精品解析：重庆市云阳县盛堡初级中学2026年春季农村初中期中定时作业

2026年春季农村初中期中定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列博物馆标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测南岸区的空气质量 B. 了解全国中学生的心理健康情况 C. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 D. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 5. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，第①个图案中有4颗五角星，第②个图案中有7颗，第③个图案中有10颗，…，按此规律排列下去，第⑧个图案中五角星的颗数是）（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 28 6. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知整式：，其中，，，，为正整数，，且，，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式之和为； ②当，时，关于的方程无实数根； ③当时，满足条件的所有二次三项式共有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为__________ 12. 如图，直线，直线交直线于点．若，则_____． 13. 若为正整数，且满足，则________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 如图，是的直径，为上一动点，且在直径上方，连接，，点为的中点，连接与相交于点，作于点，，与交于点（点在下方）；与交于点，若，，则的直径为______；的长为______． 16. 一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 19. 学校为探究AI辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有700人，八年级有620人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． （1）上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 22. 如图，矩形中，．动点从点出发以每秒钟1个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发以每秒钟个单位的速度沿运动．用表示点的运动时间，表示的面积，表示与的面积之比． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练．为同一平面内的四座小岛．岛位于岛正西方向，岛位于岛北偏西方向海里处，岛位于岛的正北方向，岛位于岛北偏西方向（参考数据：，）． （1）求小岛间的距离（结果精确到海里）； （2）甲、乙两海警船同时从岛出发前往岛进行巡航检查训练，甲海警船沿航行，乙海警船沿航行，甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，求小岛间的距离（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； （3）将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； （2）如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季农村初中期中定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列博物馆标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，找出对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测南岸区的空气质量 B. 了解全国中学生的心理健康情况 C. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 D. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查．全面调查适用于对象数量少、重要性高或要求精确的情况，　 神舟飞船零部件质量关乎安全，必须每个检查；其他选项范围广或有破坏性，适合抽样调查． 【详解】解： A. 检测南岸区空气质量范围大，适合抽样调查； B. 了解全国中学生心理健康情况范围广，适合抽样调查； C. 检测神舟飞船零部件质量必须每个检查，适合全面调查； D. 调查手机使用寿命有破坏性，适合抽样调查. 故选：C． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，进而即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，第①个图案中有4颗五角星，第②个图案中有7颗，第③个图案中有10颗，…，按此规律排列下去，第⑧个图案中五角星的颗数是）（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的数字规律．观察图形，将图形中的五角星分为四部分，即左、上、右、下四部分，先找出每部分的规律，再相加就可得出每个图形中五角星个数的规律，即可解答． 【详解】观察前四个图案得：第①个图案中小五角星的颗数； 第②个图案中小五角星的颗数； 第③个图案中小五角星的颗数； 第④个图案中小五角星的颗数； …， 第⑧个图案中小五角星的颗数； 故选：C． 6. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的指数判断数的量级，再比较同量级数的系数即可得到结果． 【详解】解：， A、B对应的数都小于C和D对应的数； 指数相同时，系数， 最小的数是． 8. 春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． 设商店每天盈利的下降率为，利用第一天日盈利500元，第三天日盈利405元，可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设商店每天盈利的下降率为， 可得， 解得，（舍去）， 即商店每天盈利的下降率是， 9. 如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折的性质，得，根据，可得，证明，可求出的长度，最终可求出的长． 【详解】解：由翻折的性质， 可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 10. 已知整式：，其中，，，，为正整数，，且，，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式之和为； ②当，时，关于的方程无实数根； ③当时，满足条件的所有二次三项式共有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据题目给定的整式系数条件，通过分类枚举逐个判断三个说法，即可得出正确结论． 【详解】由题意，对n次整式，满足，所有均为正整数，，，逐个判断如下： ① 当时： 时，满足，，得 ，对应整式为 ； 时，满足，，得 ，对应整式为； 时，最小乘积为 ，无满足条件的整式； 所有整式和为，故①错误; ② 当，时： 满足 ，，仅 ， 方程即 ， 判别式 ， 方程无实根，故②正确。 ③ 当 ，求二次三项式个数： 二次三项式即， ，满足， 枚举得： 时，共个； 时，共个； 时最小和为 ，无满足条件的组合； 总个数为，故③正确。 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，用黑球数除以总球数即可得到答案． 【详解】解：不透明的袋子中共有3个球，其中有1个黑球， 所以，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为， 故答案为：． 12. 如图，直线，直线交直线于点．若，则_____． 【答案】 58 【解析】 【分析】先由对顶角相等得到的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴ ∵直线， ∴． 13. 若为正整数，且满足，则________． 【答案】 5 【解析】 【分析】估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可求解． 【详解】解：， ， 即， 又为正整数，且满足， 因此． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 15. 如图，是的直径，为上一动点，且在直径上方，连接，，点为的中点，连接与相交于点，作于点，，与交于点（点在下方）；与交于点，若，，则的直径为______；的长为______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】延长交于点，则 ，由垂径定理得，由圆周角定理得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出的直径；设，则，证明，求出，，过点作于点，设，则，，连接，则，证明，即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点， 点为的中点， ∴． ，且为直径， ∴，． ∴． ∴． ． 设，则， 为直径，， ， ， ， ． ， ，解得（不符合题意，舍去），， ，． ，， ，． ， ． 过点作于点， 设， , ，， ． ， ． ，，， ，， ． 连接，则， ， ， ， ， ． 16. 一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，整式的加减运算，二元一次方程的正整数解的应用，由是“长久数”，最小的“长久数”可得，，再进一步可得，由题意可得；且是完全平方数，，结合M最大，可得，进一步求解可得答案. 【详解】解：∵是“长久数”， ∴，， ∵“长久数”要最小， ∴，， ∴， ∴，， ∴最小的“长久数”是； ∵等于M的前两位数字之和， ∴， ∵“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数， ∴， ∴ ， ∴ ； ∵，，，， ∴， 此时最大的完全平方数为， ∴ ， ∵最大，且， ∴， ∴当时，，舍去， 当时，，舍去， ∴不符合题意舍去， 当时，而， ∴，即， ∴当时，，舍去， 当时，， ∴， ∴，， ∴的最大值为：. 故答案为：， 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】0，1，2，3 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分，得到不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 解：如图即为所求： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 19. 学校为探究AI辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有700人，八年级有620人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】（1）；86；30 （2）八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由见解析 （3）260人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用700乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用620乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人）， 在D组中的数据有（人）， 在B组中的数据有8人， 在C组中的数据有（人），则，即； 将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； 八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故； 【小问2详解】 解：八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数为260人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及零指数幂、绝对值、完全平方公式等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 利用分式的运算法则先化简原式，再根据绝对值的性质和零指数幂计算得到x，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． （1）上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 【答案】（1）售出“巴渠云雾茶”30杯；“龙珠茶”40杯 （2）8元 【解析】 【分析】本题考查一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系式解题的关键. （1）根据题意两种茶饮共70杯，总销售额为1200可建立关系式：“巴渠云雾茶”加“龙珠茶”等于销售总额. （2）根据“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，两者共计可冲泡35杯，可建立关系式为：“龙珠茶”加“巴渠云雾茶”等于总杯数. 【小问1详解】 解：设上周末售出“巴渠云雾茶”x杯，上周末售出“龙珠茶”杯； 解得： （杯） 答：上周末售出“巴渠云雾茶”30杯，上周末售出“龙珠茶”40杯. 【小问2详解】 设：“龙珠茶”每杯成本是元，“巴渠云雾茶”每杯成本是元. 解得： 经检验：是原分式方程的解， 答：“龙珠茶”每杯成本是8元. 22. 如图，矩形中，．动点从点出发以每秒钟1个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发以每秒钟个单位的速度沿运动．用表示点的运动时间，表示的面积，表示与的面积之比． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）；； （2）图见详解；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）根据运动路径和运动速度确定自变量取值范围，分两种情况讨论，即可求的表达式，根据勾股定理及面积比可求表达式； （2）结合自变量取值范围找出关键点，描点连线即可画出函数图像，根据图像即可写出函数的性质； （3）找到两个函数图象的交点，即解方程，结合图像即可解答． 【小问1详解】 解：∵动点从点出发以每秒钟1个单位的速度沿运动，， ∴总路程为，总时间为（秒）， ∴自变量的取值范围为， 当点E在上运动时： 此时，的底为，高为， ， 当点E在上运动时： 此时点E在上运动的距离为，即， ， 的底为，高为， ， 综上，关于的函数表达式为： ， 在矩形中，， 点F从A沿运动，速度为单位/秒，在时间时，， 在中，， 与有共同的高（从D到的垂线）， ∴它们的面积比等于底边之比：， 因此，， 点F的运动时间与E相同，为7秒。由于是分母，所以， 自变量的取值范围为， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，； 则函数的图象如图， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【小问3详解】 解：当时： ， ， 解得，或（舍去） 此解在内， 当时： ， 两边同乘以得： 整理得： ， (舍去) 两个交点的横坐标分别约为和， 因此，时的取值范围是， 近似值保留小数点后一位：． 23. 为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练．为同一平面内的四座小岛．岛位于岛正西方向，岛位于岛北偏西方向海里处，岛位于岛的正北方向，岛位于岛北偏西方向（参考数据：，）． （1）求小岛间的距离（结果精确到海里）； （2）甲、乙两海警船同时从岛出发前往岛进行巡航检查训练，甲海警船沿航行，乙海警船沿航行，甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，求小岛间的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）小岛间的距离为海里； （2）小岛间的距离为海里． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理中方位角的应用、所对的直角边等于斜边的一半、解一元二次方程等，能够理解方位角的角度进行应用时解决本题的关键． （1）先过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半求出边的关系，最后用勾股定理求解即可． （2）过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理结合求出边，然后用速度比求出路程比，最后用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点作交于点， ∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向海里处， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∵中，，， ∴，， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，，， ∴， 解得， ∴， 将，代入得： ． 答：小岛间的距离为海里． 【小问2详解】 解：过点作交于点， ∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向海里处， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴ ． ∵甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处， 设甲海警船的速度为，乙海警船的速度为，时间， ∴甲海警船的路程为，乙海警船的路程为． ∵， ∴甲海警船的航行路程与乙海警船的航行路程之比也为， ∴设，， ∴，． ∵中，，，，， ∴根据勾股定理：， ， 解得（舍），． ∴． 答：小岛间的距离为海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； （3）将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． 【小问3详解】 解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； （2）如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1），见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形，结合已知条件证即可； （2）通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：，然后结合已知条件，过点F作，交于点G，连接，通过全等把转化为一条线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； （3）首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等；然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定取得最大值时的位置即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转，得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明： 如图1，过点F作，交于点G，连接， ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，， ∴，即． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 解：，思路提示： 第一步，确定取得最小值时的位置 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于H，I，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 由条件易知， ∴． 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时． ∴点E在与边垂直、且经过点H的直线上运动． 根据垂线段最短，当时取得最小值，如图3所示． 连接，设，则由条件易知 ． 在等腰直角三角形，和中，，，， ∴，． 第二步，确定取得最大值的位置 ∵点是的中点， ∴． ∵是由沿所在直线翻折得到的， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆上（如图4）． ∴当Q在的延长线上时，最大（如图5），此时有． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形、全等、相似、圆等知识，掌握解决动态问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题、圆外一点到圆上一点的最值问题等；如何根据已知条件构造恰当的辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $