精品解析：江西抚州市金溪县第一中学2025-2026学年下学期高二数学期中阶段性作业

2025-2026学年下学期高二数学学科阶段性作业 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是数列的前项和，，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知公比不为1的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 7. 若数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. 6 D. -6 8. 已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设数列满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 只有一个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 是递减数列 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最大值为___________． 13. 已知点在函数的图象上，点在直线 上，则两点之间距离的最小值是___________． 14. 已知为等差数列，公差，其前项和为，若也是以为公差的等差数列，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求函数在点处的切线方程． （2）求函数的极值． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列． （2）求数列的最大值． 17. 已知数列为递增的等比数列，其前项和为，已知成等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）设，为数列的前项和，求． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 19. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直． （1）求的最值； （2）若对任意实数，有恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二数学学科阶段性作业 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是数列的前项和，，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，可知，代入即可求解. 【详解】 ． 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以，又因为， 所以的图象在处的切线方程为，即. 3. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，故 ． 4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】已知的图象在点处的切线方程是， ， 当时，，则 ． 5. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式得或，根据图象的单调递增和递减区间，得到或的解集，分别求出两个不等式组的解集，得到原不等式的解集. 【详解】 ，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 6. 已知公比不为1的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出公比，根据等比数列的关系式进行求解，得到答案 【详解】设数列的公比为， 显然成等比数列，公比为， 因为，所以， 故． 所以，则， 又，故，所以， 所以． 7. 若数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. 6 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】通过递推公式计算出，可得数列是以4为周期的周期数列，据此可得答案. 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；， 故数列是以4为周期的周期数列，， . 8. 已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同构变形，由函数单调性得到不等式，参变分离，求出函数单调性和最值，得到答案 【详解】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设数列满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对取倒数再进行构造可得，可证明是等比数列；对于B，利用A选项结论可求出；对于C，由B选项结论可知，所以不是递减数列；对于选项D，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 整理得，且， 所以是首项为，公比的等比数列，故A正确； 由，解得，故B正确； 因为，所以不是递减数列，故C错误； 因为，所以的前项和 ，故D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 只有一个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，解不等式结合定义域可得的递减区间；对于B，由A分析结合可判断选项正误；对于C，计算可判断选项正误；对于D，由的定义域可判断的奇偶性. 【详解】，定义域为， 则， 对于A，注意到函数都在上单调递增， 知也在上单调递增，又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，故A正确； 对于B，因为当时，单调递减，当时，单调递增，结合，所以只有一个零点，故B正确； 对于C， ，根据导数几何意义可知C正确； 对于D，的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误． 11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 是递减数列 【答案】AD 【解析】 【分析】通过的关系，通过作差法，构造等比数列，求得的通项公式，可判断ABC，再结合数列单调性作差法可判断D. 【详解】由得，，所以． 将与相减得，， 即， 由得，即 所以 所以，因此不是等比数列． 因为，又， 所以．故A错误，B正确． 当时，； 当时，，因此．故C正确． 因为， 所以，因此是递增数列．故D错误． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最大值为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，进而找出函数在给定区间内的极值点，最后比较极值点和区间端点的函数值，得出最大值. 【详解】因为，所以， 令，得或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，又因为 ， 则的最大值为． 13. 已知点在函数的图象上，点在直线 上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由 ，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 14. 已知为等差数列，公差，其前项和为，若也是以为公差的等差数列，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的特点是关于的一次函数，列式计算得解. 【详解】因为等差数列的通项公式是关于的一次函数， 其前项和公式是关于的且常数项为零的二次函数， 又也是以为公差的等差数列，即也是关于的一次函数， 所以满足，得或（舍）， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求函数在点处的切线方程． （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而求解极值． 【小问1详解】 由，，得， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为， 即切线方程为. 【小问2详解】 由，， 得, 令，得或,令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，取得极大值为 ， 时，取得极小值为 . 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列． （2）求数列的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合构造法以及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）写出数列的通项公式，结合单调性分析求出即可. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 则，则， 则，又，所以， 故数列是公比为，首项为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 有， 当时， ，即， 当时，因为 ，所以 ， 则 ， 又 ，所以， 所以从第2项起单调递减，即， 所以的最大项为， 即数列的最大值为． 17. 已知数列为递增的等比数列，其前项和为，已知成等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）设，为数列的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项得到，再，列出等式求解即可； （2）通过错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由成等差数列，得， 即， 由，得，解得， 设等比数列的公比为，由， 得，即，解得或， 而数列为递增的等比数列，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由， 所以，① ② 由①-②得 所以． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 19. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直． （1）求的最值； （2）若对任意实数，有恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）最小值为 ，无最大值； （2）1. 【解析】 【分析】（1）对求导得到，代入得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为，求出，从而得到，的表达式.；根据导函数的正负性来判断函数的单调性，根据函数单调性确定函数的最值； （2）将不等式 转化为，构造新函数，通过新函数的单调性来确定新函数的最值，进而确定的取值范围，求出整数的最大值. 【小问1详解】 由，得函数的定义域为，且， . 在点处的切线与直线垂直． ，即； ，. 令，即．得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 当时，取得极小值，也是最小值，即 . 的最小值为 ，无最大值． 【小问2详解】 由（1）得，定义域为. 由 ，得. 令 ，. 即对任意实数，有 恒成立，等价于. . 令 ，则 ，在上单调递增，即在上单调递增. 时，；，； 又 ，； ，使得，即，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 当时，取得最小值， 即 . ，，即. . 由，得且 ； ，即整数的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $