精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025-2026学年初二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年初二下学期期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 4. 函数是关于x的一次函数的条件为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6. 如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 9. 某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D. 随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 10. 如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 13. 填空：________（填“”或“”） 14. 在函数中，自变量的取值范围为__________ 15. 已知点在第二象限，且到轴距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标为_____． 16. 点与点关于轴对称，则______． 17. 点在直线上，则代数式的值是______． 18. 已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 19. 如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为__________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点，点为轴上一点，当时，则满足条件的点的坐标为______． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程组： （1）； （2）． 23. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 24. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 25. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． （1）A、C两海岛间的距离为________km，________； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 26. 某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 27. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． （1）线段的长度为______，线段的长度为______． （2）为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初二下学期期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是利用定义进行判断；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数. 据此判断各选项是否为无理数． 【详解】∵ A. 为整数，是有理数； B. ，不是完全平方数，是无理数； C. ，是分数，是有理数； D. ，是分数，是有理数； ∴ 无理数是B． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 4. 函数是关于x的一次函数的条件为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 5. 一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=； 如图2所示，， 如图3所示，， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线为5cm 故选：C． 【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题的根据．注意有三种不同的展开方式． 6. 如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 7. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相加得，进而得出，由x，y互为相反数得，从而，解之可得的值． 【详解】解：， ，得 ， ∴， ∵，互为相反数， ∴， ∴， 解得． 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性、直线平行、象限分布逐一判断选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、∵， ∴随的增大而减小，当时该结论仍成立，故选项不符合题意； B、令，即，解得， ∵随的增大而减小， ∴当时，，原说法错误，故选项符合题意； C、∵的图象是由的图象向上平移3个单位得到的， ∴的图象与的图象平行，故选项不符合题意； D、∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项不符合题意． 9. 某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C. 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D. 随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：由图像可知： 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意， 设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∴当时，，即， ∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意， 当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意． 10. 如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点P关于的对称点，连接，则：，当且仅当三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，此时最小，利用等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在正方形中，， ∵直线经过点，， ∴直线是正方形的对称轴， ∵点在上， ∴可得点P关于的对称点， 当时，， 即直线经过点， 过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M， ∵和关于关于对称， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为． 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，可得，，再由一次函数图象性质，可得一次函数的图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了一次函数图象性质，准确掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 13. 填空：________（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵ ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 14. 在函数中，自变量的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，从而求解自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 15. 已知点在第二象限，且到轴距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第二象限，到轴距离是2，到轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是2， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 16. 点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 17. 点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入直线解析式得到与的关系式． 再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴． 18. 已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】直线向下平移个单位长度后得到直线，即直线． 因为直线经过点，可得 ． 解得 ． 19. 如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理求出，得到，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：在长方形纸片中， ，， 长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点， ，，，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：. 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点，点为轴上一点，当时，则满足条件的点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式，分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简每个二次根式，再合并二次根式求解即可； （2）根据二次根式的性质化简每个式子，然后求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， ． 22. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用代入消元法求解； （2）用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：  把②代入①得：   整理得：   解得：  把代入②得：   方程组的解为 【小问2详解】 解：  ①②得：  解得：  把代入①得：  解得：  方程组的解为 23. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小和平方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴的整数部分为3， 的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ， ， ， ， ， 的平方根为：． 24. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 25. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． （1）A、C两海岛间的距离为________km，________； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】（1）80,1.6 （2） （3）0.8 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，函数图像的识别， 对于（1），先观察图象可知A，B之间的距离为，B，C之间的距离为，即可得出答案；再求出海巡船的速度，即可求出时间； 对于（2），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（3），先根据待定系数法求出线段所表示的函数关系式， 再令两个函数值等于20得出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知A，C两海岛之间的距离是; 海巡船的速度是， 海巡船从A岛到达C岛用时， ∴； 故答案为：80，1.6； 【小问2详解】 解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为． 当时，解得； 当时，解得， 则． 所以海巡船能接收到信号的时间是0.8小时． 26. 某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 【答案】（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低． 【解析】 【详解】（1）根据方案即可列出函数关系式； （2）根据题意建立w与m之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案. 解：（1） 得：； 得：； （2） , 因为w是m的一次函数，k=-4<0, 所以w随的增加而减小，m当m=20时，w取得最小值. 即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品. 27. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． （1）线段的长度为______，线段的长度为______． （2）为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得： ，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； 【小问2详解】 解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $