专题08 解三角形（七大核心考点精讲 +多模型与范围最值突破）——2026届高三数学三轮冲刺讲义

复盘固化核心常考点专题 专题08 解三角形（七大核心考点精讲 +多模型与范围最值突破） 读考点 一、考点总结与提升 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 3.三角形中常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . 二、典例精讲 核心考点01.多三角形计算 多三角形问题，即一个三角形中引出一些线段后将其分为两个或者多个小三角形，前面的中线，角平分线，高线均是如此. 当然，还有一些多三角形并没有像前面这些三角形有固定的解题背景或者结论，它们需要的是结合正余弦定理和三角形内角和，把握住整体和局部的联系，抓住公共边，公共角等等一些特征，最多通过多次解三角形实现目标. 基本几何特征:如图， . 例1．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，　　． 例2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 例3．在中，，.    （1）求的值； （2）若，求的面积; （3）设为内一点，，，求的值. 核心考点02.中线公式与向量方法 若已知顶角的大小，且时，可利用向量共线的基本结论求得. 例4.在中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长. 例5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积． 核心考点03.为角平分线：角平分线定理 如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：，即角平分线性质定理. 例6. 中，是上的点，平分，面积是面积的倍． （1） 求； （2） 若=1，=求和的长. 例7.在中，已知角，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 例8.在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 例9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积. 核心考点05.与三角形中特数线段有关的最值、范围问题 例10的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，,若为锐角三角形，则 AC的取值范围为_______________.； 例11．在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若为上一点，，，求的最小值. 核心考点06. 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题 例12已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例13．记的内角的对边分别为，已知. (1)求A的值； (2)若的平分线与交于点，求面积的最小值. 核心考点07.三角形中有关量的最值或范围 例14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，B－A＝且B为钝角．则sinA＋sinC的取值范围（ ） A. B. C. D. 例15．（多选）在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c。下列实数x的值哪些能使，满足a＋b＝cx成立（ ） A.1 B. C. D. 例16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 例17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5. (1)求A的大小； (2)若a＝2，求b2＋c2的取值范围. 三、高考练场 1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2. 中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为. 则的取值范围为_______________. 3．已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 4．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 5．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，为内一点，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为_________ 8．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为_________ 9已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为___________． 10记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求； （2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值. 11．在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且，求. 12．已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题08 解三角形（七大核心考点精讲 +多模型与范围最值突破） 一、考点总结与提升 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 3.三角形中常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . 二、典例精讲 核心考点01.多三角形计算 多三角形问题，即一个三角形中引出一些线段后将其分为两个或者多个小三角形，前面的中线，角平分线，高线均是如此. 当然，还有一些多三角形并没有像前面这些三角形有固定的解题背景或者结论，它们需要的是结合正余弦定理和三角形内角和，把握住整体和局部的联系，抓住公共边，公共角等等一些特征，最多通过多次解三角形实现目标. 基本几何特征:如图， . 例1．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，　　． 解析：设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：， 要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：． 例2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 解析：（1）由题意知，又由正弦定理得，所以.又，所以，所以，所以，因为，所以，所以，    又因为，所以. （2）（ⅰ）因为，根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故， （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，；所以，因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 例3．在中，，.    （1）求的值； （2）若，求的面积; （3）设为内一点，，，求的值. 解析：（1）在中由正弦定理，又， 所以，又，所以， 所以，即， 即，所以； （2）因为，在中由余弦定理， 即，解得（负值已舍去），则，所以； （3）在中，设，令，  则，， 在中，可得，，由正弦定理， 得，所以，可得，即． 核心考点02.中线公式与向量方法 若已知顶角的大小，且时，可利用向量共线的基本结论求得. 例4.在中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长. 解析：（1）因为，所以，所以，即， 所以，由余弦定理及得：， 又，所以，即， ，所以. （2）由，所以，由（1）， 所以，因为为边上的中线，所以，所以 ，所以，所以边上的中线的长为：. 例5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积． 解析：（1）． （2）如图所示： 因为，所以，．又，所以． 在中，由余弦定理得，即．① 又，所以，两边平方得， 即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，， 所以是以为直角的三角形，所以的面积为． 核心考点03.为角平分线：角平分线定理 如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：，即角平分线性质定理. 例6 中，是上的点，平分，面积是面积的倍． （1） 求； （2） 若=1，=求和的长. 解析：（1）， 因为，，所以，由正弦定理可得 . （2）因为，所以，在和中，由余弦定理知， 故，由（1）知，所以. 核心考点04.等面积思想. 设为的平分线，则设，那么有等面积可得： ， 进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 例7.在中，已知角，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 解析：，依题意是角的角平分线， 由三角形的面积公式得， 化简得，， .当且仅当，时等号成立.故答案为： 例8.在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 解析：（1）已知，由正弦定理可得，， ，，， 即， . （2）由（1）知，由，则.设，，，， . 例9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积. 【解析】（1）因为， 由二倍角公式和诱导公式可得， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）如图所示，， D是BC边上一点，AD是的平分线，且，， 由于，则， 得，又，所以， 解得或（舍去）， 所以. 核心考点05.与三角形中特数线段有关的最值、范围问题 例10的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，,若为锐角三角形，则 AC的取值范围为_______________.； 【解析】设的内切圆半径为r，因为， 所以，化简得：， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以，，解得：， 所以，所以AC的取值范围为． 故答案为： 例11．在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若为上一点，，，求的最小值. 【解析】（1）依题意，， 由正弦定理得， ，所以， 所以是钝角，所以. （2）， ，所以， 即， 所以， 当且仅当时等号成立. 核心考点06. 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题 例12已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 例13．记的内角的对边分别为，已知. (1)求A的值； (2)若的平分线与交于点，求面积的最小值. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 则， ， 即， 可得， 因为，则，则， 整理得， 又因为，则， 可得，所以. （2）因为平分且，所以， 由，可得， 整理得，则，当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为． 核心考点07.三角形中有关量的最值或范围 例14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，B－A＝且B为钝角．则sinA＋sinC的取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】由题意知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，∴A∈，于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A ＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋. ∵0＜A＜，∴0＜sinA＜.因此＜－2＋≤. 由此可知sinA＋sinC的取值范围是。故选D。 例15．（多选）在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c。下列实数x的值哪些能使，满足a＋b＝cx成立（ ） A.1 B. C. D. 【解析】x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.又A∈，∴<A＋<，∴<sin≤1，即x∈(1，]。故选CD。 例16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由， 则根据正弦定理有，即， 又由余弦定理有，得， 所以在中，得； （2）由为锐角三角形，且， 则有，得，即，即， 所以根据正弦定理有． 例17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5. (1)求A的大小； (2)若a＝2，求b2＋c2的取值范围. 【解析】(1)由已知得6sin2A＋cos A＝5，整理得6cos2A－cos A－1＝0， 解得cos A＝或cos A＝－.又A∈，所以cos A＝，即A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及a＝2，A＝得4＝b2＋c2－bc， 即b2＋c2＝4＋bc，由正弦定理得＝＝＝＝，即b＝sin B，c＝sin C，又C＝－B，所以bc＝sin Bsin C＝sin Bsin ＝sin B·cos B＋sin2B＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋， 又由解得<B<，所以<2B－<π，所以sin∈， 所以bc∈，所以b2＋c2＝4＋bc∈. 三、高考练场 1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为是锐角三角形，所以，，所以，， 由正弦定理得，所以． 故选：C． 2. 中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为. 则的取值范围为_______________. 【解析】选择①由正弦定理可得，， 因为，所以 ，即， 因为，所以，所以， 所以，即； 选择②，则， 由正弦定理得 ， 因为，所以 ，即， 因为，所以，所以，即； 选择③由， 可得 ，即， 所以，由于，故. 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为 故答案为： 3．已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 解析：由题意为的中点，设，则， 则在中，,则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为，上高的最大值为． 故选：D． 4．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 解析：如图，边上的高为，，且，所以，则，则，，所以，则. 故选：B 5．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得，可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 6．在中，，为内一点，，，则（    ） A． B． C． D． 解析：在中，设，令，    则，，在中，可得，， 由正弦定理，得， 所以，可得，即．故选：B． 7．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为_________ 解析：设，则，在中，，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，当时，有最小值，此时取最小值，所以.故答案为：. 8．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为_________ 解析：由余弦定理得，又，所以， 即，所以，由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以或（舍去），所以， ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 9已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为___________． 【解析】， 由正弦定理得， 中，，所以，得，即， ∵，则， ∴，∴. 为锐角三角形，，， 由正弦定理得， ∴，，， 周长 ， ∵为锐角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即周长的取值范围为. 故答案为： 10记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求； （2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值. 【解析】（1）由已知和正弦定理可得：， 所以. 又因为，，所以或者. 当时，，； 当时，与题设不符. 综上所述，. （2）面积， 由是角平分线，， 因为，得， 即，由基本不等式，， 当且仅当时等号成立. 所以面积. 故面积的最小值. 11．在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且，求. 解析：（1）.由正弦定理，可得 又,. （2），设，则，在中，.在与中，. . 12．已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 解析：（1）因为，由正弦定理可得，且， 即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以. （2）因为为的平分线，则，因为，则， 即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $