精品解析：湖南省株洲市第十九中学2025-2026学年下学期九年级教学质量检测 数学

2026年上学期初三教学质量检测 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.9 2. 把数轴上的点A向右移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 4. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 8. 武汉某中学体育特长生的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图.根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为( ) A. 8和6 B. 15和14 C. 8和14 D. 15和13.5 9. 作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 以上都不对 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若m2－n2＝6，且m＋n＝3，则m－n等于____． 12. 对于分式，则m_______时，有意义；当m_______时，值为零． 13. 一次函数的图象经过点和，且已知，则比较大小：__（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）． 14. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____． 15. 如图，长方形中，点F在边上，与关于直线对称，若，则_______度． 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 三、解答题：共8小题，满分72分． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某游泳馆推出了A、B两种季度套餐．选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； （2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； （3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长． 20. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，李明在大楼27米高（即米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角，山脚B处的俯角，已知该山坡的坡度i（即）为．点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C、在同一条直线上，且． （1）山坡坡角（即）的度数等于________度． （2）求AB的长（结果保留根号）． 22. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 A B C D E 身高 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 　　组，中位数在 　　组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有多少人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在之间的学生约有多少人？ 23. 综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于、两点．与轴交于点．其中A（1，0），． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上运动（点异于点）． ①如图1．当面积与面积相等时．求点的坐标； ②如图2．当时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期初三教学质量检测 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】A.，C.，D.0.9均为有理数；B.是无理数． 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 把数轴上的点A向右移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案． 【详解】解：设数轴上的点A对应的点为a， 由题意可得：B点对应的数是：， ∵点A和点B表示的数恰好互为相反数， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数轴、相反数以及解一元一次方程，正确表示出B点对应的数是解题关键． 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由题意可得：8合为． 故选B． 4. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质推出，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴表示数，勾股定理，根据勾股定理求出，即的长，进而得出点A在数轴上所表示的数． 【详解】解：如图，在中，，， ∴， ∴点A在数轴所表示的数为． 故选：A． 7. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式；根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 武汉某中学体育特长生的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图.根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为( ) A. 8和6 B. 15和14 C. 8和14 D. 15和13.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义解答即可． 【详解】解：15岁的队员最多，是8人，所以众数是15岁，20人中按照年龄从小到大排列，第10、11两人的年龄都是14岁，所以中位数是14岁． 故选B． 【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 9. 作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据作已知角的角平分线的方法即可判断． 【详解】因为分别以C，D为圆心画弧时，要保证两弧在的内部交于一点，所以半径应大于， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，， 故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把，代得：, ∴， 解得或， ∴当，则或， 故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若m2－n2＝6，且m＋n＝3，则m－n等于____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用平方差公式求出即可． 【详解】∵m2﹣n2=6，m+n=3， ∴（m﹣n）（m+n）=6，则m﹣n的值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练利用公式法求出是解题的关键． 12. 对于分式，则m_______时，有意义；当m_______时，值为零． 【答案】 ①. ≠2 ②. =-2 【解析】 【分析】利用分式有意义的条件，分母不等于0，分式的值为0，分子等于0，而分母不等于0解答即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则有m-2≠0， ∴m≠2， 要使的值为零， ∴|m|-2=0，m-2≠0， ∴m=-2， 故答案为：≠2，=-2． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零和分式有意义的条件，属于基础题，比较简单． 13. 一次函数的图象经过点和，且已知，则比较大小：__（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【详解】∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过点和，且， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：当时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小． 14. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°， 所以黄区域所占的面积比例为， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是. 【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率． 15. 如图，长方形中，点F在边上，与关于直线对称，若，则_______度． 【答案】70 【解析】 【分析】先根据四边形ABCD为长方形得出，根据直角三角形两锐角互余，得出，根据轴对称性质，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了长方形的性质，直角三角形性质，轴对称的性质，平角的定义，根据题意得出，是解题的关键． 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用根与系数的关系式表示出以及，再代入求值即可. 【详解】解：、是一元二次方程的两个不相等的实根， ，， . 故答案为：4. 【点睛】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，以及代数运算进行分析. 三、解答题：共8小题，满分72分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 先算特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的化简，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 某游泳馆推出了A、B两种季度套餐．选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； （2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； （3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长． 【答案】（1）， （2）当时长少于10小时，选择A套餐更省钱． （3）小明估计本季度的游泳时长为20小时． 【解析】 【分析】（1）根据图像信息，结合待定系数法求解即可； （2）根据两种收费相同列出方程，求解，结合图像小于该游泳时长时套餐更省钱； （3）根据选择两种套餐费用的关系，用套餐的费用减去套餐的费用等于节省的费用，列出方程即可解答． 【小问1详解】 设，把（，）代入， 得：， 解得： ∴ 设，把（，），（，）代入， 得， 解得： ∴ 【小问2详解】 当，两种套餐的费用相等可得： ， 解得： 由图像可得：当时，选择套餐更省钱 答：当时长少于小时，选择A套餐更省钱． 【小问3详解】 由题得，， 解得： 答：小明估计本季度的游泳时长为小时． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，结合图像正确列出方程并求解． 20. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用，根据相似比求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键． 21. 如图，李明在大楼27米高（即米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角，山脚B处的俯角，已知该山坡的坡度i（即）为．点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C、在同一条直线上，且． （1）山坡坡角（即）的度数等于________度． （2）求AB的长（结果保留根号）． 【答案】（1）30；（2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可直接求出∠ABC＝30°； （2）先求出∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝45°，再根据∠ABC＝30°，求出∠ABP＝90°，根据∠PAB＝45°，得出AB＝PB，最后根据求出PB即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）由题意知过点P的水平线为PQ，，， ∴，， ∵，∴， ∴，∴ ∵在，， ∴． 答：AB的长为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是平行线的性质、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、俯角、坡度的概念． 22. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 A B C D E 身高 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 　　组，中位数在 　　组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有多少人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在之间的学生约有多少人？ 【答案】（1）B，C； （2）样本中，女生身高在E组的人数有2人； （3）估计身高在在之间的学生约有195人． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可； （2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解； （3）确定男、女学生身高在之间的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：∵直方图中，B组的人数为12，最多， ∴男生的身高的众数在B组， 男生总人数为：， 按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组， ∴男生的身高的中位数在C组， 故答案为：B，C； 【小问2详解】 解：女生身高在E组的百分比为：， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同， ∴样本中，女生身高在E组的人数有：（人）； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计身高在在之间的学生约有195人． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键． 23. 综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 24. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于、两点．与轴交于点．其中A（1，0），． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上运动（点异于点）． ①如图1．当面积与面积相等时．求点的坐标； ②如图2．当时，求直线的解析式． 【答案】（1）； （2）①满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）；②y=x-3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离，i 当P在x轴上方时，根据点B、C坐标求出直线BC的解析式y= x- 3，根据AP BC可设直线AP的解析式为y= x-b，根据点A的坐标求出其解析式为y= x-1，联立直线BC与抛物线的解析式，求解方程即可得到点P1的坐标；ii当点P在x轴下方时，由题可知满足条件的P在直线P2P3上，根据两三角形同底等高和直线平移的性质可知直线P2P3的解析式为y= x- 5，联立直线解析式和抛物线的解析式，求解方程即可得到点P2、P3的坐标，故可求出满足条件的点P的坐标； ②根据设直线CP经过点C，设其解析式为y= kx- 3，根据点B、C坐标可知OB = OC，从而求得∠OCB=∠OBC=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和的性质可知∠OQC=∠OBC-∠BCP，由此可得∠OCA=∠OQC，结合∠QOC=∠COA = 90°，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理可知△AOC∽△COQ，根据相似三角形对应边成比例的性质可知，可得OQ = 9，即可求出点Q的坐标，由直线CP经过点Q，将其代入解得k=，即可得出直线CP的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，过点A（1，0），，则 ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离， i如图1所示，当点P在x轴上方时，过点A作BC的平行线，交抛物线于点P． ∵令中y=0，解得x=3或x=1， ∴点B坐标为(3， 0)，A（1，0）， ∵直线BC过点B、C， ∴直线BC的解析式为y= x- 3， ∵APBC， ∴可设直线AP的解析式为y=x- b， 将点A(1，0)代入可得直线AP解析式为y=x-1， ∵点P是直线AP与抛物线的交点，所以可得方程组 ，解得，， ∴点P的坐标为 (2，1)， ii 如图1所示，直线AP解析式为y= x- 1， ∴E点坐标为(0，-1)， ∴CE= 2， 当点P在x轴下方时，将直线BC向下平移两个单位，得到直线P2P3，此时直线BC到直线 PA、直线P2P3的距离相等，故可以满足S△PBC = S△ABC，此时直线P2 P3的解析式为y=x-5， ∴联立直线P2P3与抛物线可得方程组， 解得， ∴点P2的坐标为（，），点P3的坐标为（，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）； ②如图2所示，延长直线CP交x轴于点Q， ∵点B(3，0)，C(0，-3)， ∴OB= OC，即∠OCB=∠OBC=45°， ∵直线CP经过点C， ∴可设直线方程为 y= kx-3， 令∠OCA= ，则∠ACB=∠OCB-= 45°-， ∵∠BCP=∠ACB= 45°-， ∴∠OQC=∠OBC-∠BCP=45°-(45° -)=， ∴∠OCA =∠OQC， 又∵∠QOC=∠COA， ∴△AOC∽△COQ，故， ∴OQ = 3OC = 9，即点Q坐标为(9，0)， ∵直线CP经过点Q， ∴9k-3=0， 解得k=， ∴直线CP的解析式为y=x- 3． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $