精品解析：四川绵阳市梓潼县2026年春八年级（下）阶段试卷(数学)

2026年春八年级（下）阶段试卷 数 学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. ​ 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 4. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 5. 有一块矩形的木板，它的长为，宽为，则这块木板的周长和面积分别是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 7. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 10 8. 如图，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 11. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 25 D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 已知点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离为___________ 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__. 15. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 16. 如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 17. 如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为______m． 18. 定义新运算：，则的运算结果是______． 三．解答题（46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 化简求值：，其中． 21. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 22. 如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 23. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级（下）阶段试卷 数 学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得， 故选：B． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，不是“勾股数”，不符合题意； 不是“勾股数”，不符合题意； 不是正整数，故不是“勾股数”，不符合题意； 是“勾股数”，符合题意； 4. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项． 【详解】解：∵两个含有根式的代数式相乘，若它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式． 又∵，结果不含根号，符合有理化因式的定义． 其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求． 5. 有一块矩形的木板，它的长为，宽为，则这块木板的周长和面积分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简长和宽的二次根式，再利用矩形周长公式和面积公式计算，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，， ∴矩形的周长 ∴矩形的面积 即周长为 ，面积为． 6. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到其最简被开方数，再根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵能够合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相同， 又∵， ∴化简后被开方数为3，因此化简后被开方数也应为3． A 、当时，，被开方数为，不符合题意； B、 当时，，被开方数为，不符合题意； C、 当时，，被开方数为，符合题意； D 、当时，，被开方数为，不符合题意． 7. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理计算直角三角形斜边长即可得到结果． 【详解】解：设直角三角形斜边长为， ∵直角三角形的两直角边长分别为和， ∴根据勾股定理，得 ， 因此斜边的长为． 8. 如图，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∴. 9. 下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 10. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 11. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，   ，．  ，  ．  ， 即． 在中，由勾股定理得：  ．  ． 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 已知点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__. 【答案】x≥-1且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，同时结合分式的分母不能为0，即可求x的取值范围． 【详解】由题意得， 解得x≥-1且x≠0， 故答案为：x≥-1且x≠0 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质，解答本题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，否则二次根式、分式无意义 15. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 16. 如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，中位线的性质．根据，平分，可得，再由点为的中点可知，为的中位线，从而得出答案． 【详解】解：，平分， ，即点为中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 17. 如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 18. 定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】对于，由定义可得，，，，代入计算即可． 【详解】解： ． 三．解答题（46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 化简求值：，其中． 【答案】，值为4 【解析】 【详解】解：原式 当时 原式 21. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； 【小问2详解】 解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 23. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴. 24. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理． （1）通过证明和可得出且，继而证出四边形是平行四边形，又因为，所以四边形为矩形． （2）由（1）可得出的面积与四边形面积相等，．通过过三角形中位线定理可求出的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 证明：， ， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ，， 同理可得， ，， ，， 四边形为矩形． 【小问2详解】 解：点，分别是，的中点， ， 由（1）可得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $