广东东莞市海德实验学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中考试试题

东莞市海德实验学校2025-2026学年 第二学期高一年级数学期中考试 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章+第七章+第八章前5节。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知平面向量a=(L,x),=(-2,),若a/%,则x=() A.1 B. c.0. n.月 2.设{何，}是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是() A.-g和g+马 B.-+22和4g-22 C.2g+马和g-马 D.28+6和g+28 3,若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（) A.√2 B.2 C.22 D.4 4.将上下底分别为2、4，高为1的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（） A.8元 受 C. D.10z 3 5.若直线n不平行于平面a,且n亡a,则下列结论成立的是() A.a内的所有直线与n是异面直线 B.a内不存在与n平行的直线 C.a内的所有直线与n都相交 D,a内存在唯一一条直线与n平行 6.△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=于，b=4,若△BC有两解，则a的取值范围为 () A.(2,4) B.(2W5,+∞) c.(25,4] D.(2W5,4 1 7.已知平面内不共线的三个向量a、、c两两夹角相等，且a为单位向量，=2问=4，则2a-6+d的 值为(， A.25 B.6 C.35 D.7 8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC D 于点E,F,当点P在劣弧EF上运动时，BP.DP的取值范围为() A[-2i-引 B.[1-22,-1] c.[-1,1-2] p.[1-2W2,1-2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数2=2社，则下列结论正确的有‘) A.z的虚部是i B.z在复平面内对应的点在第二象限 C.z=1+1 D.=2 10.在aMBC中，AB=24C=3A=骨，D为边BC上一动点，则 A.BC=√7 B.△MBC的外接圆半径为 3 g,当D为BC中点时，AD= 2 D.当AD为角A的角平分线时，D=y 5 11.如图，AC为圆锥的底面直径，点B是圆O上异于A,C的动点，S0=OC=2,则下列结论正确的是( A.圆锥的表面积为4W2π B。三棱维8-ABC体积的最大值为号 C.么S2的取值范围是(？引 D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CB的最小值为2W3+1 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.设i为虚数单位，则二= 2-i1 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=√7，则△ABC的面积为 14.如图正八边形ABCDEFGH,O为正八边形中心，已知OA=1,P为正八边形ABCDEFGH边上的动点， 给出下列结论： 2 ①0与0丽夹角为牙 ②D在O上的投影向量为-三O ③亚P.AB的最大值为√2 ④存在点P,使得|PAP+|PBP+|PCP+|PDP+|PE+|PF+|PG2+|PHP=15 其中正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知复数z=(m2-16)+(m-4)i(meR) (1)如果复数z是纯虚数，求m的值 (2)如果复数z在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围 16.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(-L,1). (1)若日=25，且c11a,求向量c的坐标： (2)若B是单位向量，且a1(a+2),求a与b的夹角0. 17.如图，在正方体ABCD-ABGD中，点G,E,F,P分别为棱AB,DC BC A4的中点，点M是棱 AD上的一点，且DM=3AM. E (I)求证：D,G/I平面DBFE; (2)已知点N是棱AB上的一点，且B,N=3AN,求证：平面PMNII平面DBFE. G 3 l8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+V5 asinC-b-c=0 (1)求角A: (2)若a=2,△ABC的面积为5，求b,c; (3)若a=√5，且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围. 19.如图1，若平面内两条射线Or,Oy相交成a(0<<元)角，g,g分别为与Ox,Oy同向的单位向量， 则称平面坐标系xOy为“a仿射坐标系”.在“a仿射坐标系”中，若O丽=x+y只，，则记OP=(x,y) （0在“受仿射坐标系中，a=亿-，6=(-L,2,求a+: (2)在“a仿射坐标系"中，若ā= 13 2’2 且a与名的夹角为5，求a: 3)如图2，在“号仿射坐标系”中，点8，C分别在射线0Cx,射线0上（约与点0不重合，B网=巨， OD=OC,E,F分别为BC,BD的中点，求O.O丽的最大值. 图1 图2 高一年级数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D 8 D B D & BD ABD 题号 11 答案 BCD 2号3 926 13. 【详解】由余弦定理得：c0sC=+b2-c_4+9-71 2ab 2x2x32所以 2 所以5mc=2x3x9-35 2 2 14.①②④ 【详解】正八边形中心角为2餐-至，0HO死O1。 ①O与O.的夹角为正八边形中心角二，故①正确。 ②OD与丽夹角为西，OD在O丽上的投影向量为1OD1s3红及=-5弧，故②正确 A 41042 @以0为原点，走立平面直角坐标系0c0,9oe导曲引停习】 则西-r-1-2n A亚.ABAB|F1co8∠PAB. |A亚Icos∠PAB为P在AB上的投影， 由图可知P在CD上运动时，|AP|cos∠PAB可取最大值，即P在C处时， C=(←，最大值为花恋-三+1+ 2 2 IABI V2-2 V2-迈 所以亚恋最大值为4C 4BI =1,③错误. G ④设P到中心O的距离为d,利用公式PAP-PO+OAPPOP+2Po.OA+OA. 所以pAP+PB++|PiP=8d2+8+2Po.A+OB++Oi） 由正八边形对称性可知OA+OB++O反=0， 所以|PAP+|PBP++P豆P=8d+8. 令82+8=15，得=居，则d=年， 4 w4经2返， 82 4 7_2+5_3-22>0.得4>cx 848 4 8 又<1，故os<4<1. 4 84 由图可知正八边形边上的点到中心距离最短为AB中点到O的距离，最长为OA, 所以正八边形边上的点到中心更离介于c0号和1之间，平在此范国内。 4 因此存在这样的点P,故④正确， 15.【详解】（1)解：.由复数z=（m2-16)+(m-4)(meR), 因为复数z为纯虚数，则满足 m-4≠0，解得m=4. m2-16=0 (2)解：由复数z=m2-16)+(m-4)i在复平面内对应的点为Zm2-16,m-4), 因为复数z在复平面上所对应的点在第四象限， m-4<0,解得m<4,所以实数m的取值范围为（←0,4. [m2-16>0 则满足 2 16.【详解】(1)解：设c=(xy),因为=2W反，且c11a, 8 x2+y2=8 可得 所以向量=(-2,2)或c=(2,-2): (2)解：由向量为单位向量，可得=1，因为ā=(-1,1)，可得同=反， 叉因为a1(+2,可得a6+25)=a+2a.6=0,所以a5=--1, 则cos0=c0a,6=a-6=】V2 啊V2×12’ 因为9e0,,可得9=云，即向量与6的夹角为 7元 17.【详解】(1)连接D,C、GC分别交DE、DB于点H、O,连接HO, D B G 在正方体ABCD-ARGD中，D,llDC.且D,E=DC, 所以AHED AHDC,则D1_弘-1 CH CD2 同理可得G0=BC1 C0cǒ2所以马5G0 CiC0,所以H0112c, 又HOc平面DBFE,D,G丈平面DBFE,所以D,GII平面DBFE. (2)连接DB,因为点E,F分别为棱DC,B,C的中点，则EF∥DB, D 0 M N 3 因为DM=34M,BN=34W,则4=4=是 AB AD 4' 可得MNIID B,则MNIIEF, 且MNt平面DBFE,EFc平面DBFE,则MNII平面DBFE, 取AD的中点2，连接A2,DF, 因为P,M分别为A,A2的中点，则PM11Ag, 又因为2，F分别为AD,BC的中点，则DF11AB,F=AB, 且AB/1AB,AB=AR,则OF //AB,QF=AB, 可知ABF2为平行四边形，则4Q//BF,可得PMIIBF, 且PM亡平面DBFE,BFC平面DBFE,则PMII平面DBFE, 又因为MNNPM=M,MN,PMc平面PMW,所以平面PMN//平面DBFE. 18.【详解】(1)因为acosC+V3 asinC-b-c=0, 由正弦定理知可得sin AcosC+V3 sinAsinC-sinB-sinC=0, sinB=sin[-(4+C)]=sin(4+C)=sin AcosC+cosAsinC, '.sin Acos C+sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C -sin C=0, 即V5 sin AsinC-cos AsinC.-sinC=0,又sinC≠0， 六5m4-cos4-2sn(4-君引-1，即m4-君)号 又0<4<，则晋<4-管君 66 [Lbcsin4= [bc=4 (2)由（1)及题设可得 0084=b'toi-a 1' 即 b2+c2=81 2be 2 将b=4代入62+e2=8,整理得c-8c2+16=0,则c2=4, 即c=2（负值舍去)，故b=2 (3)因为D为8c的中点，所以而=丽+aC列， 4 两边平方得而-（西+aC到=而+C+2西C列-c+b2+b), 在△ABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccosA=b2+c2:-bc,即b+c2=3+bc； 所似而-e+2b)=2+be 42 b a 在△ABC中，由正弦定理得snB一inC =2 s洫43 2 所以b=2sinB,c÷2sinC 所以bc=4 sin BsinC=4 sin Bsin =25s8os8+2sm2g=52+1-ows2B=2a28-君引1， 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<否且0<-B<西，解得<B< 32 所以君<2B-<誓，所以m2®-}1，则2<6cs3, 6 66 所以好<而s}, 所以中线AD的取值范围是 3] 19.【详解】(1)受仿射坐标系即为直角坐标系，所以2a+6=4-2+(1,2上6,0)。 所以2a+=3,0=3: (2)在直角坐标系xOy中，记名=(1,0)，则已2=(co3a,sina), 在一仿射坐标系中， a(9-9-9a9rj 1 2 -cosa 2 5o手克 +5osa)+3sin'a4-2J3o 整理得3cos2a 3v -cosa=0】 2 解得6a-0(合去)家eoa=马，所以a-号： 2 g)在直角坐标系0中，云-o0,云-(om导曲引传】