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知某地区有5%的男人和0.25%的女人患色盲,假如男人、女人各占一半,现随机选一人,则此人恰是色盲的概率是(　　) A.0.012 45 B.0.057 86 C.0.026 25 D.0.028 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:用事件A,B分别表示随机选一人是男人或女人,用事件C表示此人恰好患色盲,则Ω=A∪B,且A,B互斥, P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×5%+×0.25%=0.026 25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某人连续两次对同一目标进行射击,若第一次击中目标,则第二次也击中目标的概率为0.7,若第一次未击中目标,则第二次击中目标的概率为0.5,已知第一次击中目标的概率为0.8,则在第二次击中目标的条件下,第一次也击中目标的概率为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:设“第一次击中目标”为事件A,“第二次击中目标”为事件B, 则P(B|A)=0.7,P(B|)=0.5,P(A)=0.8, 所以P()=0.2,故P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=0.8×0.7+0.2×0.5=0.66, 则P(A|B)====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.一袋中装有10个盲盒,已知其中3个是玩具盲盒,7个是文具盲盒,甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒,则乙取到的是玩具盲盒的概率为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:记事件A,B分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒,则P(A)=,P()=, P(B|A)=,P(B|)=, 于是P(B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|) =×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)已知事件A,B,且P(A)=,P=,P=,则(　 　) A.P( )= B.P= C.P(A+)= D.P= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 解析:因为P(A)=,则P()=,所以P( )=P·P=×=,故A正确; P=1-P=1-=,故B正确; 因为P=1-P=, 所以P=PP+PP=×+×=,故D错误; 因为P=1-P=1-=,P=P·P=×=, 所以P(A+)=P+P-P=+-=,故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,其中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,其中60%表现出症状S.则下列说法正确的是(　 　) A.任意一位病人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 解析:P(D1)=0.02,P(D2)=0.05, P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4, P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6, 由全概率公式得:P(S)=P(Di)P(S|Di) =0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02. 由贝叶斯公式得: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(D1|S)===0.4, P(D2|S)===0.45, P(D3|S)===0.15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.袋中装有编号为1,2,…,N的N个球,先从袋中任取一球,如果该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,则取到2号球的概率 为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设A表示事件“第一次取到1号球”,则表示事件“第一次取到的不是1号球”;B表示事件“最后取到的是2号球”,显然P(A)=,P()=,且P(B|A)=,P(B|)=, ∴P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=·+·=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问: (1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球; 事件B:从1号箱中取出的是红球. P(B)==, P()=1-=. (1)P(A|B)==. (2)∵P(A|)==, ∴P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)·P()=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,则试验成功的概率为(　　) A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”, B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”, R表示事件“第二次取出的球是红球”, 则P(A)=,P(B)=,P(R|A)=, P(R|B)=, P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B) =×+×=0.59. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)有甲乙两个袋子,甲袋中装有2个白球,1个红球,乙袋中装有1个白球,2个红球,除颜色外,各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1个球,记事件A1表示从甲袋中取出的球是白球,A2表示从甲袋中取出的球是红球,事件B表示从乙袋中取出的球是白球,则下列选项中正确的是(　 　) A.事件B与事件A1不相互独立 B.P(B|A2)= C.P(BA2)= D.P(B)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 解析:P=,P=,P=,P=, P=PP=×=,故B正确,C错误; 由全概率公式可得P=PP+PP=×+×=,故D正确; P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=×=≠P(A1)P(B),所以事件B与事件A1不相互独立,故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设事件B表示“中途停车修理”,事件A1表示“经过的是货车”,事件A2表示“经过的是客车”, 则B=A1B+A2B,P(A1)=,P(A2)=, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01. 由贝叶斯公式有P(A1|B) = ==0.8. 答:该汽车是货车的概率为0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.设人口数量相同的甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为,,.现从这三个地区任抽取一个人. (1)求此人感染此病的概率; (2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设事件A1,A2,A3分别表示此人来自甲、乙、丙地区,事件B表示感染此病, ∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, ∴P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=. (1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=. (2)P(A2|B)===. $$