精品解析：江西上饶市余干县私立蓝天中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026第二学期期中考试（高二数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列的通项公式，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将代入计算即可得结果. 【详解】因为数列的通项公式，所以. 故选：B 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的项之间的关系即可求得公差. 【详解】等差数列中，公差 故选：D. 3. 已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 代入回归方程后可得，故. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数的四则运算求导，再令，得到，进而可求解. 【详解】求导得：， 令，得，解得， 所以 所以． 5. 已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知正项数列是公比不为1的等比数列，设的公比为，则， 由，得，则，即， ，解得． 6. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 7. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 8. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时， ， 当时， ， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，且，则 C. 已知函数，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，令，所以， 所以，解得，故B正确； 对于C， ，所以 ，故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：AC． 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当或4时，取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算判断A；举反例判断B；求出通项公式即可求解不等式判断C；根据数列项的符号求解最大值判断D. 【详解】根据题意，数列的前项和， 当时，有，故A正确； 当时，， 对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误； 对于C，显然， 当时，令，解得， 所以不等式的解集为，为有限集，故C正确； 对于D，由于， 所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知函数，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数； 由，得. 因为函数在上为增函数，由可得. 故不等式的解集为，ACD都对，B错. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率. 【详解】由题设，则， 所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为. 故答案为： 13. 已知正项等比数列满足，，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为，可知； 因此可得，两式相除可得， 解得或； 可得或（舍）； 因此. 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造，问题化为求的解集，利用导数研究单调性，进而有求解集. 【详解】由题设，令，不等式化为， 因为，所以，所以在R上单调递减， 又，则，故不等式的解集为. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）由题意得，解出即可； （2）由（Ⅰ）得，利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（Ⅰ）得， 则， 令，解得，又， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 16. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式计算即可； （2）利用裂项相消法来求和，再用放缩法，不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意可知， 等差数列的公差为， 所以， 又所以； 【小问2详解】 因为， 所以, 即. 17. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） （2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异 【解析】 【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解； （2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关. 【小问1详解】 由表可知，样本中心 为： . .则 . 所以，净化器的年销售量 关于年份代码 的线性回归方程为：. 【小问2详解】 根据 列联表中的数据，计算 的观测值： . 因为 ， 所以，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为 A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异. 18. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，. 所以. 所以 . 19. 已知函数（且）． （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2），切点坐标为 （3）的取值范围 【解析】 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． 【小问2详解】 ， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． 【小问3详解】 令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期期中考试（高二数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列的通项公式，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 3. 已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（ ） A. 8 B. C. D. 6. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数 无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，且，则 C. 已知函数，则 D. 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当或4时，取最大值 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________. 13. 已知正项等比数列满足，，则______． 14. 已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 16. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 17. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） （2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知函数（且）． （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $