10.5一元一次不等式组 自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版五四制七年级数学下册《10.5一元一次不等式组》同步练习，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|解集求解、数轴表示、整数解|单选题1-3直接考查解集判断，填空题9-12强化基本运算，体现数学眼光中的抽象能力| |综合应用|含参不等式组、几何与代数结合|单选题4-6结合一次函数交点，填空题13-16涉及等腰三角形边长关系，培养推理意识| |拓展提升|实际问题建模、跨知识综合|解答题20-24通过租车、机器人购买等情境构建不等式组模型，发展模型意识与应用意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《10.5一元一次不等式组》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．不等式组 的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 8．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 二、填空题（满分24分） 9．写出不等式组的一个整数解为_____． 10．（1）不等式组的解集为__________；（2）不等式组的解集为__________． 11．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 12．不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 13．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______． 14．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是___________． 15．如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式组的解集为________________________． 16． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 三、解答题（满分72分） 17．（7分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 18．（7分）解下列不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 19．（9分）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 20（9分）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 21．（10分）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 22．（10分）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． (1)请列出应满足的不等式； (2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 23．（10分）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 24．（10分）2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 参考答案 1．解： ， 解不等式， 移项得， 解不等式， 移项得， 两边同除以得， 原不等式组的解集为． 2．解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为， ∴选项符合题意． 3．解：∵平面直角坐标系中，第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数 又点在第四象限， ∴可得不等式组 ， 解不等式 ， 移项得 ， 不等式两边同除以，不等号方向改变，得， 结合，取公共解集得. 4．解：直线向上平移m个单位后的解析式为， ∴， 解得，， ∴两直线的交点坐标为 ∵交点在第二象限， ∴， 解得，， ∴m可以取得的整数值有，共5个， 故选：D ． 5．D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 6．B 【分析】先分别解不等式组中两个不等式得到x的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式 两边同乘3得， 移项得； 解第二个不等式， 移项得， ∵不等式组无解， ∴可得． 解得， 所以m的取值范围是． 7．C 【分析】先解关于、的方程组，用含的式子表示出、；再计算，结合不等式得到的取值范围；根据“满足条件的正整数仅有3个”确定的具体取值，进而求出的取值范围． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得 ∴， ∵ ∴， 解得， ∵满足条件的正整数仅有3个， ∴这3个正整数为、、， ∴， 解得． 8．B 【分析】根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，即可作答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， ∴输入的x可能是8． 9．（或） 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集.最后在解集中找出一个整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1和2，任取一个即可． 10． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解法是解答此题的关键．利用一元一次不等式的解法直接确定出一元一次不等式组的解集． 【详解】解：（1）不等式组的解集为； 故答案为：； （2）不等式组的解集为． 故答案为：． 11． 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 12．0 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，计算整数解的和即可 【详解】解： 由①得： 移项得 系数化为得 由②得：不等式两边同乘得 移项合并同类项得 系数化为得 原不等式组的解集为 原不等式组的所有整数解为 整数解的和为 13． 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有解，两个不等式的解集存在公共部分， ∴， 解得：． 14． 【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故答案为：． 15． 【分析】先把代入可得，则化为，解得，再利用正比例函数性质，解得，从而确定关于x的不等式组的解集． 【详解】解：把代入得， ， 化为， 由图可知， ， 解得， 得， 关于x的不等式组的解集为 16．6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 17．(1) (2) (3)在数轴上表示解集见解析 (4) 【分析】分别解不等式组中的一元一次不等式，再用数轴表示出不等式解集，最后由不等式组解集求法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （3）解：在数轴上分别表示不等式①②的解集，如图所示： （4）解：由（3）可知，原不等式组的解集为． 18．不等式组的解集为，在数轴上表示见解析，它的所有整数解为、、． 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，并确定所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为，在数轴上表示如图所示， 它的所有整数解为、、． 19．(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 20．(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 21．(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 22．(1) (2)①；②维生素含量 【分析】（1）由题中表格所给数据直接列不等式即可； （2）①由（1）中得到的不等式，结合要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，组成不等式组求解即可；②设维生素的含量为单位，得到，结合①中的取值范围，由不等式性质求解即可． 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， 则由题意可得应满足的不等式为； （2）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， ， 解得， 满足题意的的取值范围为； ②由①知满足题意的的取值范围为， 设维生素的含量为单位， 则， ， ， 即， 维生素含量． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 24．(1) A、B两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元 (2) 函数关系为（，且为整数），购买型号3台、型号7台满足要求且费用最少，最少费用为165万元 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买3台型机器人，2台型机器人，共需90万元；买1台型机器人，6台型机器人，共需110万元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）解：根据题意得：， 又， 解得：， （，且为整数）， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值为（万元）， 此时购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人3台，购买型号智能机器人7台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是165万元． 学科网（北京）股份有限公司 $