精品解析：四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

四川绵阳市梓潼县2024-2025学年度下学期教学质量检测半期试卷 （八年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，由此解答即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的减法运算法则，完全平方公式和二次根式的除法，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的减法运算法则，完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 线段a，b，c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，， ， 不能组成直角三角形，故A符合题意； B、，， ， 能组成直角三角形，故B不符合题意； C、，， ， 能组成直角三角形，故C不符合题意； D、，， ， 能组成直角三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键． 6. 如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆的半径为，再用两点间的距离等于右边点的坐标减掉左边点的坐标得到答案． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两边长分别为2和1，有勾股定理可得，斜边长为: ， ∴为圆的半径， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数在数轴上的表示方法，关键在于应用勾股定理求出圆的半径，再根据两点间的距离计算结果． 7. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴，即4到5之间． 故选B． 8. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的判断； 根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴一定是二次根式，符合题意； 故选：D． 9. 如图，矩形纸片，，点P是边上一点，，矩形纸片沿折叠，点A落在G处，的延长线交于点H，则的长为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，则四边形为矩形，由折叠的性质可知， ，设，，则，，在中，由勾股定理得，即，则①，在，中，根据勾股定理可得，即，整理得②，①②得，，则，，求的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，连接，过作于，则四边形为矩形， 由折叠的性质可知， ， 设，，则，， 在中，由勾股定理得，即， ∴①， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，整理得②， ①②得，，整理得， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图，在菱形中，若对角线，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 故菱形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键． 11. 如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ） A. 甲是 B. 乙是 C. 甲、乙都不是 D. 甲、乙都是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的判定方法分别对甲、乙两种方案进行正确即可判断求解，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：甲方案：∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案：∵，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确； 故选：． 12. 如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作交于点，过点作交延长线于点，利用正方形的性质证出，得到，得到，再结合得到是等腰直角三角形，；利用得到是等腰直角三角形，，再通过证明得到，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， 正方形， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ， ， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 若，则的值为__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 14. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算计算即可．掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了 ，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为____米． 【答案】10 【解析】 【分析】直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，记住常见的勾股数可使计算得到简化． 16. 若，且、为连续正整数，则= _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 17. 在中，若，，，则的面积_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质，连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 三．解答题（共46分） 19. （1）计算： （2）某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：） 【答案】（1）；（2）元 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及实际应用，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先用正方形面积减去个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为元/平方米的地砖”，即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解：（1） 原式 （2）通道的面积为： （平方米） 购买地砖需要花费：元． 20. 已知，的三边长分别为，，，且满足． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下： ∵ 设 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理计算即可得到为直角三角形； （2）先求出、的值，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是直角三角形，且斜边为 ∴的面积为 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了二次根式的应用以及三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】略 22. 如图，在四边形中，，且，试求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ， 是等腰直角三角形， ． 又， ， 为直角三角形， ， ． 23. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，且，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质得，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ∴． 24. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，点B，D位于的异侧，连接，过E作，且，连接交于点G，连接． （1）如图1，若点B，C，E在同一直线上； ①求证：； ②请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若点B，A，D在同一直线上，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； （2）， 理由如下：如图2，过E作交的延长线于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，即可求证；②证明，可得，从而得到，即可； （2）过E作交的延长线于点M，则，证明，可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得平行四边形是矩形，可证得，从而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键． 25. 如图，在中，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，过点P作于点N，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． （2）用代数式表示S． 【答案】（1）①8；②t （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①勾股定理求出的长即可；②证明为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可； （2）分和两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，； ②由题意，得：， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 如图，当为矩形时，， 由题意可知，， ∵， ∴，， ∵为矩形， ∴， ∴， ∴， 即当为矩形时．与重叠部分图形有两种情况， ①当时，在三角形内部． 延长交于G点， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分图形的面积为； ②当时，与重叠部分图形为梯形， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分图形的面积为•； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川绵阳市梓潼县2024-2025学年度下学期教学质量检测半期试卷 （八年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 线段a，b，c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 8. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片，，点P是边上一点，，矩形纸片沿折叠，点A落在G处，的延长线交于点H，则的长为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 10. 如图，在菱形中，若对角线，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ） A. 甲是 B. 乙是 C. 甲、乙都不是 D. 甲、乙都是 12. 如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 若，则的值为__________． 14. 计算的结果是__________． 15. 如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了 ，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为____米． 16. 若，且、为连续正整数，则= _______ 17. 在中，若，，，则的面积_____． 18. 如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是_______． 三．解答题（共46分） 19. （1）计算： （2）某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：） 20. 已知，的三边长分别为，，，且满足． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的面积． 21. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 22. 如图，在四边形中，，且，试求的度数． 23. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，且，则的长为 ． 24. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，点B，D位于的异侧，连接，过E作，且，连接交于点G，连接． （1）如图1，若点B，C，E在同一直线上； ①求证：； ②请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若点B，A，D在同一直线上，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由． 25. 如图，在中，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，过点P作于点N，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． （2）用代数式表示S． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $