精品解析：江西鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

余江一中2024级高二下学期期中考试 数学试卷 时间120分钟 满分150分 命题 严银斌 审题 张曼怡 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设{}是首项为，公差为﹣2的等差数列，为前项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 ＝（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列、的通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ） A. 166 B. 168 C. 169 D. 170 7. “斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（ ） A. B. C. D. 8. 设数列满足，，，若表示大于x的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（ ） A. 6078 B. 6079 C. 6080 D. 4052 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则_______． 13. 点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 17. 2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示： 门票价格（元／人） 30 40 50 60 70 日游客人数（千人） 21 20 14 8 7 （1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费） 参考数据：．参考公式：线性回归方程． 18. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）令，记数列的前n项和为，求证：． 19. 已知数列的首项且，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前2n项的和； （3）若，且不等式 对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余江一中2024级高二下学期期中考试 数学试卷 时间120分钟 满分150分 命题 严银斌 审题 张曼怡 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， 由， 所以该函数的单调递减区间是. 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 4. 设{}是首项为，公差为﹣2的等差数列，为前项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 ＝（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式,求出,,,再根据S1，S2，S4成等比数列,列方程可求得. 【详解】由等差数列的前项和公式得, 所以,,, 因为S1，S2，S4成等比数列,所以,即,解得. 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、等比数列的性质.属于基础题. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 6. 已知数列、的通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ） A. 166 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列、的公共项构成的数列通项，再列不等式求解即得. 【详解】依题意，令，即，整理得， 因此是3的正整数倍，令，即， 于是数列、的公共项构成的数列，有， 由，得， 所以集合中元素的个数为169. 故选：C 7. “斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得到，，整理变形，代入数据，可判断A的正误；根据规律，结合累加法，可判断B的正误；由题意得，整理变形，结合累加法，可判断C的正误，由题意，根据C选项结论，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，， 所以， 令，则，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C：由题意，， 所以 又，所以， 则，故C正确； 选项D：由题意，， 所以，故D错误. 8. 设数列满足，，，若表示大于x的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（ ） A. 6078 B. 6079 C. 6080 D. 4052 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造出数列是公差为2的等差数列，利用累加法求出，进而求出的通项公式，结合的定义即可得出结果. 【详解】由，得， 故数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ，，显然满足上式，则， 故，故， 当时，，故， 所以数列的前2026项和为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求出各个函数的导函数，根据题意结合零点存在定理，分析求解，即可得答案. 【详解】选项A：，令，解得或，符合题意，故A正确； 选项B：，令，解得，符合题意，故B正确； 选项C：，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得，即，即成立，故C正确； 选项D：，令，解得， 因为指数函数恒大于0，所以不成立，则不符合题意，故D错误. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 令，得，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 对于A，因为， 所以，即， 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，为常数， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则_______． 【答案】60 【解析】 【详解】因为数列满足，， 所以是一个首项为，公差为2的等差数列， 由等差数列前项和公式得：. 13. 点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算. 【详解】因到直线的距离最小，故过与直线平行的直线与曲线相切， 由题意可知：,令 ，得 易得函数在单调递增，且为零点. 此时点M的坐标为. 此时M到直线的距离， 所以点M到直线的距离的最小值为. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】因为，且 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，则， 可得， 即，则， 可得， 且，则， 且，可知数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，可得， 对任意，有恒成立，则恒成立， 因为， 即， 若是奇数时，则，即，可得； 若为偶数时，则，即，可得； 综上可得：， 又因为是非零整数，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，求导，再结合题意可得，利用与的关系求解； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设二次函数，则 ，得 所以 由点均在函数的图像上，则 当时，， 当时， 符合上式， 【小问2详解】 由（1）知 所以 16. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 17. 2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示： 门票价格（元／人） 30 40 50 60 70 日游客人数（千人） 21 20 14 8 7 （1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费） 参考数据：．参考公式：线性回归方程． 【答案】（1）； （2）5千元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）由（1）的结论求出日门票净收入关于的函数关系，再列出不等式组求解. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程为， 由数表得， 而， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，则， 日门票净收入，， 当时，令最大，则，即， 整理得，而，， 函数是递增的，因此，， 所以当门票定价为10元，日广告费用为5千元时门票净收入最大. 18. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【小问1详解】 由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. 【小问2详解】 因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 【小问3详解】 由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 19. 已知数列的首项且，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前2n项的和； （3）若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可； (2)由（1）知，当为奇数时， ，.当为偶数时，，利用等差数列和的等比数列的前项和公式求解即可； (3)根据题意可将问题化为 ，分为奇数和为偶数两种情况结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由，得， 又，则，所以，即. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列 【小问2详解】 由（1）知，， 当为奇数时， ；.当为偶数时，； 所以 ． 【小问3详解】 由（2）知，. 则不等式可化为 ． ①当为奇数时，不等式可化为 ， 则， 令，因为为奇数，则， 结合对勾函数的性质可知，函数在上的最小值为，所以的最大值为， 所以 ②当为偶数时，不等式可化为 ， 则，令，因为为偶数，则， 函数在上的最小值为，所以的最小值为， 所以. 综上，.所以实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $