精品解析：海南省农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷（二）

海南海口农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果. 【详解】根据题意可知，即，解得或， 即或； 易知，解得或，即或； 可得或， 因此. 故选：D 2. 复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及模长公式计算即可. 【详解】由题意得，则， 故选：C 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，解得， 于是． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式得到，再利用弦化切化简原式代入即可求得结果. 【详解】由，可得， ∴， 故选：C． 5. 已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得和的交点为，代入双曲线的渐近线方程可得，根据的关系及离心率公式求解即可. 【详解】由题意可得，，且， 则，得， 即交点坐标为， 又因为此点在双曲线的一条渐近线上， 所以只能是在上， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以离心率. 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 7. 记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求出数列的首项和公差，进而求出数列的通项公式，利用三角形边的关系列出不等式求解. 【详解】设等差数列的首项为和公差为， ，得， ，得， 解得，， 若长为的线段能构成三角形， 则，即， 解得， 又三角形的最短边，解得， 因为为正整数，所以， 故，共个值. 8. 已知函数 若存在，，使得，则n的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，又，，，，可求的最大值． 【详解】， ， ， 当，时，， ，又，． 故选：A． 二、多选题 9. 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A. 直方图中 B. 此次比赛得分及格的共有60人 C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D. 这100名参赛者得分的第80百分位数为75 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直方图的性质求出，并逐项分析即可可得答案. 【详解】对于A，由得，故A正确； 对于B，此次比赛得分及格的共有人，故B正确； 对于C，以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人， 其得分在的概率为，故C错误； 对于D，因为， 所以第80百分位数在内，可得这100名参赛者得分的第80百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在区间上有3个零点 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】探究与的关系，可判断A的真假；探究与的关系，可判断B的真假；求出函数在的零点，判断C的真假；利用导数求函数的极大值，判断D的真假. 【详解】对于A：因为，所以不是函数的周期，故A错误； 对于B：因为， ， 所以，所以的图象关于对称.故B正确； 对于C：因为， 由或. 又，所以或，即在区间上有2个零点，故C错误； 对于D：由. 由或. 当时，或， 若，，则，所以； 若，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上可得，当，时，取得最大值.故D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，若点为四边形内（包括边界）的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 B. 若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是120 【答案】ABD 【解析】 【分析】由截面知识结合三角形面积公式即可验证A，由异面直线夹角结合双曲线的定义可验证B，由椭球的概念和性质可知该椭球被平面截得的在四边形内的部分为半圆，且半径为，则可验证C，将正方体绕旋转后与其自身重合，转化为旋转后能和自身重合，则D可验证. 【详解】对于A，若，显然平面截正方体所得截面为，所以，截面面积为，所以A正确； 对于B，因为，若与所成的角为， 则点在以为旋转轴的圆锥（无底）的表面上，而平面， 所以则点的轨迹为双曲线，所以B正确； 对于C，若，则在以、为焦点的椭球上且，， 所以，又因为点为四边形内，该椭球被平面截得的在四边形内的部分为半圆，且半径为， 所以点的轨迹长度为，所以C错误， 对于D，平面，且为正三角形， 若正方体绕旋转后与其自身重合，只需要旋转后能和自身重合即可，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 【答案】 【解析】 【分析】由棱柱的体积公式求解即可. 【详解】因为为直三棱柱，所以平面， 又因为为边长为的正三角形，所以， 又. 故答案为：. 13. 已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】函数定义域是，，是偶函数， 时，是减函数， 又，所以由得，且，解得且． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错． 14. 若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题分析：使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则点C为圆心在直线l上半径为1的动圆上的点，只需动圆与圆O有公共点即可. 【详解】根据条件：相距为2的两个动点A，B，△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点）， 可以确定点C为圆心在直线l上半径为1的动圆上的点，进而将问题转化为两个圆的位置关系解决． 记线段AB的中点为M，因为△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），所以点C在以M为圆心，半径为1的圆上，又因为点C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点， 即0≤≤2， 只需圆心O到直线l的距离，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】此题考查圆与圆的位置关系，根据动点的关系将题目转化成求点到直线的距离问题求解. 四、解答题 15. 某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” （1）现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； （2）若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 【答案】（1）0.815 （2）随着的降低，系统的误判率升高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出误判率的函数关系，再借助函数单调性判断. 【小问1详解】 用事件表示抽到的是正品，把抽到的产品标记为合格品为事件， 则，， 由全概率公式得. 【小问2详解】 设系统的误判率为，则， 所以随着的降低，系统的误判率升高. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或2 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和面积公式，结合条件即可得出答案； （2）由面积公式和正弦定理化简求出A，即可得出答案. 【小问1详解】 余弦定理得， ，又，所以，代入， ，或2． 【小问2详解】 由正弦定理得，又， ， ， ，， ， ，， ，， ． 17. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）EF在平面AFG内，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由平面平面结合平面与平面垂直性质可完成证明； （2）由题设，如图过作平行线交于，建立以为原点的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，据此可得答案； （3）等价于判断是否存在实数，使，据此可完成判断. 【小问1详解】 因平面平面，平面平面， ，平面，则平面； 【小问2详解】 如图过作平行线交于，由题设可得. 然后如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则.. 因，则. 则，又， 则，设平面法向量为， 则，令，可得可为. 又易得平面的法向量为. 设平面与平面夹角为，则. 【小问3详解】 由（2）可得，，. 则。 假设平面，则四点共面，从而存在实数，使， 则.则，即在平面内. 18. 已知椭圆的左顶点和右焦点的距离与右焦点到椭圆的右准线的距离相等，且椭圆的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点. ①当时，求直线的方程； ②求证：为定值. 【答案】（1）；（2）①或，②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）依题意得到方程组解得即可； （2）设直线的方程为，，，设线段的中点为，联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可表示出线段的中点的坐标，从而得到线段的垂直平分线方程，表示出点坐标，再根据①、②分别计算可得； 【详解】解：（1）由条件得，又， 解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）因为直线过点，且与坐标轴不垂直， 所以设直线的方程为，，， 设线段的中点为， 由得， 所以， 所以线段的中点， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，得，即 ①当时，则， 解得， 所以直线的方程为或. ②因为， ， 所以为定值. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）（i）先求出切线方程，再结合等比数列定义计算证明；（ii）由（ⅰ）可知，则，构造函数，求出导函数得出函数单调性证明. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线斜率为，又， 则在处的切线方程为， 令，则，所以. 【小问2详解】 （i）由题可知，则在处的切线方程为， 令，则，所以. 在处的切线方程为 令，则，所以. 所以 即 又，则，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）可知，则， 要证，即证：. 因为，即证：， 即证： 构造函数，则 故在单调递增，对任意， 即，取，则有， 故只需证：， 即需证：， 构造函数，则， 故在单调递减，则， 即对任意，取， 即有， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 7. 记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 8. 已知函数 若存在，，使得，则n的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题 9. 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A. 直方图中 B. 此次比赛得分及格的共有60人 C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D. 这100名参赛者得分的第80百分位数为75 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在区间上有3个零点 D. 的最大值为 11. 在棱长为1的正方体中，若点为四边形内（包括边界）的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 B. 若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是120 三、填空题 12. 如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 13. 已知函数，则不等式的解集为___________. 14. 若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________． 四、解答题 15. 某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” （1）现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； （2）若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 18. 已知椭圆的左顶点和右焦点的距离与右焦点到椭圆的右准线的距离相等，且椭圆的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点. ①当时，求直线的方程； ②求证：为定值. 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $