精品解析：海南省农垦中学2024-2025学年高三下学期冲刺（四）数学试题

海南省农垦中学2025届高考冲刺四（数学） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件，是相互独立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ） A B. C. D. 5. 在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为分，方差为，若去掉一个最高分分和一个最低分分，则剩下的4个分数满足（ ） A. 平均分分，方差 B. 平均分分，方差 C. 平均分分，方差 D. 平均分分，方差 6. 已知，分别为双曲线C：（，）左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 若P是△ABC所在平面内一点，则“”是“△ABC为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在区间内单调递增 10. 已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则（ ） A. 当时，切线的方程为 B. 当时，的面积为 C. 点的坐标为 D. 面积的最小值为 11. 对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，点为外接圆的圆心，则________. 13. 已知是函数一个对称中心，且点到的图象最高点距离的最小值为，则_______． 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时恒成立，求实数b的最小值. 17. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 18. 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； （2）如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省农垦中学2025届高考冲刺四（数学） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式与一元二次不等式化简集合，再根据集合并集运算得结论. 【详解】集合，， 所以. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，根据定义得到其共轭复数，再根据复数相等的充要条件列方程求解. 【详解】设复数，则其共轭复数， 所以， 则，解得.所以. 故选：C. 3. 已知事件，是相互独立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的性质可知事件，也是相互独立事件，再由相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件， 又，，所以，， 所以. 故选：A 4. 在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据条件，利用正弦定理边转角得，再利用倍角公式和商数关系，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，，则，所以， 又，则，所以，得到，所以，即， 故选：B. 5. 在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为分，方差为，若去掉一个最高分分和一个最低分分，则剩下的4个分数满足（ ） A. 平均分分，方差 B. 平均分分，方差 C. 平均分分，方差 D. 平均分分，方差 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式即可求解. 【详解】设这个数分别为，平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则 由题意可知，， 所以，即， 所以， 所以，即， 所以， 所以剩下的4个分数满足平均分分，方差. 故选：C. 6. 已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由双曲线定义得即可求解. 【详解】由题意，，，所以， 所以，所以. 故选：C. 7. 若P是△ABC所在平面内一点，则“”是“△ABC为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到的充要条件是，进一步即可判断. 【详解】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即， 由于以上每一步变形都是等价的，故的充要条件是， 而是△ABC为直角三角形的充分不必要条件， “”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果. 【详解】 在上取点，使得，则， 当时，取得最小值， 即的最小值为， 因为此时，恰为的中点， 所以， 因此，， 设外接球的半径为，则，解得， 因此，外接球的表面积为. 故选B 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在区间内单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，得，即可判断A的正误；对于B，利用周期的计算公式，即可求解；对于C，计算，即可求解；对于D，利用的性质，求出的增区间，即可求解. 【详解】将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数，所以选项A正确， 对于选项B，因为最小正周期为，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以函数图象不关于点中心对称，故选项C错误， 对于选项D，由，得到， 所以的增区间为，令，得到一个增区间为， 又，所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则（ ） A. 当时，切线的方程为 B. 当时，的面积为 C. 点的坐标为 D. 面积的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切线为，进而依次判断A、B、C的正误，由，令，构造并应用导数研究其最小值，即可得面积最小值判断D. 【详解】令，可得，则，且，则， 所以曲线在点处的切线为，令，则， 综上，，，显然C错； 所以，令，则， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故，D对； 当，则，，，且，则，A错； 所以的面积为，B对； 故选：BD 11. 对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，点为外接圆的圆心，则________. 【答案】14 【解析】 【分析】由题知点为边的中点，由平面向量的线性运算得，，再由平面向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为在中，，点为外接圆的圆心，所以点为边的中点，由平面向量的线性运算得，， 所以. 故答案为：14. 13. 已知是函数的一个对称中心，且点到的图象最高点距离的最小值为，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意依次列方程求出即可得解. 【详解】由题知，的最小正周期为，则， 则，又，且，所以， 所以． 故答案为：0. 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】先分两类：①，，②，，然后每类分两步，根据组合数公式列式求出结果，再利用分类计算原理可得结果. 【详解】由，得到或， 若，，即前次跳跃，次向左，次向右， 后面次跳跃全部向右，有种， 若，，即前次跳跃，次向右，次向左， 后面次跳跃次向左，次向右，有种， 所以满足的跳跃方法有种， 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②-①得，即， 所以，即， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以， 即． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时恒成立，求实数b的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再按分类求出函数的单调性. （2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以的最小值为. 17. 已知双曲线C：（，）一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点以及渐近线方程列出关于的方程组即可； （2）先讨论直线斜率不存在时，根据得出矛盾，再设直线AB：，与双曲线方程联立，根据得出，即可求出定点. 【小问1详解】 由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 18. 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； （2）如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，“甲乙在第轮活动中都答对”，，利用相互独立事件的概率公式求出及，再由条件概率公式计算可得； （2）推导可得，，则每一轮甲乙都答错的概率为，所以，再由错位相减法求出，即可得证. 【小问1详解】 设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”， “甲乙在第轮活动中都答对”，， 则 ， 又， 故； 【小问2详解】 第二轮甲答对的概率为， 第二轮乙答对的概率为， 依此类推得到，， 每一轮甲乙都答错的概率为， 因此， 则① 所以，② ①②得， 其中， 所以. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则四边形为平行四边形，根据平行四边形性质及基本事实4可知，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）令，则，，，然后由两角和的正切公式得，然后利用基本不等式求解最值. （3）利用等体积法得，问题化为求、到平面距离之和都最大，应用直线与椭圆位置关系求最大，即可得解. 【小问1详解】 由题设，长轴长，短轴长，则， 所以分别是的中点，而柱体中为矩形，连接， 由， 故四边形为平行四边形，则， 当为的中点时，则，故， 面面，故平面. 【小问2详解】 由题设，令，则，又， 所以，，则， 因为， 当且仅当，即上式取等号，所以. 【小问3详解】 由， 正方形中为中点，易得与重合时与垂直， 此时， 则最大值为， 构建如上图空间直角坐标系且，底面椭圆方程为， 设， 设，联立椭圆得，且， 所以， 而， 所以，令，则， 由对勾函数性质知在上递增，故， 由， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $