8.1 直线与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与方程核心考点，涵盖倾斜角、斜率、五种方程形式及综合应用，按知识清单梳理基础、自主诊断检测漏洞、命题点分层突破（斜率与倾斜角、直线方程、综合应用）、跟踪训练巩固提升的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题演练帮助学生构建知识网络，突破斜率范围分析、方程形式选择等难点。 资料采用问题驱动与素养导向设计，如斜率与倾斜角结合正切函数单调性分析取值范围，培养数学思维；对比直线方程五种形式的适用条件，强化数学语言表达。设置基础诊断、典例精讲、分层训练环节，例3过定点问题用参数分离法揭示规律，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第一节　直线与方程 知识清单 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，我们规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为________． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________． 剖析　当α＝时，斜率不存在． 当k＝0时，α＝0； 当k＞0时，α为锐角，且α随k的增大而增大； 当k＜0时，α为钝角，且α随k的增大而增大． 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ________________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ________________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 剖析　(1)截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0，“截距”不是“距离”． (2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直的直线． 【常用结论】 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的一个方向向量是a＝(－B，A)，当B≠0时，其斜率为k＝－；直线y＝kx＋b的一个方向向量是a＝(1，k)，即斜率为k；直线l的一个方向向量是a＝(x，y)，其斜率为k＝. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角与斜率.(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)截距就是距离．(　　) 2．(人教A版选修一P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k＝(　　) A．－2 　 　B．2 C．－　　D． 3．(人教A版选修一P57习题T1改编)已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． 4．(人教A版选修一P64T3(1)改编)过点(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为________________. 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　直线的斜率与倾斜角 例1 (1)已知A(2m2，1)，B(m3＋3m，m＋1)(m≠0)两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A． B．[2，＋∞) C． D．(0，2] (2)(2026·苏州模拟)设α，β∈[0，π)，且tan α＝－3，tan β＝2，点A(－1，4)，B(3，2)，过点P(1，－2)的直线l与线段AB始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，β]∪[α，π) B．[α，β] C．∪ D．[β，α] [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的． (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P58习题T7)过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)(衔接·人教A版选修一P58T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为____________，斜率k的取值范围为____________． 命题点二　直线的方程 例2 (1)过点P(1，2)且直线的方向向量为a＝(－1，2)的直线方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0 (2)过点(1，－1)和(－3，1)的直线的一般式方程为(　　) A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＋4＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋2y＋1＝0 (3)直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l的方程为______________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式； (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P67T4)已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经过两边AB和AC的中点的直线方程为________________. (2)(衔接·人教A版选修一P67T7)经过P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________． 命题点三　直线方程的综合应用 例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点． (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点． (2)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求最值． 　跟踪训练　(1)(2026·杭州模拟)若AB<0，BC<0，则直线Ax－By＋C＝0一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y＝ax＋2a将△ABC分割为面积相等的两部分，则实数a的值是________． (3)已知直线l：(2k＋3)x－(k－1)y＋3k＋7＝0(k∈R). ①求直线l过定点P的坐标； ②若直线l不经过第四象限，求k的取值范围． 第一节　直线与方程 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)向上的方向　平行或重合　(2)0°≤α＜180° 2．(1)正切值　tan α　(2) 3．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝(x1≠x2，y1≠y2)　 ＝1(ab≠0)　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为m，则m＝＝2，直线AB的方向向量为(1，2)，所以k＝2. 答案：B 3．解析：由tan α＝±1得α＝45°或135°. 答案：45°或135° 4．解析：根据题意要求直线经过点(0，5)，即该直线在y轴的截距为5，又直线在两坐标轴上的截距之和为2，则其在x轴上截距为－3，则所求的方程为＝1，即5x－3y＋15＝0. 答案：5x－3y＋15＝0 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)直线l的斜率k＝＝.因为m2－2m＋3＝(m－1)2＋2≥2，所以0<，即直线l的斜率的取值范围是(0，].故选C. 解析：(2)由点A(－1，4)，B(3，2)过点P(1，－2)的直线l与线段AB始终有交点，如图所示，可得kPA＝＝－3，kPB＝＝2， 设直线l的倾斜角为θ，可得tan θ≥2且tan θ≤－3，又因为α，β∈[0，π)，且tan α＝－3，tan β＝2，所以β≤θ≤或<θ≤α，所以直线l的倾斜角的取值范围是[β，α].故选D. 答案：(1)C　 答案：(2)D 跟踪训练　解析：(1)根据经过两点的直线的斜率坐标公式及题意，得＝tan 45°＝1，解得m＝－1或m＝－2.当m＝－1时，两点重合；当m＝－2时，满足条件．故m＝－2.故选C. 解析：(2)根据题意，如图，直线l经过点P(0，－1)与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率必定存在．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0.若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，A，B两点在直线l的两侧或直线l上，则有(k＋1)(2k－2)≤0，解得－1≤k≤1，即直线l的斜率k的取值范围是[－1，1]；设直线l的倾斜角为α，则有－1≤tan α≤1，则其倾斜角的取值范围为，π)． 答案：(1)C　 答案：(2)　[－1，1] 例2　解析：(1)由直线的方向向量为a＝(－1，2)，可得直线的斜率为k＝－2，又由直线过点P(1，2)，由点斜式方程得y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A. 解析：(2)根据直线的两点式方程公式可得＝，化简可得x＋2y＋1＝0.故选D. 解析：(3)若l过点P(1，)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l过原点满足，此时直线l的方程为x－y＝0；设直线l：＝1，将P(1，)代入方程，解得a＝1－，故直线l的方程为x－y＋－1＝0.故直线l的方程为x－y＝0或x－y＋－1＝0. 答案：(1)A　 答案：(2)D　 答案：(3)x－y＝0或x－y＋－1＝0 跟踪训练　解析：(1)∵A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，∴AB和AC的中点坐标分别为(6，)，(1，4)，∴经过两边AB和AC中点的直线的方程为y－4＝(x－1)，即x＋2y－9＝0. (2)若直线的截距不为0，可设为＝1，把P(2，3)代入得＝1，a＝5，直线方程为x＋y－5＝0；若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P(2，3)代入得3＝2k，k＝，直线方程为3x－2y＝0.∴所求直线方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0. 答案：(1)x＋2y－9＝0　(2)x＋y－5＝0或3x－2y＝0 例3　解析：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)． (2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A(－，0)，B(0，1＋2k)． 又－<0且1＋2k>0，∴k>0. 故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝(4k＋＋4)≥(2 ＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时等号成立． 故S的最小值为4. 跟踪训练　解析：(1)由题意可知B≠0，故直线的方程可化为y＝x＋，由AB<0，BC<0可得<0，<0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第一象限．故选A. (2)y＝ax＋2a＝a(x＋2)，∵x＋2＝0，即x＝－2时，y＝0，∴y＝ax＋2a过定点(－2，0)，即点A(－2，0)，又直线y＝ax＋2a将△ABC分割为面积相等的两部分，∴直线y＝ax＋2a必须过BC的中点(1，1)，∴a＋2a＝1，解得a＝. (3)①原式化为k(2x－y＋3)＋3x＋y＋7＝0， 令解得所以直线l过定点P(－2，－1)． ②方法一　当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意； 当k≠1时，y＝x＋，令解得k≤－或k>1， 故k的取值范围为 方法二　当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意； 当k≠1时，方程可化为y＝x＋， kOP＝＝，由数形结合可知，解得k≤－或k>1， 故k的取值范围为 答案：(1)A　 答案：(2)　(3)见解析 学科网（北京）股份有限公司 $