函数与导数：隐零点问题 讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数中的隐零点问题，系统梳理定义、核心等式、常见类型及必备依据等核心考点，按解题原理与思路构建知识框架。通过知识点解析、例题精讲、变式训练、实战演练四个教学环节，帮助学生掌握隐零点区间锁定与整体代换方法，突破高考难点。 讲义突出“定位-代换-化简”解题策略，如例1中通过零点存在定理锁定隐零点区间，利用导零等式代换消去指数项，培养学生数学思维与模型观念。分层设计例题与训练题，配合即时方法总结，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：隐零点问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1. 定义 导数方程 有实根 ，但无法用代数式子直接解出精确值，只能确定取值区间，该零点即为隐零点。 1. 核心等式 极值点处满足：，是整体代换的关键。 1. 常见类型 含 、 等超越函数居多，多用于求最值、证明不等式、恒成立求参。 1. 必备依据 零点存在定理、导函数单调性、隐零点区间估值。 二、解题原理 先锁定隐零点所在区间，不求解具体数值；利用 进行式子代换，消去指数、对数等复杂项，化简原函数解析式，再结合自变量区间求出最值与范围。 三、解题思路 1. 对原函数求导，研究导函数单调性，判断零点唯一性； 1. 代入特殊值，利用零点存在定理，锁定隐零点 的区间； 1. 写出核心关系式 ，作为等量替换条件； 1. 判断原函数单调区间，确定 为极大/极小值点； 1. 将 代入原函数，用导零等式替换化简； 1. 依据 所在区间，求出函数最值，完成解题。 例题分析 例1．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明在时恒成立即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. （2）证明：当时，令， .             令，， 令，. 令，在时恒成立，             在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，             ，即对任意的，. 例4．（25-26高三上·广西柳州·月考）已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求切点的坐标； (2)当，时，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合互相垂直直线斜率之间的关系进行求解即可； （2）构造新函数，利用二次求导法、函数零点存在原理进行运算证明即可. 【详解】（1）， 所以直线的斜率为， 因此与直线垂直的直线的斜率为，即. ， 所以，即， 所以，因此切点为. （2）当，时，要证明， 即证明，只需证明， 即只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 在区间内单调递增，所以有， 在区间内单调递减，所以有， 故内恒成立，原不等式得证. 变式训练 变式1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)有2个零点 【分析】（1）利用导函数研究函数在上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可； （2）分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）由题意，， 则， 由于，所以，则，又，所以， 进而，所以在上单调递减， 又，， 根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点. （2），，则，， 当 时，因为， 所以， 此时单调递减，， 所以在上没有零点， 当时，令， 则， 所以 在上单调递增，又， 故当时，，则在上单调递减，又， 当时， ，故在上单调递增， 因此，当时，只有一个零点，即， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 故，使得，且当时，，单调递增， 当时，，，单调递减， 而，， 所以当时，，此时无零点， 当时，只有一个零点， 综上可知：时，有2个零点. 变式2．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. (1)求函数的解析式； (2)证明：； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用两个函数互对称的性质求解即可； （2）分为两个不等式，然后求差构造函数，利用函数的单调性求最值，然后判断大小即可； （3）先将两个函数代入不等式，然后利用第二问的不等式放缩，去掉对数函数，然后化简求范围即可，因为有放缩，所以还需要验证，所求参数的范围的补集不符合题意. 【详解】（1） （2）的定义域为，设， ， ，得，得， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以； 设， ，得，得， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以； 综上所述，成立. （3）， 设 令，得 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 所以， 所以当时，在时恒成立， 下面证明当时，在时不恒成立， ， 设， 当时，在单调递减，值域是， 当时，，使得，此时，， 即在时不恒成立； 综上所述，实数的取值范围是. 变式3．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由“凸函数”定义可得在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得； （2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可. 【详解】（1）由，则. 由题意可知，为上的“凸函数”， 则在区间上单调递减，设， 则，所以在恒成立， 则在恒成立， 又当时，函数取最小值，且最小值为， 所以有，解得， 即a的取值范围为. （2）当时，由得 . 令，其中， 则，其中. ①当时，则，， 所以，则在单调递增， 则恒成立，即在无零点； ②当时，令，其中， 由在单调递增， 又， 故存在，使得， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 由， 故存在，使，即， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故当时，，即在无零点； ③当时，由，则， 故故在单调递增， ，且， 故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点； ④当时，， 故在无零点； 综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内. 由，即将图象向左移1个单位可得的图象. 故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内. 故有且仅有两个零点，命题得证. 变式4．（2025·河南濮阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)证明：当时，对任意的，恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）分别求切点坐标和切线斜率，利用点斜式可得切线方程； （2）先把问题转化为，.设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值大于0即可. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以在点处的切线方程为即. （2）要证当时，对任意的，恒成立，即证． 令，． 则， 令，， 则． 当时，，则函数在上单调递增， 则当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，． 当时，， 所以函数在上单调递减． 而，， 所以存在、使得． 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 而， ， 令，，， 则． 当时，， 当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以当时，． 综上所述，当，对任意的，， 即当时，对任意的，恒成立． 实战演练 1．（25-26高三上·江西抚州·月考）已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导后，设，再次求导后结合的单调性讨论可得的单调性即可得解； （2）在上单调递增，可转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0，令，对分类讨论研究的单调性即可得的单调性，即可得解. 【详解】（1）当时，， 令， ，当时，， 所以在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以的取值范围是； （2）， 在上单调递增等价于在上恒成立， 且在的任意子区间上不恒为0， 令， 则， 当时，因为，所以， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立， 所以， 则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，符合题意； 当时，令， 则在上单调递增，且， 由零点存在定理可知，存在实数，使得， 所以当时，0，即在上单调递减， 当时，，此时， 所以在上单调递减，所以0， 则在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，因为，所以在上不恒成立， 不符合题意，舍去. 综上，的取值范围是. 2．（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：隐零点问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1.定义 导数方程f(x)=0有实根xo,但无法用代数式子直接解出精确值，只能确定取值区间，该零点即为隐零 点。 2.核心等式 极值点处满足：f(x=0,是整体代换的关键。 3.常见类型 含ex、lnx等超越函数居多，多用于求最值、证明不等式、恒成立求参。 4.必备依据 零点存在定理、导函数单调性、隐零点区间估值。 二、解题原理 先锁定隐零点所在区间，不求解具体数值；利用f(x=0进行式子代换，消去指数、对数等复杂项，化简 原函数解析式，再结合自变量区间求出最值与范围。 三、解题思路 1.对原函数求导，研究导函数单调性，判断零点唯一性； 2.代入特殊值，利用零点存在定理，锁定隐零点x0的区间； 3.写出核心关系式f(x=0,作为等量替换条件； 4.判断原函数单调区间，确定xo为极大/极小值点； 5.将x0代入原函数，用导零等式替换化简： 6.依据x0所在区间，求出函数最值，完成解题。 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例题分析 例1.(2026甘肃模拟预测)已知函数f(x=ax3+3sinx-x,其导函数为f'(x). (1)当a=1时，求函数∫'(x的值域： (2)当xe[0,π]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 例2.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知函数f=血1- (I)讨论∫(x)在其定义域上的单调性： ②当0<x1时，若fsm-1,求实数4的取值花围。 2 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026·云南昭通·模拟预测)已知函数f(x=e*sinx-ax,其中aeR (i)当a=1时，讨论fx)的单调性； (ii)若存在xe0, 2使得八国≥0成立，求a的取值范围， ②当a=0时证明：对在意的x∈0，，f(x≥x- 6 例4.(25-26高三上广西柳州月考)己知函数f(x=ln2x+m+x2(m∈R (1)若曲线f(x在x=1处的切线与直线x+3y-1=0垂直，求切点的坐标： ②当m=2,} 时，求证：f(x<sinx+2+1. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式训练 变式1.(2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知∫(x=e·sinx-x. (1)若gx=2 -2x-f(x) 证明：gx)存在唯一零点； (2)当x∈（-0，π)时，讨论f(x)零点个数 变式2.(24-25高三上·辽宁，期中)已知函数f(x)=ln(x+1),函数g(x)的图象与 h)-=22-3+6x+2x-2eosx-2)的图象关于，2)中心对称 (1)求函数g(x)的解析式： 2证明：父≤f)sx; x+1 (3)若f(x)+g(x)≤ax在x∈[0,1]时恒成立，求实数a的取值范围 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2425高三上·贵州六盘水月考)设h'(x为h(x的导函数，若h'(x在区间D上单调递减，则称h(x)为D 上的“凸函数”.己知函数f(x=-sinx+ax2+ax. )若f(为0上的凸函数”，求a的取值范围： (2)证明：当a=-1时，gx=f(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2有且仅有两个零点. 变式4.(2025·河南濮阳模拟预测)己知函数f(x=esinx-mx+1.meR (1)当m=2时，求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)证明：当0<m<1时，对任意的x∈0， 子，f>1恒成立 5 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 实战演练 1.(2526高三上-江西抚州-月考)已知函数f()=2r2+sinx+2cosx 6 (I)当a=0时，3xe[0,π]，∫(x=m,求m的取值范围： (2)若∫(x)在(0，+o)上单调递增，求a的取值范围. 2.(2526高三上山西吕梁.月考)已知函数f(x=ax-2lnx (I)讨论函数∫(x的单调区间： ②当r>0时，到≥++2-2心-2hx恒成立，求实数“的取值范围 6