精品解析：2025届海南省农垦中学高三冲刺（五）数学试题

海南省农垦中学2025届高考冲刺五数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知i是虚数单位， ，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 在平面直角坐标系中，对应的点在第一象限 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（ ） A. 6 B. C. 4 D. 4. 将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A. 底面半径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 半径为的球体 D. 各棱长均为的四面体 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为 C. 函数图象关于点对称 D. 函数在点处的切线方程为 11. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A. 存在，使得是直角三角形 B. 存在，使得是等边三角形 C. 存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D. 存在使得四面体对棱互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，则________. 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是________． 14. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若,，求边上的高． 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . （1）在直线上否存在一点，使得直线平面? （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 19. 已知函数． （1）若直线是曲线的一条切线，求． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）已知定义在区间上的函数，对任意，存在一个正实数，满足，则称是“—速率函数”，其中的最小值称为的“速率”．若（），当趋近于正无穷时，是否有“速率”？若有，求出的“速率”；若没有，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南省农垦中学2025届高考冲刺五数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知i是虚数单位， ，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 在平面直角坐标系中，对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据复数的模的计算公式求解即可；对于B，虚数不能比较大小；对于C，根据复数的加法运算求解即可；对于D，根据复数的几何意义可知复数对应的点. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，虚数不能比较大小，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，在复平面内，对应的点为，位于第一象限，故D正确. 故选：D 2. 已知集合，，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3. 已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法运算和数量积的运算法则可得结果. 【详解】， 故. 故选：D. 4. 将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A. 底面半径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 半径为的球体 D. 各棱长均为的四面体 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间几何体的形状，结合选项即可求解. 【详解】对于A,由于正方体的棱长为，故圆柱底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5，圆柱的高最大不超过，故A错误，B正确， 正方体的内切球的半径为5，为正方体内最大的球，故C错误， D.正方体的面对角线的长度为，故棱长不超过.D错误， 故选：B 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出与的值，进而求出首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，最后得出的表达式. 【详解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则. 又因为，所以，解得.  设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，.  根据等差数列的前项和公式可得.  将代入可得：.  故选：D. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 8. 已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，分类讨论，不同的取值范围下，函数零点的个数，从而得到恰好有3个零点时实数的取值范围. 【详解】①当时，要使有意义，故； 方程，平方得，，解得； 显然，解不等式得； 在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点； ②当时，若，，函数有无穷个零点； 当时，方程，即， 解得，令，即； 即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点． 综上，当时，有三个零点． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，，选项C错误； 对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值， 则，选项D正确． 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在点处的切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质及导数的几何意义，逐项分析即可． 【详解】由图可知，，，即，又，所以， 由五点作图法可得，所以，， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，所以，所以的最大值为2，故B错误； 对于C，当时，，，所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，由，可得，，所以函数在点处的切线方程为，故D正确． 故选：AD． 11. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A. 存在，使得是直角三角形 B. 存在，使得是等边三角形 C. 存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D. 存在使得四面体对棱互相垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，判断中的的变化情况，可判断AB的真假；分情况讨论，判断共垂点的位置，可判断C的真假；数形结合，让点在直线上运动起来，观察可判断D的真假. 【详解】如图： 当平面与直线（）垂直时，因为，， 由余弦定理可得：， 所以为钝角. 固定、的位置不动，令沿向上移动，移动过程中，逐渐变小. 故选项A ，B正确； 选项C，如图所示． 为方便书写，称三条两两垂直的棱的公共顶点为共垂点． （1）如图，假设是共垂点，不妨，显然 ，若 则 ，有；过作，连接. 可得 ，，舍. （2）同理可知，不存在四点（j＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 选项D，不妨，如图让在上移动，移动的过程中可以实现 ，由对称性可知. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分别赋值可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 两式相减可得 则. 故答案为：. 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，结合函数性质可得的关系，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为， 所以， ， 所以函数为奇函数且为增函数，. 由可得，即为. 因为，所以．当且仅当，时取等号． 故答案为：4 14. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】设出第一行数列的公差，以及各列的公比，用基本量表达，求得公差和公比，再求得关于，的表达关系，求解即可． 【详解】（1）设数表第一行构成等差数列的公差为，各列构成等比数列的公比均为． 因为数表中各项均为正数，因此． 由表中已知数据可得，解得． 所以，． （2）若，则，即为奇数． 因为，所以，． 实数对， 故答案为：10；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若,，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角； （2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上高. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． 【小问2详解】 因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . （1）在直线上是否存在一点，使得直线平面? （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在； （2） 【解析】 【分析】（1）当点是的中点时,得到，即可求证； （2）先证平面，进而建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 存在点是的中点.理由如下： 当点是的中点时，是三角形的中位线， 所以又平面 所以面. 【小问2详解】 过作于D，若D与C不重合， 平面平面，且两平面交线为， 在平面内， 平面，在平面内， ，为平面内两条相交直线， ，又在平面内， ，矛盾. 故与重合，平面，在平面内，所以. 以为原点，过作的平行线为z轴，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则，令 ，得. 设直线与平面所成的角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 19. 已知函数． （1）若直线是曲线的一条切线，求． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）已知定义在区间上的函数，对任意，存在一个正实数，满足，则称是“—速率函数”，其中的最小值称为的“速率”．若（），当趋近于正无穷时，是否有“速率”？若有，求出的“速率”；若没有，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）没有速率，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义和切点在切线上建立方程组，求解即可. （2）先根据题意构造函数（），求出导数；再分类讨论，根据导数判断函数的单调性，求出最值，是否满足在上恒成立，即可求解. （3）先根据题意写出；再借助（1）中的结论和对数的运算法则可得出；最后根据对数的性质即可解答. 【小问1详解】 由可得：函数的定义域为，且. 设直线与曲线的切点为， 则，解得：， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：在上恒成立， 即在上恒成立. 设（）， 则，， 当时，有，此时函数在上单调递增， 则，不符合题意． 当时，， 令，解得. 当时，有，此时，函数在上单调递减， 则，符合题意． 当时，有， 令，解得：；令，解得：； 则函数上单调递增，在上单调递减， 所以时，，与在上恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 由题意可知：， 则， 由（1）可知，在上恒成立， 令，则， 所以，，，…，， 将上述式子相加得， 由于当趋近于正无穷时，趋近于正无穷， 故不存在实数，使得，故没有速率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$